Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 186

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Ряд (33) называется условно сходящимся (или неабсолютно сходящимся), если он сходится, а ряд (34) расходится.

П р и м е р 2. Ряд 2 ' ( - 1) " сходится по теореме Лейбница. Однако ряд,

составленный из абсолютных величин его членов, расходится как гармониче­ ский ряд. Поэтому данный ряд сходится условно.

Для того чтобы выяснить вопрос об абсолютной сходимости данного ряда (33), надо составить положительный ряд (34) и иссле­ довать его сходимость.

П р и м е р

3- Ряд 1 — X +

ж2 —...+ (—х)п + ... сходится абсолютно

при любом X из промежутка | х

| О 1, потому что сходится геометрический

ряд 2 1х I” 13

указанном промежутке.

С в о й с т в а а б с о л ю т н о с х о д я щ и х с я р я д о в . Абсолютно сходящиеся ряды обладают всеми общими свойствами сходящихся рядов (см. п. 208) и следующими специальными свойствами: 1) они обладают переместительным свойством, 2) их можно перемножить почленно.

Переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда за­ ключается в том, что при любой перестановке членов ряда его сходимость не нарушается и его сумма не меняется.

Лемма. Сходящиеся ряды с положительными членами обладают переместительным свойством.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дан сходящийся ряд с поло­

жительными членами 2 ап (I)- Обозначим его сумму s, а и-ю ча­ стичную сумму sn. Если произвольно переставить члены данного

ряда, то получим ряд 2 а'п(II), состоящий из членов данного ряда. Каждый член ряда (I) имеет новый порядковый номер среди чле­ нов ряда (II). Рассмотрим то-ю частичную сумму ряда (II) от = а[ + . . . + а"т, где а\ = ар, . . ., а'т = aq. Обозначим че­

рез п наибольшее из чисел р, . . ., q. Следовательно, в частичную

сумму Sfi

ряда (I) войдут все слагаемые суммы ат, поэтому от sg

sg s-.

Из

сходимости ряда (I) следует, что s^

<

s. Имеем omsс

^ s-

< s,

т. е. множество частичных сумм положительного ряда

(II) ограничено сверху и по теореме

1 п. 209

ргід (II) сходится,

причем его сумма о удовлетворяет соотношению о

s.

Ряд (I) может быть получен из (II) путем перестановки членов

ряда

(II),

поэтому в силу изложенного s ^

о.

Следовательно,

s — о и лемма доказана.

сходящиеся ряды обладают

Теорема Дирихле. * Абсолютно

переместительным свойством.

 

 

 

* Петр Густав Лежен Дирихле (1805—1859) — немецкий математик.

Д о к а з а т е л ь с т в о ,

Рассмотрим абсолютно сходя

щиеся ряды

 

' СО

СО

2 « « ( п і ) ,

2 K l (IV).

il—1

ii=i

Но условию теоремы ряд с положительными членами (IV) сходится, и поэтому он обладает (в силу леммы) переместительным свойством. Следовательно, абсолютно сходящийся ряд (III) остается абсолютно сходящимся при любой перастановке его членов.

Остается доказать утверждение теоремы о неизменности суммы ряда (III) при перестановке его членов. Рассмотрим для этого

такие ряды с положительными членами: ряд 2 bn (V), составленный

из положительных членов ряда (III), и ряд 2 сл(ѴІ), составленный из абсолютных величин отрицательных членов ряда (III), причем члены рядов (V) и (VI) расположены и занумерованы в том порядке, в каком они встречаются в ряде (III).

Из сходимости ряда (IV) следует сходимость рядов (V) и (VI), потому что частичные суммы Вк и Ск этих рядов не превосходят соответствующей частичной суммы ряда (IV), которая в свою очередь меньше суммы НІѴ ряда (IV). Частичная сумма А п ряда (III) содержит к положительных членов и т отрицательных членов, поэтому А п = Bk — С,п. Ряды (III), (V), (VI) сходятся, поэтому существуют пределы их частичных сумм и они связаны

равенством

(35)

А = В - С .

Перестановка членов ряда (III) вызовет перестановку членов сходящихся положительных рядов (V) и (VI), но не изменит (в силу

леммы) сумм В и С

этих рядов. Следовательно, не изменится

и сумма ряда (III).

Действительно, после перестановки членов

ряды (III),

(V)

и (VI) будут иметь соответственно суммы А ', В ’

и С', где В'

=

В и С

= С. По формуле (35) имеем А' = В' — С

иА ' = А. Теорема доказана.

Пр и м е ч а н и е. Условно сходящиеся ряды переместительным свой­ ством не обладают. Справедливость этого утверждения покажем на примере

 

“ (-1)п+1

, сумму которого обозначим через s, а п-ю частичную сумму—

РяДа2 ~ТГ

 

п- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через

sn. Рассмотрим ряд, полученный из данного ряда перестановкой членов

 

 

1 . 1

1

 

 

1

 

1

1

 

 

 

4 + 3

6

 

 

2к- -1

Ак—2

Ак

 

 

 

 

,

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2/с-Т 1

Ак-\-2

Ак-\-А

 

1

 

 

Его

частичная сумма s'3k=

^ +

+ ^

+ . • • + ( '

 

Ак )

S2k

Ак—2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

имеет предел,

равный

 

Его

частичные

суммы

sâft+1 и

взк+2

limsjfe = — s.

