Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 187

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если ряд (I) расходится, то будет расходиться и ряд с общим

членом — Ът (см. неравенство (22)), а вместе с ним и ряд (II)-

З а м е ч а н и е . Заключения теорем 2 и 3 имеют место и в том случае, когда условия (20) или соответственно (21) выполняются для всех п, начиная лишь с некоторого N (может быть большего единицы).

Теорема 4 (признак Даламбера *). Если члены ряда (18) удо­ влетворяют соотношению

 

0 < i аrп L^ ? < 1.

 

(23)

где q — постоянная, а п ^ N ,

то ряд (18)

сходится.

Если

же

 

-2»±L За 1

 

(24)

 

ап

 

 

 

 

 

при п ^

N , то ряд (18) расходится.

геометрический

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

ряд У,уп, который сходится, так

как 0 < g < 1 . Согласно (28)

члены ряда (18) удовлетворяют

соотношению

а

о п + 1

■n*1 s;

g = —

-

 

 

 

 

а п

Ч

 

Следовательно, в силу теоремы 3 ряд (18) сходится.

 

 

При

условии (24) имеем ап+1 ^

ап > 0 и ряд (18) расходится,

так как его общий член не стремится к нулю — нарушено необходимое условие сходимости.

II р и м е р 4- Ряд

12й сходится, так как при п ^

2 выполнено усло-

вис (23)

 

 

 

 

3

 

 

 

 

а п +1

 

 

 

Я-

 

 

 

а п

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 5 (предельная форма признака Даламбера). Если

члены положительного ряда

(18) таковы, что существует предел

 

1і т

^ ± і = £>;

 

 

(25)

 

п — о о

й п

 

 

 

 

 

то при D < 1 ряд

(18) сходится,

а при D Д> 1

он расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Условие (25) означает, что для каж­

дого Е > 0 существует N

такое,

что при п Д> N

выполняется

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D — e < - ^ Ü

<

D + e.

 

(26)

 

 

 

аП

 

 

 

 

 

Если D <Д , то

выберем

е столь

малым, чтобы

D + е = q

было меньше единицы. Тогда из правой части (26) следует соотно­ шение (23) и ряд (18) сходится по теореме 4.

* Жан Лерон Даламбер (1717—1763) — французский математики физйк-

23 Заказ 114

3 5 3

Если

D > 1 , то выберем е таким, чтобы выполнялось условие

D — е >

1. Тогда из левой части (26) следует соотношение (24)

и ряд (18) расходится по теореме 4. Теорема доказана.

Заметим, что при D — 1 теорема 5 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (18); он в одних случаях сходится, а в других расходится.

п

_

'Ч Г ’ х п

_

а „ , л

п х

„

П р и м е р

5.

> -----. Здесь

----------— =

— ;—

и Д — х .

 

 

п

 

ап

и + 1

 

Следовательно, по теореме 5 ряд сходится при условии 0 <] х <б 1 и расхо­

дится при X

1.

Он расходится и при х —

1 как гармонический ряд.

II р и м е р

6.

'Ѵ ............ Здесь

°п+1- =

^Х ^ и D = 0.

 

 

п!

ап

га + 1

Ряд сходится при любых значениях х . Общий член сходящегося ряда стре-

мится к нулю; поэтому имеем lim

U’îl

= 0.

 

 

 

 

 

 

—-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П-+00

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 6 (признак Коши). Дан ряд (18). Если существует

конечный предел

lim

}Уап = к ,

 

 

 

 

 

(27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п->- оо

 

 

 

 

 

 

 

то при к < 1 ряд (18) сходится, а при 7с

1

ряд (18) расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Пусть к <; 1. Рассмотрим число g,

удовлетворяющее

соотношению

/с < 9

< 1 -

Согласно

условию

(27), начиная с некоторого п = N, будет иметь место неравенство

\}^ап — к\ <

q — к, а также

неравенства

У ап *< q и

ап <iqn.

Ряд с общим членом qn

сходится

как

 

геометрический

ряд,

так

как

0 << q < 1 . Согласно теореме

2 сходится

и данный

ряд

(18),

так

как

ап <

qn.

 

 

 

 

 

номера n

N,

2) Пусть

/с >»1. Тогда, начиная с некоторого

будем иметь

 

> 1 и йл >

1.

