Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 184

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и этот предел называется суммой ряда (1) в промежутке (а, b). Это значит, что для каждого е > 0 и каждого х из (а, Ь) суще ствует число N (е, X) такое, что для рассматриваемого х при

п > N имеет место неравенство

I f ( x ) ~ Sn (х) I < 8 или I гп(х) I < е,

(4)

где гп(х) — остаток ряда после п-то члена:

		Гп() = / () — sn (х) = /л+1 (х) -f / п+2 (х) + . . .						(5)
Поэтому		остаток гп (х)		сходящегося ряда стремится к нулю
при	п -►	lim гп (х)	=	0.
П р и м о р 1. Геометрический					ряд	сходится в промежутке
—3 <	X < 3, так как при этом q				—	1. При I х\ ^	3 ряд	расходится.
О п р е д е л е н и е .			Функциональный ряд				(1)	называется

равномерно сходящимся по х в промежутке (а, b), если для каж

дого е > 0		существует	н е з а в и с я щ е е	о та: число	N (г)
такое,	что имеет место неравенство (4) для всех п ^> N (г) и всех
X из	(а, Ь).	определения	следует, что если ряд	(1) сходится	рав
Из	этого

номерно в промежутке (а, Ъ), то он равномерно сходится в любом промежутке, содержащемся в (а, Ь), а также, что ряд (1) сходится в каждой точке промежутка (а, Ъ). Число N (г), о котором го ворится в определении, является верхней границей элементов числового множества {TV (е, а;)}, указанного выше. Не всякое бесконечное числовое множество ограничено. Но если существует

верхняя	граница множества {7V (е, х)}					для	всех х из		(а, b) при
каждом	фиксированном			е >> 0,	то ряд	(1)	сходится равномерно
в (а, Ь).
П р и м е р -2.		Ряд	1			1		сходится равномерно
П р и м е р -2.		Ряд	я + 1	^	(хЩп)(хЩп-f l )			сходится равномерно
				п=1		его п - я частичная сумма
в промежутке 0 ^ £ < + оо. Действительно,						его п - я частичная сумма
		1	л-1		1			1
	Sn=	1			1			1
	Sn=	Х - г т - 2 Ы т			X 4 - /с 4 - 1		X - \ - п
			k=1
стремится к нулю при п -> оо. Поэтому данный							ряд сходится		при х is	0
и его сумма / (х)		= 0.								0,
Для того чтобы убедиться в равномерной сходимости ряда при х ^										0,
фиксируем любое е > 0			а составим неравенство \| гп (х) \|					_1_	< е, равно
				1	1			х - \ - п
сильное неравенствам х			п	1	1
сильное неравенствам х			п	— и	п ^> — — X =. N (е, х).

нашем случае

существует

верхняя

граница множества

{N (г,

х)},

именно

N (е) =

потому

при

х ^

Следовательно,

что — — х ^

—

если

имеем

< е.

Таким

образом,

п >■—, то

------ х п — ;—

ОС

1гп(х) |<^ 8 и данный ряд сходится равномерно.

Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены функциональ

ного

ряда

(1)

удовлетворяют

в промежутке (а, Ъ)

условию

| / п ( ж ) |

с п

( « =

1 , 2 , . .

. ) ,

( 6 )

где сп

суть

члены некоторого

сходящегося

положительного ряда

сі “Ьс2 ~h•

• • + сп+ • ■■,

(?)

то ряд (1) сходится в (а, Ь) абсолютно и равномерно.

Действительно,

из условия

(6) следует неравенство

I //г+1 і х )

• • •

г/я + р

(х ) I ^

С/г+1 ~І_ •

• • "Ь ся+рі

(8 )

которое имеет место для всех х из (а, Ъ) и всех р >

Согласно

принципу сходимости, примененному к числовому

ряду

(7),

для

каждого е >

0 существует N

(в) такое, что при

п > N

(г)

правая часть неравенства (8) меньше е,

а с нею будет меньше е

и левая

часть

(8)

сразу

для

всех

из

(а,

b),

т. е.