имеют те же пределы

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

= lim

^ 3fe + 2/c+ - ^ =

+ s,

1 іт з^ +2 = 1іш ( ^

+i —

"

j 8.

Следовательно, в результате перестановки членов в данном условно сходящемся ряде получен ряд, сумма которого вдвое меньше суммы исход­ ного ряда.

Риман доказал *, что в любом условно сходящемся ряде его члены можно переставить так, что получится ряд с любой наперед заданной суммой или, если угодно, расходящийся ряд.

Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать почленно. Это значит, что такие ряды можно умножать как многочлены — каждый член одного ряда умножается на каждый член другого ряда и затем результаты складываются.

II р и м е р 4, Данный

пример иллюстрирует умножение абсолютно

со

СО

сходящихся рядов 2 (—х)п и ^ Iя в промежутке —1<\г<+. Перемножив

оп=о

их почленно H расположив результат по возрастающим степеням х, получим геометрический ряд со знаменателем q = х2

(1— ж+ а:2 — ж3+ , . . ) {1 —j—ж—

. . ) =

= l + ( l - l) * + ( l - l + l)z2 + . . .== 1+ *2 + 3:4+ . . . .

Заметим, что суммы перемножаемых рядов и сумма полученного ряда связаны

при I * I< 1 равенством - А -

. _ ± _ =

_ ± _ .

 

212. Ряды с комплексными

членами.

Рассмотрим

последовательность

комплексных чисел {ап + фп} и ряд

 

 

 

00

 

 

 

2 ( a«+*ß«)-

■ (зб)

 

п= 1

 

 

Ряд с комплексными членами (36) называется сходящимся, если суще­ ствует конечный предел последовательности частичных сумм данного ряда lim sn = s, при этом число s называется суммой ряда (36). Здесь мы поль­ зуемся понятием предела последовательности комплексных чисел и понимаем его в следующем смысле: число s называется пределом последовательности {s«}, если для каждого е +> 0 существует число N +> 0 такое, что для всех

и +> N выполняется неравенство

| % — s|

е.

 

Следующая теорема позволит свести изучение рядов (36) с комплексными

членами к исследованию таких рядов с вещественными членами

 

00

 

СО

 

 

У

ап

И

2

ßn-

(37)

/ І ~

1

n

=

l

 

Теорема 1. Ряд (36) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды

(37).

Действительно, если величины sn и s представить в алгебраической форме Sn = ап + іЪп, s — а + iß, где ап и Ъп — частичные суммы рядов (37), то условие I % — s I <+ е примет вид

I sn—s I — I ап а + і (bn — ß) I = У''(Un—а)2 + (Ъп— ß)2 + 8.

(38)

Если ряд (36) сходится, то при и > N выполнено условие (38), из кото­ рого следует, что

\<іп—а |< е , I Ьп— ß |< e ,

(39)

* Доказательство см. в работе В. И. Смирнова «Курс высиіей матема­ тики», т. I, § 14.

и поэтому сходятся ряды (37) соответственно к а и ß. Если же ряды (37) схо­

дятся соответственно к а и ß, то выполняются неравенства (39) при п

N,

а вместе с ними и неравенство | sn — s \

еЦА, показывающее сходимость

ряда (36).

 

 

 

Теорема 2. Ряд (36) сходится, если сходится ряд

 

СО

 

 

 

I

if>n I •

•

(40)

п = 1

 

 

 

Действительно, общий член ряда

(40)

удовлетворяет соотношениям

I + ißraI —У anФ ßn ===I an1> I CLn+ іßn I ^ I ßreI ■

На основании теоремы сравнения (см. и. 209) заключаем, что из сходимости

ряда (40) следует сходимость рядов

(37), из чего (в силу теоремы 1) следует

сходимость ряда

(36).

 

Пр и м е р .

Ряд 2

jpî) сх°Дится. так как сходятся ряды с об-

1

1

 

щимп членами —^

и --г- .

 

 

z“

 

§36. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

213.Основные понятия. Признак Вейерштрасса. Пусть дана

последовательность функций {/„ (ж)}, определенных в одном и том же промежутке (я, Ъ). Составим ряд, членами которого являются функции данной последовательности

/і (х) h (х) + . . . + /„ (*) + -----

(1)

Функциональный ряд (1) можно понимать как бесконечное мно­ жество числовых рядов, в каждом из которых величина х имеет свое определенное значение из промежутка (я, Ъ). При некоторых значениях х ряд (1) сходится, при других — расходится.

Точкой сходимости ряда (1) называется значение х0 из про­ межутка (а, Ь), при котором ряд (1) сходится, т. е. существует

конечный

предел

/ (х0) последовательности

его частичных

сумм

sn (Х0) =

fi

(Х0) +

• • • + / „ (х0).

Это

значит,

что

для

каждого

е >

0

существует число

N

(е,

х0)

такое,

что

при

всех

п >

N (е0,а:0) выполняется

неравенство

|/ (х0) — sn (х0) |

е.

 

Областью сходимости функционального ряда (1) называется

все множество значений х, при которых ряд (1) сходится.

 

Сформулируем

понятие

сходимости

функционального

ряда

в промежутке. Составим для этого н-ю частичную сумму ряда(1)

(*) =- А {х) -г . . . -Г А («)•

(2)

О п р е д е л е н и е . Функциональный ряд (1)

называется

сходящимся в промежутке (а, Ь), если существует конечный предел последовательности его частичных сумм при любом х из (я, Ъ)

lim sn(x) = f(x)

(3)

Смотрите также файлы