Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 174

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Нормой функции ф„ (X) называется число, равное арифмети ческому значению корня квадратного из скалярного произве дения ф„ (X) на ф„ (X):

ІІФ»(*)І =	ѴГ(Ф«І Ф„).	-	(60)
Функция ф„ (X) называется	нормированной,	если	ее норма

равна единице: || ф„ (х) || = 1.

Функции ф„ (X) и фт (X) называются ортогональными в про межутке (а, Ъ) с весом р (х), если равно нулю их скалярное произ ведение: (ф„, ф,„) —- 0.

Система функций (58) называется ортогональной в (а, Ъ),

если все эти функции попарно ортогональны, и ортонормирован ной, если указанные функции, кроме того, нормированы.

Если система (58)	ортонормирована,			то
(ф„	фот) =	( 0 при		п ф т ,	(61)
		— ) .		п = т.
		( 1 при			'
П р и м е р . Система	тригонометрических		функций
{1, cos пх, sinraæ)		w = l,2,	. . .		(62)

ортогональна в промежутке (—я, я) с весом р = 1, так как при п=ф т вы полнено условие (<рп, фт) = 0 (см. п. 219). Однако функции (62) не норми рованы, так как отличны от единицы интегралы (51) и. 219. Для того чтобы нормировать семейство функций (62), надо разделить функции этого мно жества на соответствующие постоянные, и мы получим ортонормированную систему функций

1	cos пх	sin пх Ï
У2я	Vя	V я }

Теорема 1. Всякую ортогональную систему функций можно нормировать.

Действительно, пусть (58) есть ортогональная система функций. Если каждую функцию этого семейства разделить на ее норму,

то получим систему			I фп (*)	1 которая ортонормирована, потому что
			' НфпІІ )’
	/	фя	фт.	\ __	1	/	-,	о
	Vт а г ’		т а г ) ~ I ФяініФтіі ^				фт' ^	пт-
Теорема	2. Всякую систему линейно независимых в (а, Ь) функ
ций можно	ортогонализироватъ.
Пусть функции системы (58) линейно независимы в том смысле
что любая	их	линейная		комбинация			а 1ф1 (х)	+ • • • + а„ф„ (х)

обращается в нуль тождественно в (а, Ь) лишь при условии <хг = = а 2 = • • •= ап = 0.

Процесс ортогонализации последовательности функций (58) заключается в том, что каждую функцию множества (58) заменяют такой линейной комбинацией исходных функций, чтобы новая

система функций получалась ортогональной. Докажем возмож ность такого процесса ортогонализации. Для этого положим


Ф і=ф і,	Фа = М Ф + ф2, Фв =			*-зіФі"г ЬзгФа-гФв,
Фя — ^ліФі “Г ^ягФг		• • ■Т		^/ш-іФя-1 "I фл, • • ■
и выберем коэффициенты Klk так,				чтобы выполнилось условие
ортогональности семейства		функций			{ф„ (ж)}.
Требование	(ф2, фх) = 0	или	А,21 (фх, фД -}- (ф2, Фі) == 0 бу
дет выполнено,	если положить		Я21 =		—(ф2, фі)/(фі> фД-

В соответствии с методом полной математической индукции

предположим, что функции ф1; ф2, . . ф ,^ попарно ортогональны
и соответствующие	Xik уже	выбраны. Требование (ф„, фД = О
при к = 1, 2, . . . ,	п — 1	или

(ф и ,Фа) = Кі ( Ф і,Фа) -Г • • • н - Kk (Фа, Фа) + • • • +

+ К п - і (Ф л -1, Фа) -Г (Фл, Ф а) = K k (Ф а, Фа) 4 - (ф л, Ф а) = О

будет выполнено, если положить —(ф л, Фа) /( Ф а, Фа)-

Здесь существенно, что функции системы (58) линейно независимы, и поэтому никакая их линейная комбинация (в которой не все коэффициенты равны нулю), в частности фА, не равна тождественно

нулю в (а, Ь) и, следовательно, (фд,, фД	0. Теорема 2	доказана.
С и с т е м ы о р т о г о н а л ь н ы х	п о л и н о м о	в . Осу

