Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 181

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Теорема 1. Если / (х) можно представитъ в некоторой окрест­ ности точки х0 степенным рядом (25), то’такое представление единственно, и этим рядом является ее ряд Тейлора, т. е.

СО

/<*> = 2

^

(27)

 

7 1 = О

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

условию имеет место

тождество

(25) ь области \х — х0\

г. Известно, что степенной

ряд (25)

можно дифференцировать любое число раз. Следовательно, сумма

этого ряда / (х) имеет производные

всех порядков

в

области

IX — х0 \<( г. Таково н е о б х о д и м о е

у с л о в и е

представи­

мости / (х) степенным рядом (25).

последовательно

к

раз:

Дифференцируем

тождество

(25)

 

СО

 

 

 

 

 

/' (Х) = 2 пап(X— Х0Г \

• • м

 

 

 

П=1

 

 

 

 

 

/ (ю (х) =

со

 

 

 

 

 

2 п(п — 1) . . . (п — к + 1) ап (х — х0)п~к.

 

 

n-=k

 

 

 

 

 

Отсюда и из (25) при х = х0 получим

 

 

 

 

/ (*о) = а0>f (х0) = аи

f k) {х0) = к\ак.

 

 

Следовательно, ап

/ (п) (^о)

ПРИ »

=

0, 1, 2, . . . .

 

 

Ряд (25) с этими коэффициентами и есть ряд Тейлора (27). Теорема доказана.

В процессе доказательства теоремы было установлено, что для того чтобы функция могла быть разложена в степенной ряд, н е о б х о д и м о , чтобы она имела производные всех порядков. Это условие не так уж невыполнимо. Многие элементарные функ­

ции

ему

удовлетворяют. Например, ех и

sin х.

г производ­

Пусть

функция / (х) имеет в области | х

— х0| <

ные

всех

порядков. Тогда можно составить ряд

Тейлора (26)

и формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (см. п. 51). Формулу Тейлора запишем в виде / (х) — sn (х) +

+ R n (х), где sn (х) есть п-я частичная

сумма ряда (26),

а

=

о Г 1.

(28)

Выясним, при каком условии ряд (26) сходится к / (х), т. е. существует предел последовательности частичных сумм sn(x) и этот

предел равен / (х).

Из равенства

/ (х) = sn (х)

+ R n (х) следует,

что

для этого необходимо и достаточно,

чтобы при всех

X из

промежутка

| а: — т0 ] <; г

выполнялось

условие

 

 

lim R n (х) — 0.

(29)

 

 

71-+-ÇQ

 

 

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Для того чтобы функция / (х), имеющая производ­ ные всех порядков в промежутке \х — хп| <" г, могла бытъ пред­ ставлена в этом промежутке степенным рядом, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при п —>°° для всех х из указанного промежутка.

Заметим, что условие (29) проверить трудно уже потому, что в него входит величина с, точное значение которой неизвестно Поэтому ниже доказана теорема, содержащая удобное во многих случаях достаточное условие представимости функции степенным рядом.

Теорема 3. Если функция / (х) имеет в промежутке \х — хп| <+ <+ г производные всех порядков, которые ограничены по совокуп­ ности, т. е. существует число М такое, что выполняется нера­ венство

\ f n}(x)\<M

(30)

для всех п и при всех х из промежутка \ х — л0 | <+ г, то функция / (х) может бытъ представлена степенным, рядом (27) в этом промежутке.

Доказательство сводится к тому, чтобы проверить условие

(29). В силу

(30) имеем

 

Г«+1

 

 

I X — X g |п + !

< М

(31)

2 М

Rn(x)\ = \fn+V(c) I (и+ 1)!

(и+ 1)!

уІ1+1.

 

 

 

-0Усходится по признаку Даламбера, поэтому его

общий член стремится к нулю. Отсюда следует согласно (31),

что выполнено условие (29). Действительно, числу ~

> 0 со-

ответствует такое JV (е), что выполняется неравенство^ —

<+ — ,

а вместе с ним и неравенство | R n (х) \ <Д е при п > N (е) и всех х

из IX — х01< г. Теорема доказана.

