Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 180

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Разложить данную функцию / (х) в промежутке (—л, я) в три­ гонометрический ряд или представить / (х) в промежутке (—я, я) тригонометрическим рядом — это значит найти ряд вида (46), который в этом промежутке сходится к / (х), т. е. имеет место равенство

 

СО

 

/ (X) - - -у- +

2(ffl„cos пх-\- bnsin пх)

(47)

 

71=1

 

по крайней мере в точках непрерывности / (х).

называются

О п р е д е л е н и е 1.

Функции ф (х) и ф {х)

ортогональными в промежутке (а, Ь), если равен нулю интеграл

ь

 

J ф (х)ф (х) dx —0.

(48)

а

 

Воснове теории рядов Фурье лежит свойство ортогональности

ßпромежутке (—я, я) системы тригонометрических функций

 

{1, cos пх, sin пх) (п = 1, 2, . . .).

Действительно, нетрудно

проверить

равенства

Л

л

 

 

j

sin пх sin mxdx = ^

cos nx cos mxdx ~ 0 (пфт),

- Л

-я

 

 

я

я

 

 

j

sin nx cos mxdx = j

sin nxdx = j

cosnxdx = 0,

которые имеют место при всех натуральных п и т. Имеют место также формулы

(49)

(50)

Я

Я

Я

 

J dx ^ 2 я,

Jsin2rexdx= | cos2rcxdx == я.

(51)

—Я

—Я

—Я

 

Предположим, что функция / (х) представима тригонометри­ ческим рядом (47), который сходится равномерно в промежутке [—я, я]. Интегрируя ряд (47) почленно, согласно (50) и (51) получим

я

Я .

о о

Я

Я

 

j/(x )d x = 4p

^ dx +

2

ап j

cos пх dx -\-bn J sin nx dx

• Jtßn

“ Я

-Я

71=1 '

-Я

-Я

/

Если умножить ряд (47) на cos kx (при фиксированном натураль­ ном/с), то получим опять равномерно сходящийся, ряд, так как его

остаток I rncos kx |

| rn|. Интегрируя почленно новый ряд, получим

Л

Я

 

 

J / (х) cos kx dx — -у- J cos kx dx +

 

СО

л

л

\

V

J cos пх cos kx dx 4-

bn J sin пх cos kx dx

 

п=і

 

 

 

где опять равны нулю все члены ряда, кроме одного, соответству­ ющего условию п = к. В соответствии с (51) получим

я

J / (х) cos kx dx — nakm -Я

Я

Аналогично найдем [ f (х) s in kx dx —л bk.

Отсюда следует единственность разложения / (х) в тригоно­ метрический ряд. Коэффициенты этого ряда определяются фор­ мулами

я

я

 

ап — ^- ^ / (х) cos пх dx, Ъп = -і- ^ / (х) sin пх dx

(52)

-я

-я

 

при п — 0, 1, 2, . . .

и называются коэффициентами Фурье функ­

ции / (х). Рядом Фурье функции / (х) в промежутке (—л, я) назы­ вается тригонометрический ряд (46), коэффициенты которого определяются формулами (52). Следовательно, имеет место ут­ верждение.

Теорема.

Если функция / (х)

разлагается

в

промежутке

[— л, л] в равномерно сходящийся

тригонометрический ряд

(47),

то последний

необходимо будет ее рядом Фурье.

 

 

П р и м е р

1.

Функция

задана равенствами / (х) =

—1 при

—я <'

< і < 0 и / ( і )

= 1

при 0 ^

X <; я. Требуется разложить ее в ряд Фурье'

Вопрос о существовании такого разложения мы пока

не

рассматриваем.

По

формулам

(52) найдем ап = О,

^2П—О, Ь

 

 

Поэтому

2И + 1 =

я (2га+

1) ’

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

=

[ s i n

Ж + - | S in 3 x + . . .

+ і sin (2га-И)-Г

• • • ]

Это и есть ряд Фурье данной функции в промежутке (—я, я).

Ряд Фурье функции / (х), заданной в промежутке (—I, I), можно получить с помощью ряда (47) путем замены переменной.

Величина z =

изменяется в промежутке — л <; z <( л.

Разложим в ряд Фурье в промежутке (—л, л) функцию, опреде­

ляемую

равенством

ф (z) SEE /

 

 

Получим

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

/(*) = / ( ' ^ ) E=(P(z) =='T

+

2 ^

nC0SnZ ~ b nsinnz).