ществим процесс ортогонализации, описанный при доказательстве теоремы 2 применительно к множеству степеней {хп} с натураль ным показателем п в промежутке (a, b) при весовой функции р (х) Очевидно, любая линейная комбинация функций этого семейства, содержащая конечное число членов, есть полином, и в результате ортогонализации будет получено семейство полиномов, ортого нальных в (а, Ь). В зависимости от выбора промежутка (а, Ъ) и весовой функции р (х) таким образом приходим к системам орто

гональных	полиномов, приведенных в таблице на стр. 382.
В последнем столбце приведено дифференциальное уравнение,
которому	удовлетворяет* соответствующий полином.

221. Обобщенные ряды Фурье. Дана ортогональная в проме жутке (а, b) система функций (58). Рассмотрим функцию / (х) из класса Z2, которая может быть представлена** в (a, b) в виде

ряда по системе	функций (58)
	СО
	/ (*) = 2	с„ф„(*)	(63)
	71=1	сп.
с постоянными	коэффициентами	сп.

*См. работу В. И. Смирнова «Курс высшей математики», т. III.

**Достаточные условия представимости функции в виде ряда (63) см., например, в книге А. Н. Тихонова и А. А. Самарского «Уравнения математи ческой физики». М., «Наука», 1966, с. 621.

а	ь	р (ж)	Название	Обозначение		Дифференциальное
а	ь	р (ж)	полинома	полинома		уравнение
- 1	. + 1	1	Лежандра *	En (X)		( і - х 2) у " - 2ху' +
		1				+ п (п + 1) ÿ = 0
		1
- 1	+ 1	2	Чебышева	Тп(х)		(1 —хЧ) у" —хі/ + пп~у 0
—1	+ 1	(1 —х р х	Якоби	Р гС(	(*)	(1 — аг2) у"-p [ß —ос —
		Х(1-Р*)3				— (a + ß+ 2) х\ у’-р
		е-х				-Pn(re-Pa-Pß-Pl)y = 0
0	-роо	е-х	Чебышева —	Ln (х)
			Лягерра
0	-р оо	хаь~х	Обобщенные	L tf (.г)		х у " + (а —х — і)у'-\-пу =
			полиномы			= 0
			Лягерра
— оо	-рОО	е~х%	Чебышева —	Нп (х)		у” —2ху' + 2пу = 0
			Эрмита

Теорема единственности. Если / (х) допускает представление вида (63), то такое представление единственно.

Докажем, что коэффициенты ряда (63) определяются одно значно при дополнительном предположении о возможности почленного интегрирования ряда, который получается из (63) умножением на р (х) срА(х). Действительно, в результате такого умножения, а затем интегрирования ряда получим равенство

	СО
(/, Фй) =	2 сп(фя, Фй) = Ck (ф*. фй),
	П=1
из которого следует,	что
	^	(/. tfk)	(64)
	k	(фй, фй) '	(64)
	k	(фй, фй) '
Коэффициенты ряда (63), определяемые формулами (64), на
зываются обобщенными	коэффициентами Фурье, а сам ряд (63)

с такими коэффициентами называется обобщенным рядом Фурье функции / (X) по системе функций (58). Если (58) есть система

тригонометрических	функций		(62),	то	имеем частный случай
ряда (63) — ряд Фурье		(см.	п. 219).
Пусть данная система функций (58) ортонормирована в (а, Ъ).
Функция а 1,ф1 (х) +	• • • +	а„ф„( х),		где	а 1т . . ., ап — постоян

ные коэффициенты, называется обобщенным полиномом порядка п.

О п р е д е л е н и е . Пусть функции / (х) и g (х) принадлежат классу L 2, причем а и Ъ суть числа. Средним квадратичным укло-

гіением между функциями f (х) и g (х) в промежутке [ а, b] н а з ы

в а е т с я ч и с л о ô , о п р е д е л я е м о е р а в е н с т в о м

ô =	_1__	^ P W	lf(x)~ g(x)]2dx.	( 6 5 )
	b — a

П о с т а н о в к а з а д а ч и	о приближении f (х) в среднем в промежутке

{а, Ь] при помощи обобщенного полинома п-го порядка з а к л ю ч а е т с я

в с л е д у ю щ е м : с р е д и о б о б щ е н н ы х п о л и н о м о в n - г о п о р я д к а п у т е м

в ы б о р а к о э ф ф и ц и е н т о в а х, . .