I f n +X(Х) +

•

• + fn+p (х) I <

е-

(9)

Отсюда

следует

(см. п. 208) сходимость

ряда (1). в

промежутке

(а, Ъ). Вместе с рядом (1) сходится и его остаток после n-го члена. Поэтому в неравенстве (9) можно перейти к пределу при р -+сю)


в результате	чего получим неравенство		\| гп (х) \|		е,	которое
имеет место для всех ж из (а, Ь) и и >■ N			(е). Следовательно,				ряд
(1) сходится равномерно по х в		промежутке		(а, Ъ).		из (я,	Ъ),
Абсолютная	сходимость ряда	(1) в любой		точке я0

т. е. сходимость ряда с общим членом \fn (х0) |, следует из сравне ния этого ряда с рядом (7) и условия (6). Теорема доказана.

Сходящийся положительный ряд (7) при условии (6) называ ется мажорантным рядом для ряда (1). При этом можно сказать,

что ряд (1)	мажорируется рядом	(7).
П р и м е р	3. Функциональный ряд		сходится n имеет
		1 —	X
	п=о		сходится абсолютно
указанную сумму в промежутке \| ж ) <С 1.		Данный ряд	сходится абсолютно

иравномерно в промежутке ) х | <] г, где 0 <і г <С 1.

214.Свойства равномерно сходящихся рядов. Пусть ряд

/і(* ) + /а(*) + . • • + /„ ( * ) + •■ •

(Ю)

сходится в промежутке (а, b) к функции / (а;), а его члены /„(я) непрерывны в этом промежутке.

Теорема. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных

функций

есть

функция

непрерывная.

(а,

Ъ).

Дано: ряд (10) сходится равномерно в промежутке

Требуется доказать, что его сумма / (ж) непрерывна в каждой

точке ж0

промежутка (а,

Ь),

т. е. для

каждого

е >

0 существует

соответствующее б >

такое, что при \х — ж0

| О

ô имеет

место

неравенство

|/(ж) —/(ж0)| < е .

(И)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При

любомфиксированном

сумму ряда

(10) можно представить в виде / (х)

sn (х) +

гп (х)

для любого

из

(а, Ъ);

в частности,

при х =

х0 имеем / (ж0) —

s„ (х0) -f- гп (х0).

Отсюда

следует

равенство

(х) — f

(х0)

■sVi (х) — sn (ж0)

гп (х)

— гп (х0) и

неравенство

\ f ( x ) - f ( x 0) \ ^ \ s n( x ) - s n(x0)\ + \rn{x)\+ \rn(x0)\.

(12)

2. Фиксируем любое б

>> 0. Согласно равномерной сходимости

ряда (10) в промежутке (а, Ь) числу

соответствует такое

(е),

что для

всех

из

(а,

Ь)

п >

N (е) имеем

к» И I

<-§-■

(13)

частности,

при х

ж0 имеем

| гп (х)0I < | -

3. Фиксируем любое п, удовлетворяющее условию га >> N

(е).

Частичная сумма sn (х) ряда (10) непрерывна в (а, Ь) как сумма

конечного числа непрерывных функций. Поэтому числу	соот-
	О

ветствует б >» 0 такое, что при | ж — ж01<4 б выполняется не

равенство I sn (ж) — sn (ж0) | < | .

Следовательно, при ] ж — ж0 \| <( б каждый член правой			части
неравенства	(12) меньше	а вся правая часть меньше	е, т. е.
		О
имеет место неравенство (11). Теорема доказана.
П р и м е р	1. Рассмотрим ряд
	(1—« )+ (1 —аг)ж+ . . . + (1 —х)х пАГ .		(14)

который сходится в промежутке 0 ss; х ^ 1. Действительно, при х = 1 все

члены ряда и его сумма равны нулю, а при 0 ^ х <С 1, суммируя бесконечно


убывающую			геометрическую			прогрессию, получим	s =	(1 —х)--------=		1
Несмотря			■					1	X
		на то,		что члены		сходящегося ряда непрерывны в промежутке
0 ÏÇ X SJ 1,			сумма ряда имеет точку разрыва х = 1.
	Докажем, что			ряд	(14)	сходится н е р а в н о м е р н о в промежутке
[0, 1]. При х ф 1				остаток этого ряда равен гп = хп. Возьмем произвольно»
Е >> 0. В		промежутке			0 <	х <С 1 неравенство \| гп\ <С е выполняется				при
п >	In е	=	N ( е , х ) . Если х->- 1, то имеем JV (е, х)->-оо.					Поэтому	не суще-
	In X
ствует единого N (е) для всех х из промежутка 0 <4 х							1, и ряд (14) сходится
неравномерно.