(53)

 

 

 

 

Гі=1

 

 

 

Возвратившись к переменной

х,

получим ряд

Фуръе

функции

j (х) в

промежутке

(—I, I):

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

/ H = ^ - + 2 ( a«C03' ^ r + è«sin ^T£ )

(54)

 

 

П=1

 

 

 

 

 

Его

коэффициенты определяются равенсівами

 

 

 

я

 

 

/

 

 

 

 

an — ~ \j Ф (z) cos nzdz--=Y^f (х) cos

dx,

(55)

 

-я

 

 

-I

 

 

 

 

Ъп= у j* / (х) sin

- dx.

 

 

 

 

-I

 

 

 

 

 

Сформулируем достаточные условия представимости функции рядом Фурье. Пусть / (х) в промежутке ( —I, I) удовлетворяет условиям Дирихле; это значит, что она в этом промежутке непре­ рывна или кусочно-непрерывна (т. е. имеет конечное число раз­ рывов первого ряда) и монотонна или кусочно-монотонна (т. е. промежуток можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых функция монотонна).

Теорема Дирихле*. Если функция / (х) удовлетворяет условиям Дирихле в промежутке [ — I, Z], то ряд Фуръе этой функции схо­ дится во всем промежутке [—1,1] и сумма этого ряда равна

/ (х) — в точках непрерывности функции,

f (ха—0)+ /(^nJ-0)

в точке х0 разрыва функции,

 

2

 

 

 

 

/(Z —0) + /(

1+ 0)

на концах промежутка.**

 

2

 

 

 

 

П р и м е р

2. Разложить в ряд Фурье в промежутке (—I, I) функцию

У = I <1-

 

 

 

* Петр Густав

Лежан-Дирихле (1805—1859) — немецкий математик.

** Доказательство теоремы см. в работе В. И. Смирнова «Курс высшей

математики», т.

II,

§ 14.

 

Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Ее коэффициенты Фурье вычислим по формулам (55). Данная функция четная, поэтому получим

Ьп = 0, а0 = I и

 

 

I

плх

 

21

плх

I

21

 

 

а

 

01

 

[(—l)n- l .

 

I

 

n*Л2

l

о

Я 2Я 2

 

 

X cos —;— dx =.-

- cos —=—

 

 

 

 

Функция

I £ I в

промежутке

(—1,1)

может быть

представлена

следующим

рядом Фурье:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I*

1_

 

І і

 

 

 

1

5лх

 

2

 

Л 2

 

 

 

5T C0S~ T

. .

. ) . (56)

В соответствии с теоремой Дирихле сумма этого ряда равна | х \ в каждой внутренней точке промежутка (—L, I), а на концах этого промежутка сумма

ряда

равна

среднему

арифметическому

 

предельных значений

функции,

т. е.

равна

I.

3.

Разложить в ряд Фурье в промежутке (—I, I)

функцию

П р и м е р

у — х. Это нечетная функция. По форму.там (55) получим ап —-О,

 

 

 

 

2

I

, плх

 

21

 

 

21 .

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

Ъп ——- \ Xsm —;— dx—---------cos пл —------(—l)n+1.

 

 

 

 

 

I

j

 

I

 

пл

 

 

пл

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Данную функцию представляет в промежутке (—I, Г) ее ряд Фурье

 

 

 

21

! .

лх

1

.

2лх

.

1 .

Зяж

 

(57)

 

 

 

л

\

I

2

 

l

'

3

I

 

 

 

 

 

 

 

220. Общие

ортогональные

системы

функций.

Рассмотрим

последовательность

функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ср„ (а:)},

 

 

(58)

п р и н адл еж ащ и х

классу

Ь 2,

т. е. к л ассу

ф ункций, оп ределенн ы х

в п р ом еж утк е

(а, Ъ) (где

а и

b — числа или символы

— сю, + о о ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

для

которых

существует интеграл

Jp (х) фfl(x)dx при

некоторой

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

данной положительной в (а, Ъ) функции р (х), называемой весовой функцией.

О п р е д е л е н и е . Скалярным произведением функций ф„ (х)

и фт (х) с весом р (х) называется интеграл

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

(фл, фт) = f Р (X) ф„ ( X )

фт (х) dx.

*

 

(59)

 

 

 

а

 

 

 

 

 

Этот

и нтеграл

имеет

см ы сл,

так

как

| фгафт I

 

у (ф* +

фт)-

Очевидно,

скалярное произведение

функций

обладает

та­

кими

свойствами: 1°.

(ф, ф)

= (ф,

ф),

2°. (с

ф, ф) = с (ф, ф),

3°. (Фх + Фа, Ф) = '( Ф іФ ) + (Фг. Ф)-

Смотрите также файлы