 

П р и м е ч а н и е .

Мы доказали нечто большее, чем теорему 3. Упомя­

нутое N (е) не зависит

от х. Поэтому при п

оо остаточный член Rn (х)

стремится к нулю равномерно * по х в промежутке | х — х0 [ <+ г, а отрезок ряда Тейлора sn (х) с достаточно большим п является многочленом, равно­ мерно приближающим ** данную / (х) в промежутке \х — х0 | <+ г.

217. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды. Частым случаем ряда Тейлора (27), соответствующим усло­

вию х0 = 0, является так

называемый

ряд Макларена

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

т

- 2 ^ *

- .

<32>

 

 

 

71=0

 

 

*

То есть неравенство

| R n (х) | <+ е выполняется при п Д> N (е)

сразу

для всех X из промежутка | х — х0 | ■+ г.

г выполняется при п г> N (е)

**

То есть неравенство

| s„

(х) — f (х) \<

сразу для всех х из промежутка | (х — х0) | <; г.

Составим разложения основных элементарных функций по

степеням х.

 

f(x) = ex. Здесь

 

 

 

 

 

 

1. Разложение

/(П)(ж) = е* и /(п) (0) —1.

 

По формуле

(32)

получим разложение

показательной

функции

в степенной

ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х + -2Т+ • • • + — +

 

 

(33)

 

 

п = 0

 

 

 

п !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие (30) в нашем случае выполнено

в любом

промежутке

\х\ <

г, так

как |/ (п) {х) | = е*<; ег. Поэтому

формула

(33)

верна

при

всех X.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Разложение

/ (х) —sin х.

Здесь

f

k) (a:) = sin

+

»

f k) (0) = sin -у . = о при /с = 2п, f k) (0) = ( — 1)” при к = 2п + і.

Поэтому имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin X

п2-0

(_1)ПХ2П+1

^

 

Х3

 

. +

( - ! ) "

^274-1

 

 

(2га + 1) !

~ Х ~ зТ

 

(2га + 1)! +

-----

Формула (34) верна при всех х ,

так как | /(n) (х) | er 1.

 

(34)

 

 

3. Разложение / (х) — cos х. Дифференцируя тождество (34),

получим

верное при

всех

х

равенство

 

 

 

 

COS X :

 

-1)«х2

 

 

X1

 

+ (-!)"■ (2га)!

 

(35)

 

(2га)!

'= 1 ~

JT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?і= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Разложение

/ (х)

= (1

+

х)а,

где

а

— любое

веще-

ственное

число.

Здесь

f lk) (х)

=

а (а

—

1). . . (а

—

к +

+ 4)(1 + x)a~h

и

 

 

f k) (0)

=

а (а — 1) . . . (а —

к

+ 1 ) .

Формула

 

(32)

в этом

случае

дает

биномиальный

ряд

(1+ х )а = і + ах + g -(-|

1} ж2 + .

 

а (а —,1) . . . (а — fc+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ä1

 

 

 

Можно доказать (на чем'мы останавливаться не будем), что равенство (36) верно при \х \ < 1. Полезно выделить следующие частные случаи биномиального ряда:

71

1) при а = п имеем бином Ньютона (1 + ж)"= 2 Сп*', fc-0

2) при а — — 1 имеем геометрический ряд

 

СО

 

=

І (-ж )'

(37)

 

п=и

 

3) при а == — — имеем

1

n i - 3-5 •• • (2м — 1) -

(38)

Ѵі + х

 

 

 

П-1

4)заменив в (38) х на —х2, получим

 

1

, ,

СО

 

 

 

 

ѴМ - 3 - 5 . . . (2п — 1)

г271.

(39)

 

У 1 - г 2

і +

2 :

2" ■м!

 

 

 

п-1

 

 

 

5.

Разложение / (х) = ln (1 4 х)

получим путем

интегрирования

ряда (37) в промежутке от 0 до х:

 

 

 

 

In

п-0

 

 

 

(40)

 

 

 

 

 

 

6.Разложение f(x) —arctgx получим путем интегрирования

ряда (37), если в нем предварительно заменить х на хг:

2

7-2И+1

 

( - І Г ^ Т + і ( - 1 ^ * * £ І ) .

(41)

71 = 0

 

 

7. Разложение / (х) = arcsin а; получим путем интегрирования ряда (39)

arcsin X — X -

1 - 3 - 5 . . . (2м —1)

х2«+і

(42)

2п - и!

Zu -f-1 ( - 1

 

П -1

 

 

Области сходимости рядов (40)—(42) указаны в скобках. Заметим, что все полученные разложения верны и в комплекс­ ной области (см. п. 212). Поэтому, если заменить в ряде (33) х

на іх, то получим равенство

со

СО ( —1)^271

СО

(__1)ПЛ2М+1

(43)

еіх

(2м)! + ‘ 2

(2и+ 1)!

’

?ï=>0

 

71= 0

п=о

 

 

 

из которого следует формула Эйлера

е1Х =

cos х +

i sin х.

 

Ряд (43) с комплексными членами сходится, потому что схо­

дятся соответствующие

вещественные

ряды.

 

 

218. Некоторые приложения степенных рядов.

Познакомимся на примерах с использованием степенных рядов при вычислении интегралов и пределов функций.

1. Интегрирование функций. Известно, что не всякая элементарная функция интегрируема в элементарных функциях. Например, функция

е~х непрерывна при всех х и имеет первообразную, которая не является элементарной функцией.

AT

П р и м е р 1.

Интеграл J e~x*dx вычислим путем разложения подын-

тегральной функции

о

ряд и почленного его интегрирования.

в степенной

Если в тождестве

(33)

заменить х на

■—я2, то получим равенство

 

 

с о

 

 

 

е-Д'2

(44)

п = о

которое имеет место при всех х. Интегрируя его почленно, получим формулу

 

дт

о о

 

х2п+і

 

 

п2= о п\ J

2О

(-1)"

(45)

 

2га+Т’

о

га !

 

 

 

 

 

 

которая при любом ж даст представление нашего интеграла в виде бесконеч­

ного степенного

ряда.

 

вычислить в пределах

от 0

до

ж

интеграл от

П р и м е р

2.

Желая

sin X ,

разложим

эту функцию

в степенной

ряд. Путем

деления ряда (3/j)

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на X получим

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin.г

(—\)пх2п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

jUi

(2га + 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п=о

 

 

 

 

 

 

 

Естественно

положить единице значение этой функции при х = 0.

Путем

почленного

интегрирования найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

X sin t

 

оо

t

(_1)П г2П

dt - ~

 

(—l)n x2n+i

 

 

 

0

t

dt ■ 2

ÎJ

(2ra + l)!

 

(2re +

l)! (2ra +

l)

'

 

 

 

n=0

0

 

 

ra=0

 

 

 

 

 

2. Раскрытие неопределенностей. Вычисление предела функции с по­ мощью степенного ряда иллюстрируем примером.

cos 2х_\

II р и м е р 3. Требуется вычислить предел L — lim —у-----------— .

х-*о —1—Зж

Разложим в степенные ряды отдельно числитель и знаменатель дроби и вы­ делим в них общий множитель ж2:

cos 2ж — 1

О - у г ^ + т г l t e 4 ~

• • О

-

ж2 ( - 2 + - | * а - .

• •)

1

 

 

e zx— 1 — S x

( l + 3 z + ^ j - V + . . • )

1

Зж

, ( 9 , 9

.

 

 

* * \ 2 + Т х + • ■ •)

Сократим дробь на ж2, затем положим в правой части этого равенства ж = О и, пользуясь непрерывностью суммы степенного ряда, получим окончательно

219. Понятие о ряде Фурье.* Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

СО

 

-у + 2 (а„ cos яд: + sin пх).

(46)

П=1

 

Смотрите также файлы