Теорема (о почленном интегрировании ряда). Равномерно сходящийся ряд непрерывных функций можно интегрировать почленно.

В условиях предыдущей теоремы требуется доказать, что при а <; сс <; ß. <; b имеет место формула

(15)

Доказать возможность почленного интегрирования ряда, т. е, возможность перестановки операций суммирования и интегриро* вания согласно формуле (15), это значит доказать, что существуют все интегралы, входящие в формулу (15), сходится ряд

				-	Г			(16)
				2	JІп (х) dx			(16)
				а
и	сумма	этого	ряда	равна		ß	(х) dx.
и	сумма	этого	ряда	равна		\f	(х) dx.
	Д о к а з а т е л ь с т в о .					а	равенстве
	Д о к а з а т е л ь с т в о .					В	равенстве
				f{x) = sn(x) + rn{x)				(17)
обе	части	непрерывны		в (а,	b), потому что sn (х) непрерывна
как	сумма	конечного числа			непрерывных слагаемых, / (х)			не
прерывна		в силу	предыдущей			теоремы, гп (х) непрерывна		как

разность непрерывных функций / (х) и sn (х). Поэтому все эти функции интегрируемы.

Интегрируя равенство (17) в промежутке от а до ß, получим

	ß		ß	2 îk{x) dx +		H
	J / (x) dx = J			2 îk{x) dx +		j rn (x) dx.	(18)
				1
В	конечной сумме	можно		переставить		операции суммирования
и	интегрирования,	поэтому величина
		ß	Г			м
		J	2	/а(*)	dx — 2	I fk {x) dx
		J	-А=1		1

представляет частичную сумму ряда (16).

Обозначим R n = J rn (x) dx и докажем, что R n -+■0. Согласно

равномерной сходимости ряда (10) в [а, ß] числу^-^> 0 соответ-

ствует N (е) такое, что выполняется неравенство \rn{x)\<C.^zra для всех п > N (е) и для всех х из [а, ß]. Мы предполагаем,

что в формуле (17) взято именно такое п (большее N {г)). Поэтому имеем

	ß	ß
I R nI	\ J rn(x) I dx <	\	dx < e	и	lim i?„-=0.
	a	a
			ß	on-\~	R n и перейдем
Запишем равенство (18) в виде j/ (x) dx =				on-\~	R n и перейдем
			a

в нем к пределу при n ->- со. Левая часть равенства от п не зависит,

а в правой части R n -у 0. Отсюда следуют сходимость	ряда (16)
и формула (15). Теорема доказана.
Теорема (о почленном дифференцировании ряда). Если в про
межутке [а, 5] 1) ряд (10) сходится к функции / (х),	2) члены

ряда (1Ô) непрерывно дифференцируемы, 3) сходится равномерно ряд, составленный из производных

СО	(19)
f n ( x ) ^ g ( x ) ,	(19)
/1=1

то ряд (10) можно дифференцировать почленно, т. е. имеет место формула

СО	с о
2 fn (х)	= 2	( 20)
	п=1

Доказать возможность перестановки операций дифференциро вания и суммирования в ряде — значит доказать, что существует /' (х) и что сумма ряда (19) равна производной от суммы ряда

(10), т. е. /' (х) = g (х).	Функция	g (х)	непрерывна, так
Д о к а з а т е л ь с т в о .
как выполнены все условия первой теоремы п.			214 для ряда (19),
поэтому g (х) интегрируема	в [а, Ъ].	Ряд	(19) удовлетворяет

всем условиям теоремы о почленном интегрировании рядов.

Интегрируя ряд (19) в пределах от а до х, где а							x sg Ъ, получаем
л		л			o°	■?
\ g (t) dt =		j	2 m dt -		2	Jfn (t) dt ■
		j	n=1
CO			OO
= 2	f n ( x ) — 2			f n ( a ) = f ( x ) ~ f ( a ) .
				X
Дифференцируя	равенство			\g (t) dt	=	f (x)	— f (a) по пере-
				a

менной x	в соответствии с теоремой Барроу, получаем g (x) =
= f (x).	Теорема доказана.

Смотрите также файлы

Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Справочник горного мастера геологоразведочных партий..pdf

Степанов Н.И. Основы проектирования гражданских и промышленных зданий учебник.pdf

Строительство и монтаж насосных и компрессорных станций учеб. пособие.pdf

Строительство лесовозных дорог..pdf

Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно