П р и м e p 2. Ряд |
+ |
. . .-\-xn-\- |
= --------1-- X удовлетворяет |
в промежутке |ж[ ^ r<j 1 всем условиям последней теоремы, поэтому его можно дифференцировать почленно. В результате получим
1 + 2 а : + З а : 2 - ( - . . . + ' |
(1 —г)2 |
|
Здесь равномерная сходимость ряда производных имеет место в силу
признака Вейерштрасса.так как существует мажорантный ряд ^ п г ”, который сходится по признаку Даламбера.
|
3. |
оо |
И2 |
II р и м е р |
г™ 2 |
|
А sin п^х сходится и даже равномерно в любом про- |
п = \
межутке. Но его нельзя дифференцировать почленно, так как ряд производных членов данного ряда 2 cos п'іх расходится — его общий член не стремится
кнулю.
215.Степенные ряды. Важным частным случаем функциональ ных рядов являются степеннце ряды, так называются ряды вида
|
|
&Q-р ире -р ЯъХ* -f- . . . -f- апхп р—...» |
(21) |
где я0, |
ах, . . . |
— вещественные |
постоянные. |
|
Первая теорема Абеля*. Если степенной ряд (21) сходится |
при X = |
хрФ 0, |
то он сходится абсолютно в промежутке \ х |<(| х0|. |
Если ряд (21) расходится при х = |
х х, то он расходится при каждом |
X, удовлетворяющем условию !д:|> -|а:1|. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть ряд |
(21) сходится в точке х0. |
Отсюда следует стремление к нулю общего члена этого ряда |
апх” |
и его ограниченность: [ апх” [ < |
М |
при |
всех п. |
|
Члены ряда У |а„а;п | удовлетворяют |
соотношению |
|
|
|
|
|
|
|
X |
< M qn, |
(22) |
|
|
|
|
|
|
XQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
где q |
X Q |
Если |
\ х I < |
"'ОІ! |
то |
величина q удовлетворяет |
соотношению 0 <; q |
1,и |
поэтому сходится геометрический ряд |
с общим членом М qn.
Отсюда согласно теореме сравнения и неравенства (22) следует сходимость ряда с общим членом | апхп | и абсолютная сходимость
ряда (21), |
если \х \< ^\ х 0\. |
|
|
Если ряд (21) расходится в точке х 1г то он расходится в любой |
точке X, в которой |х \ ~^> | х^ |. Убедимся |
в этом рассуждением от |
противного. Если бы ряд (21) сходился при условии |
|х |> |а : 1|, |
то согласно |
первой части теоремы он |
сходился бы |
в точке x lf |
но он в этой точке расходится по условию. Отсюда следует ут верждение теоремы.
* Нильс Генрих Абель (1802—1829) — норвежский математик.
С л е д с т в и е |
1. Для каждого степенного ряда (21) су |
ществует число R, |
называемое радиусом сходимости этого ряда, |
со следующими свойствами: в области |ж |<( R ряд (21) сходится |
абсолютно, при \ х\ > R ряд (21) расходится. В частности, может оказаться, что R = 0 и тогда ряд (21) расходится при всех зна чениях X , отличных от нуля, или же R = оо и тогда ряд (21) сходится при всех значениях х.
Пусть ряд (21) сходится при X = х0 > 0. Если мы будем уве личивать число х0, то могут встретиться только два случая: или этот ряд будет оставаться сходящимся при сколь угодно большом
£0, тогда R |
— со; или же будет существовать такое число R, |
что при всех х0 <( R |
ряд (21) сходится, но при х0 > R ряд рас |
ходится. |
|
х <( R называется |
интервалом |
сходи |
Промежуток — R |
мости степенного ряда. |
(21) является |
проме |
Областью |
сходимости степенного ряда |
жуток (—R, |
R), к которому в отдельных |
случаях добавляются |
одна или обе границы промежутка (что зависит от свойства кон кретного исследуемого ряда).
В ы ч и с л е н и е р а д и у с а с х о д и м о с т и . Дан ряд (21). Предположим, что существует и отличен от нуля предел
lim ап +1 |
р. Тогда |
|
|
|
|
lim |
ап+1хп+1 |
—lim |
ап+1 |
х\ — \х\р. |
|
f l -*■ОО |
апхп |
п->ОО |
On |
|
В соответствии с признаком Даламбера ряд (21) 1) сходится
абсолютно при \х\р < 1, т. е. при \х\<^ —, 2) расходится при
|а : |р > 1 . Отсюда следует, что радиусом сходимости ряда (21) является число
РП-і-СО я я+1
Если р = 0, |
ТО ряд сходится всюду. |
|
|
|
|
П р и м е р |
1. |
Ряд |
■ѵр 1 |
|
|
|
R = |
У — — ) имеет радиус сходимости |
ä= lim -2-^-І!2_ = з, Областью |
сходимости |
данного |
ряда |
является |
проме |
жуток —3 sS я<\3. |
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
2. |
Ряд |
У, га\хп |
сходится |
только в |
точке |
ж0 = 0, так как |
Д = 0 . |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
П р и м е р |
3. |
Ряд |
|
сходится при всех х, |
так как Я = оо. |
С л е д с т в и е 2. В каждой внутренней точке промежутка сходимости степенной ряд сходится абсолютно и поэтому обладает всеми свойствами абсолютно сходящихся рядов (переместительным, сочетательным, свойством почленного умножения).
Степенными рядами называются также ряды вида
2 а п ( я - - ч ) п , |
п=О |
|
где ап и х0 — вещественные числа. |
Путем замены х — х0 —і/ |
ряд (24) приводится к ряду вида (21). Пусть R есть радиус схо |
димости ряда с общим числом апуп и |
промежуток — R ' у <А R |
есть его интервал сходимости. Тогда интервалом сходимости ряда (24) будет промежуток х0 — R < х <[ х0 + R.
Вторая теорема Абеля. Степенной ряд (21) сходится равно мерно в любом промежутке [а, ЪІ, целиком содержащемся внутри
|
|
|
|
|
|
интервала |
сходимости этого ряда. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть R — радиус сходимости ряда |
(21), а я b — две внутренние |
точки интервала сходимости. Обо |
значим через г наибольшее из чисел |
| а | и | b |. Рассмотрим |
три |
промежутка: [a, b \ а |
[—г, Н с: (—R, |
R). |
R), |
Точка |
г является |
внутренней точкой промежутка (—R, |
и в ней по первой теореме Абеля ряд сходится абсолютно, т. е.
сходится ряд с общим членом | ап \ гп. Этот ряд |
мажорирует ряд |
(21) в промежутке [—/, Н, потому что |
I |
I апIгп. Следо |
вательно, по признаку Вейерштрасса ряд (21) сходится равно мерно по х в [й, fol. Теорема доказана.
Можно доказать,* что если ряд (21) сходится в точке R или
—R, то он сходится равномерно в промежутке [a, R] или соот ветственно [—R, Ъ], где а я b — внутренние точки интервала сходимости.
Из второй теоремы Абеля следует, что степенные ряды обла дают всеми свойствами равномерно сходящихся рядов. Сформули руем эти свойства: сумма степенного ряда (21) есть функция, непрерывная в каждой точке области сходимости ряда. Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно почленно дифферен цировать и интегрировать сколько угодно раз, причем в результате этих операций получатся степенные ряды, имеющие т о т ж е р а д и у с с х о д и м о с т и, что и исходный ряд.
Доказательство неизменности радиуса сходимости при ин тегрировании и дифференцировании степенного ряда ниже при
ведено при |
дополнительном условии, что |
существует предел |
lim |
Qn |
: і?, величина которого согласно |
(23) равна радиусу |
|
а л+1
сходимости ряда (21). В результате интегрирования ряда (21) получим степенной ряд
2 1 a„xndx = |
г п+1 |
»1=0 n+ 1 |
* См.: В. И. С м и р н о в . Курс высшей математики, т. I, § 14.
Его радиус сходимости согласно (23) равен
Ri = lim |
а п |
|
Î7 - + k a n + 1 |
re + |
2 |
= lim |
e in |
re |
1 |
n ^ СО |
a n +1 |
В результате дифференцирования ряда (21) получим степенной ряд с общим членом папз?1~1, радиус сходимости которого равен
і?2 = lim |
(ге +1) Дп+і |
= lim I an |
(‘ |
re + 1 |
= R. |
Я - » с о |
71-*h I a n + 1 |
|
Принимая во внимание свойства, которыми обладают степен ные ряды, с этими рядами можно обращаться как с многочленами.
216.Ряд Тейлора. Постановка вопроса о разложении данной
впромежутке (а, Ъ) функции / (х) в степенной ряд заключается
вследующем. Разложить данную функцию / (х) в степенной ряд
в |
окрестности |
(а, ß) |
точки х0 или, что то же, представить / (х) |
в |
окрестности |
(а , ß) |
точки х0 степенным рядом —это значит |
найти ряд вида (24) со следующими свойствами: ряд (24) сходится в (а, ß) и в кащдой точке этого промежутка его сумма ряда равна
/ (я):
|
СО |
|
|
|
/ (*) = 2 |
а п (х ~ хоТ- |
(25) |
|
п-0 |
|
|
Требуется также выяснить условия представимости |
функции |
степенным |
рядом. |
|
— х0 \ <С |
Известно, что ряд (24) сходится в промежутке вида \ х |
/■<; R, |
где R — его радиус |
сходимости. Поэтому под (а, ß) |
мы всегда будем понимать окрестность точки х0 указанного вида.
П р и м е р . |
Функция |
f-(x) |
— |
1 определена при всех вещественных |
X , кроме X = |
1, |
и является |
при |
1 — X |
условии' |х| <С 1 суммой степенного ряда |
1 + X + . . . + |
|
1 |
|
\ |
xnJr. . .= -------. Таким образом, функция - — — представима |
этим рядом в |
промежутке |
—1 < |
г < |
1. |
Пусть / (х) определена в точке х0 и имеет в этой точке произ водные всех порядков / (п) (х0). Рядом Тейлора функции / (х) в окрестности точки х0 называется ряд
|
2 ^ j ^ ( x - x 0y\ |
|
|
(26) |
|
п=0 |
|
|
|
|
где /<0) (х0) = / (х0) и |
0! = 1 ; |
коэффициенты |
этого |
ряда |
ап— |
= - у / (п) (х0) называются коэффициентами Тейлора. |
Такое |
на |
звание сохраняется за |
рядом |
(27) независимо |
от того, сходится |
он или нет и какова |
его сумма. |
|
|
|
