Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 191

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ности {хп} элементы с номерами к и

к2, . . ., кп, . . . и расположим

их в таком же порядке, как и числа кп:

З'йп

■• • ,

-£ап) ■• • •

Полученную последовательность

назовем подпоследователь­

ностью последовательности {хп}.

 

Лемма. Если числовая последовательность {.х„}

сходится к не­

которому числу Ь, т. е. lim хп =

Ь, то и любая

подпоследователь­

ность этой последовательности сходится к тому же

числу Ъ.

Действительно, так

как

lim хп -= Ъ,

то для

любого е > 0

существует число N такое, что при п ^

N выполняется неравен­

ство

\хп — 6 I < е. Пусть

{х^} — некоторая

подпоследователь­

ность

последовательности {хп}.

Так как kN ^

N, то,

начиная

с номера kN, элементы

подпоследовательности

{ ^ я} удовлетво­

ряют неравенству ] xkn — Ъ| <; е. Поэтому подпоследовательность {xk } сходится и имеет пределом число Ъ.

3°. Сходящиеся ряды обладают сочетательным свойством, т. е. можно объединять в группы любые стоящие рядом члены сходя­ щегося ряда, а затем производить суммирование по группам, причем эта операция не нарушит сходимости ряда и не изменит его суммы.

Действительно, пусть дан сходящийся ряд (1) и его сумма равна s. Построим ряд а, который получается из (1) путем объеди­ нения в группы некоторых рядом стоящих членов. Выполнить это объединение можно различно, например, так:

К + a-ù + («3 4- «4 + аъ) + «в - Г («7 + я8) -г . . •

(13)

Последовательность частичных сумм ряда а образует подпоследо­ вательность {skn} последовательности частичных сумм ряда (1).

В частности, для ряда (13) это будет s2, s5, se, s8, . . . Согласно лемме существует и равен s предел lim s* . Поэтому ряд а схо­

дится и его сумма равна сумме ряда (1).

Заметим, что правила действий с рядами не всегда совпадают с правилами действий с конечными суммами. Например, если дан сходящийся ряд вида (13), то, опустив скобки, мы получим новый ряд, который может оказаться и расходящимся. Так, ряд (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + ..., очевидно, сходится, между тем как полученный из него опусканием скобок ряд 1 — 1 4 - -f-l — 1 + ... будет расходящимся.

Если в данном ряде (1) отбросить первые к членов, то получим новый ряд, который называется остатком ряда (1) после к-ѵо члена:

СО

 

Ъ ап =■■ak+1+ ak+2+ . . .

(14)

71=Ml

 

4°. Ряд и любой его остаток либо оба сходятся, либо оба рас

ходятся.

Действительно, если обозначить через sn сумму п первых членов ряда (1), а через оп — то же для ряда (14), то получим

0 п-к —

s n

( а 1 ~І ‘ • ■ • ‘ Г a k),

s n =

-к + (а 1 + • •

■“ Г a k)>

причем если п -+■

и

то и (п — к)

-у оо. Отсюда, видно, что если sn

имеет предел,

то

оп имеет предел, и наоборот. Эти пределы s

и а, т.

е.

суммы

двух рядов,

будут связаны

соотношением

а = os — (йі +

• •

•

+ ак)-

ряда

стремится

к нулю при

5°. Общий

член

сходящегося

п -у о о,

т. е. если

ряд (1) сходится, то

 

 

 

 

 

 

 

1 іт а „ ^ 0 .

 

(15)

 

 

 

 

 

П-<- СО

 

 

 

Это так называемое необходимое условие сходимости ряда.

Действительно, если ряд (1) сходится, то

lim ап= lim (sn— s„_,) = lim sn— lim

=- s — s =--=0.

Следовательно, если для какого-либо ряда нарушено условие

(15), то этот ряд расходится.

 

П р и м е р 3. Ряд

п + 2

расходится, потому что

И-р 1 2 ( ‘ -‘- Д г )

его общий член не стремится к нулю.

П р и м е ч а й и е. Условие (15), будучи необходимым условием сходи­ мости ряда, не является достаточным условием его сходимости. Это утвержде­ ние достаточно подтвердить хотя бы одним примером. Вот этот пример.

II р и м е р 4. Ряд

• + 7 + Т + - - - + Т

(16)

 

называется гармоническим рядом. Его общий член ап — — стремится к нулю

при п -у оо. Однако этот ряд расходится, что можно доказать рассуждением от противного. Предположим, что ряд (16) сходится и его сумма равна s. Отсюда следует, что

lim (s2n—Sn) = Hm s2n—lim s„ = s —s = 0.

Это равенство противоречит неравенству:

s%n— sn — п + 1

 

1

 

■ + ы > п

2п 2 ’

 

Следовательно, гармонический

ряд расходится.

 

6°. К р и т е р и й

Б о л ь ц а н о — К о ш и

с х о д и ­

м о с т и р я д а .

(Здесь сформулировано

необходимое и доста­

точное условие сходимости ряда, установленное Больцано (1817 г.) и Коши (1821 г.). Его называют также принципом сходимости ряда.

Вспомним (см. п. 20), что необходимое и достаточное условие существования предела последовательности {s„} заключается в том, чтобы для каждого е > 0 существовало соответствующее

число .V > О такое, чтобы при всех п Д> N и п Д> N выполнялось

неравенство | sn' — sn j <

е. Обозначим п' = п +

р, где п и р

—

натуральные

числа.

Тогда

sn>— яп == sn+p — sn =-- ап+1

+

+ . . . -і- ап+р

и неравенство примет вид | ап+1 +

■• ■ ап+р |

<

О '- Мы пришли к следующему утверждению.

Теорема. Для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и доста­

точно, чтобы для

каждого

е > 0 существовало

такое число N,

что при всяком п Д> N и при всяком положительном р выполнялось

бы неравенство

 

 

 

I

1

2 ' Г • ■• "Т ®л+р 1 < е .

(17)

Другими словами, для сходимости ряда необходимо и доста­ точно, чтобы сумма любого числа его членов (р любое), следу­ ющих за достаточно далеким ( п Д -N), была бы сколь угодно мала (е сколь угодно мало) по абсолютной величине.

Заметим, что при всей теоретической важности этого общего признака сходимости ряда применение его на практике обычно затруднено. Для выяснения вопроса о сходимости конкретных

рядов часто

пользуются п р и з н а к а м и

с х о д

и м о с т и,

к рассмотрению которых мы переходим.

Пусть

имеем

ряд

209. Ряды

с положительными

членами.

с п о л о ж и т е л ь н ы м и

членами

 

 

 

 

 

а і Т" а ч

“ Г ■ • • +

а п

• • •

/

 

(18)

Теорема 1. Для сходимости ряда (18)

необходимо и достаточно,

чтобы множество его частичных сумм было

ограничено сверху.

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Пусть

при

всех

п выполнено

усло­

вие sn <С.М, где sn — п-я частичная сумма ряда (18), М — число.

Частичные

суммы ряда (18) возрастают

с ростом п,

потому что

s„+1 =

sn +

a„+i> s„,

так как

ал+1 Д> 0.

Таким

образом, пере­

менная

sn монотонно

возрастает и ограничена

сверху. Следова­

тельно (см. п. 20), она имеет предел lim sn

= s и ряд (18) сходится.

Заметим, что ввиду монотонного возрастания

sn

выполняется

при всех п неравенство

 

 

 

(19)

 

 

 

sn < s .

 

 

Н е о б х о д и м о с т ь .

Пусть данный ряд (18) сходится.

Докажем,

что множество его

частичных

сумм

ограничено. Рас­

суждая от противного, предположим, что это множество неогра-

ничено. Отсюда следует,

что

lim sn — +оо, так

как sn — воз­

растающая переменная, и

ряд

(18) расходится.

Но

по условию

он сходится. Следовательно,

множество частичных

сумм огра­

ничено.

 

 

 

 

Пусть имеется два ряда с положительными членами

СО СО

2 а„ (!) и

2 ъп (И).

п=1

Я=1

Теорема 2 (теорема сравнения). Если члены ряда (I) не больше соответствующих членов ряда (II), т. е. при п — 1 , 2 , . . .

а „ ^ Ь п,

(20)

то из сходимости ряда (II) следует сходимость ряда (I),

а из рас­

ходимости ряда (I) следует расходимость ряда (II).

 

Допустим, что ряд (II) сходится. Обозначим через А п сумму п первых членов ряда (I) и через Вп — аналогичную сумму ряда (II).

Согласно (20) имеем А п sç Вп. Ряд

(II) по

условию сходится;

обозначив его сумму через В, согласно (19) имеем

Вп < В. Сле­

довательно, А п sg Вп <СВ. Отсюда

вытекает

по

теореме 1, что

ряд (I) сходится.

 

 

 

Пусть ряд (I) расходится. В этом случае расходится и ряд (II). Действительно, если бы ряд (II) сходился, то по первой части теоремы сходился бы и ряд (I), но он расходится. Теорема доказана.

д]цЯ £

 

 

 

2 ——— сходится при любом фиксированном х в

промежутке 0 <J х <; я, что следует из сравнения

его

со сходящимся

рядом

с общим членом

1

 

дідЯ X

1

 

 

 

 

 

 

——, так как -------- ——.

 

 

 

 

 

 

 

 

2п

 

2п

2п

 

 

1

1

 

 

 

 

 

2

1

 

так как

при

п ^ 2.

 

 

 

—=- сходится,

—— ^

——

 

 

 

 

пп

 

 

 

пп

2п

 

 

гг

„

т,

V

1ПП

 

 

 

Іи п

1

при и ^ З ,

П р и м е р

3.

Ряд

>

—-— расходится, так как —-— > —

а ряд (16) расходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

3 (вторая

теорема сравнения).

Если члены рядов (I)

и (II) удовлетворяют соотношению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а п +1 .....

Ьп+1

 

 

 

 

 

(21)

 

 

 

 

вп

Ъп

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то из сходимости ряда (II) следует сходимость ряда (I), а из расходимости ряда (I) следует расходимость ряда (II).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Запишем

условие

(21) для п = 1,

2, . . ., т — 1

 

 

 

 

 

 

°2

^2

аЯ

^3

у

аП1

Ьт

 

Ь\ у

а2

b%

ат-\

^/п-і

и, перемножив отдельно все левые и все правые части этих нера-

венств, получим соотношения вfii

b

и

 

ат«S

Ът.

 

(22)

Если ряд (II) сходится, то в силу свойства 1° рядов (см. п.

208

сходится и ряд с общим членом ~

Ът. Но тогда по теореме 2

схо­

дится ряд (I), если учесть неравенство

(22).

 

Смотрите также файлы