Ряд (18) расходится, так как его

общий член не стремится к нулю. Теорема доказана.

 

 

П р и м е р

7. Ряд

\Iпсходится, так как к = lim

п

1

 

 

 

 

Ц - У н

 

 

 

 

 

 

2 n - j - 1

2 '

Теорема 7 (интегральный признак Коши). Дан ряд (18), члены

которого

монотонно убывают-.

ап+1 sg ап.

Ряд

(18)

сходится

в том и только в том случае, когда сходится интеграл

 

 

 

 

 

 

J

f(x)dx,

 

 

 

 

 

(28)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

где функция /

(х) при х ^ 1 определена, непрерывна, положительна,

монотонно убывает и в точках х = п принимает значения / (п) =

^п'

\

*

Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию /

(х) монотонно убывает

и поэтому ее значения в промежутке п — 1

< х <

п более числа

/ (п), которое в свою очередь больше всех значений / (х) в про­ межутке п < х <С.п + 1 (рис. 148). Это предложение запишем условно в виде неравенства

І{х) > / ( « ) >

f(x).

n - 1 < .г< п

п < х < n+ 1

Интегрируя это неравенство в соответствующих единичных про­ межутках, получим

 

 

П

 

 

п+1

 

 

 

 

j

/ (х) dx >

/ (п) >

J

/ (х) dx.

(29)

 

 

п - і

 

 

П

 

 

Неравенство (29) имеет яс-

у

 

 

 

ный

геометрический

смысл

 

 

 

 

соотношения

между

площа­

 

 

 

 

дями под кривой, причем / (п)

 

 

 

 

есть

величина

площади пря­

 

 

 

 

моугольника

с основанием,

 

 

 

 

равным единице, и -высотой

 

 

 

 

/ (п). Суммируя члены не­

 

 

 

 

равенства (29) от

п = 2 до

 

 

 

 

п = т, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

т

т+ 1

 

 

 

 

f

/ (х) dx >

'У.апф>

[

/ (х) dx.

(30)

Если сходится (см. п. 162) интеграл (28),'то из левой части (30) следует ограниченность частичных сумм ряда (18) и сходимость этого ряда по теореме 1. Если расходится интеграл (28), то из правой части (30) вытекает расходимость ряда (18). Теорема доказана.

П р и м е р

8.

Выяснить, при каких значениях параметра а сходится

При а =

1 имеем гармонический ряд; он расходится. При а, Ф 1 положим

1

и

рассмотрим интеграл

 

 

 

 

/ (X) = _ _

 

 

 

 

со

 

 

Ь

л.

Щ-“ - 1

°о

при

сс<1,

С

dx

От

Г

dx

\

-----=

\

—— =

lim

—;--------- = 1

.

при

^ ,

J

 

 

h->ooJ

х<х

со

1 —а

const

а > 1 .

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Следовательно, данный ряд сходится при к > 1 и расходится при се sc 1.

210. Знакочередующиеся ряды. Знакочередующимися рядами называются ряды вида

а1— а2-f- а3— ai -f- . . .

Т о-ъп-і ~ агп~Ь а2л+і • • •>

(31)

где все ап > 0 .

Теорема Лейбница. Знакочередующийся ряд (31) сходится, если его члены убывают по абсолютной величине ап+1 <С.ап и его общий член стремится к нулю при п оо.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Частичную сумму s2k можно пред­ ставить двояко:

1) Sik =

S2fc-2 "Ь (a2fe-l

a-lk)i

2)

(®2 Яз)

• • ■

( a 2 k - 2

a 2 k ~ l )

Здесь в каждой круглой скобке разность положительна вследствие

условия ап+1 <іап. Первое из

этих

представлений показывает,

что s2k О s2k_ 2 и переменная

s2k

монотонно возрастает. Из

второго представления видно,

что

s2fe < іа1 и s2fe

есть величина

ограниченная. Известно, что

всякая

монотонно

возрастающая

переменная, ограниченная сверху, имеет предел (см. п. 20). По­ этому существует предел последовательности частичных сумм

ряда с четными индексами lim s2k =

s при к -> сю.

 

 

Частичную

сумму с нечетным

индексом можно

представить

в виде s2k +1 =

s2fe -j- а2к +1.

По

условию теоремы

a 2é + 1 -> 0

при к — оо. Поэтому существует

предел lim s2k+ 1 =

lim s2k

= s

И ряд (31) сходится. Теорема доказана.

 

 

П р и м е р

1.

1

1

 

1

сходится

по

Ряд 1 — — -f-— —

. . . -f- (—l)n+i — f ...

теореме

Лейбница,

2і

о

 

TI

 

 

условия которой

здесь выполнены.

 

 

П о с т а н о в к а в о п р о с а о б о ц е н к е - о с т а т к а

р я д а .

Если какой-либо ряд сходится, то его частичная сумма s„

является приближенным выражением для суммы ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(32)

Число п зависит от требуемой точности вычисления суммы ряда.

Погрешность этого приближенного

выражения,

т. е.

разность

tn — s — sn, является остатком ряда

после n-го

члена.

Поэтому

оценка остатка ряда, т. е. вычисление верхней границы вели­ чины гп, имеет большое значение. Задача состоит в том, чтобы по данному е ;> 0 найти такое (наименьшее) п, чтобы выполнялось неравенство \ гп \ < е.

Для знакочередующегося ряда известна простая и удобная оценка остатка ряда (см. ниже теорему).

Теорема. Остаток знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак первого отброшенного члена и меньше его по абсолютной величине.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим ряд (31). Величину г2п можно представить двояко:

1) Г2п = (&2п+1 &2п+і) (®2я+3 ®2/i+4)”f" -i

2) ^2n~ ®2n+l (®2я+2 ®2я+з) •

Отсюда следует,

что

г2п > 0

и

г2п < а 2п +1

 

Следовательно,

0 < ^ ^ 2 п <-~-а 2 п + 1-

 

 

убеждаемся

в

том,

что

величина

Рассуждая

аналогично,

— г2„_і = а2п — а2п +1 + а2п +2

—

. . .

удовлетворяет

соот-

ношению 0 <

—т2п~ X< й2л, и з

которого

следует, что г2п_ 1 < 0

и I r2n _ J I < а2п. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

ГІ р и м е р

2.

Требуется вычислить с точностью до 0,01 сумму сходя­

щегося ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

( - і)п+1. ,

_ J _

,

_j___ L a -

'

 

 

 

2

•

 

 

 

„4

■

 

24

"T

g4

44

1

• •

 

 

n = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь a3 = L - >

-L -, но уже a4 =

1

 

10U

Поэтому по теореме об оценке

öl

1UU

 

 

25b

 

 

 

 

 

 

остатка знакочередующегося ряда сумму нашего ряда представляет s3 с точ­

ностью 0,01:

.

1

1231

1

24

'

З4

1294 ’

причем s <3 ss, так как величина г3 = s — s3 ■< 0 — она имеет знак четвер­ того члена ряда.

211. Общие числовые ряды. Рассмотрим числовой ряд с веще­ ственными членами, относительно знаков которых не ставится никаких ограничений:

а 1 Т я2“Г • • • ~ г а п + ■ • •

(33)

Если члены ряда не все положительны (отрицательны), но начиная с некоторого места становятся положительными (отрица­ тельными), то, отбросив достаточно большое количество началь­ ных членов ряда, сведем вопрос о сходимости данного ряда к иссле­ дованию ряда с положительными членами. Таким образом, суще­ ственно новым случаем будет тот, когда среди членов ряда есть бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Ряд (33) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

 

 

 

 

Iai IL I я21+ .

. • + 1апI -)-. . . .

 

 

(34)

 

Теорема.

Из

сходимости

ряда

(34)

следует

сходимость

ряда (33).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, сходимость ряда (34) влечет согласно прин­

ципу сходимости, что для каждого

е > 0

существует

такое

N,

что

для

всех

п >> N

и

р >-0

выполняется

неравенство

І а я + 1 І +

• • • +

\ а п + р \ <

е -

 

 

такое

соотношение

 

Вместе

с

тем будет

выполняться и

!

+1 +

• • • ~Р О-n +р] ^

+ 11 ~Ь • ■• “h \ + рI

е,

из

которого следует (в силу такого же принципа сходимости), что сходится ряд (33).

Смотрите также файлы