ап н а й т и и м е ю щ и й н а и м е н ь ш е е

с р е д н е е

к в а д р а т и ч н о е у к л о н е н и е

в [ a ,

ô ]

о т д а н н о й

ф у н к ц и и /

(х),

т . е . д о с т и г а ю щ и й с в о е г о а б с о л ю т н о г о м и н и м у м а в е л и ч и н а

6п =

] /

J Р {х) [/ (х) —

(х) —. . . — апц>п(z)]2 dx.

(66)

Д л я

р е ш е н и я

э т о й

з а д а ч и р а с с м о т р и м

п о с т о я н н у ю

\{Ъ —

а)

и ,

в о с п о л ь з о в а в ш и с ь

о б о з н а ч е н и е м

( 5 9 ) , п р е о б р а з у е м

е е :

(b — a) б* = ( / ■— 2 В Д а, / — 2 « аФа) = ( / , / ) — 2 2 “ а ( / , Фа) +

Ч - 2 а Аа / (Ф а, ф / ) = ( / , / ) — 2 21 + 2 а |

с л е д у ю щ е м у

в и д у :

(Ь— a) Ô*

- ( / , / ) —

2 4

2 (с* — а Д 2,

( 6 7 )

г д е с у м м и р о в а н и е в с ю д у в ы п о л н е н о п о к о т 1 д о п.

П р а в а я ч а с т ь р а в е н с т в а ( 6 7 ) и м е е т н а и м е н ь ш е е з н а ч е н и е , р а в н о е

ір

а) б п m in — (fi / )

—

2 c t

( 6 8 )

k=i

п р и

у с л о в и и ,

ч т о

ак =

ck, т . е . к о г д а к о э ф ф и ц и е н т а м и

ак о б о б щ е н

н о г о п о л и н о м а

с л у ж а т

о б о б щ е н н ы е

к о э ф ф и ц и е н т ы

Ф у р ь е

ск.

Т а к и м о б р а з о м , м ы п р и ш л и к с л е д у ю щ е м у у т в е р ж д е н и ю .

Т е о р е м а .

Извсех обобщенных полиномов а хср г (х) +

•

• • - f

а „ ф „ (х)

наименьшее среднее квадратичное уклонение от f (х) в промежутке [а, Ъ] имеет п-я частичная сумма обобщенного ряда Фурье ( 6 3 ) .

В ч а с т н о с т и , е с л и и с х о д н о й я в л я е т с я с и с т е м а т р и г о н о м е т р и

ч е с к и х ф у н к ц и й ( 6 2 ) , т о с р е д и в с е х т р и г о н о м е т р и ч е с к и х п о л и н о м о в

п о р я д к а п

а о +		2	(a k c o s	Jcx-f- ß fe s i n	kx)
		h=l
н а и м е н ь ш е е с р е д н е е	к в а д р а т и ч н о е у к л о н е н и е о т / (х) в [ — я , я ]
и м е е т о т р е з о к е е р я д а Ф у р ь е
		П
- у -	+	2	(апc o s	кх + Ъпs i n	кх).

h=l

В этом состоит так называемое минимальное свойство коэффи циентов Фурье.

Из доказанной теоремы вытекают важные следствия. Левая часть равенства (68) неотрицательна, поэтому при любом п имеет

место неравенство
£ 4 ^ (/, /),	(69)

правая часть которого не зависит от п. Отсюда следует сходимость

	о о
положительного ряда	У cl (см. п. 209) и стремление к нулю при
	1
к -> оо обобщенного	коэффициента Фурье lim ck = 0.

Если в неравенстве (69) перейти к пределу при п -»-оо, то придем к неравенству

с о b

2	с" 85 1 р (х) /2 (ж) dx’	(70)
п =1	а

называемому неравенством Бесселя*.

В теории приближения функций в среднем возникает важный вопрос: можно ли путем увеличения п добиться сколь угодно малого среднего квадратичного уклонения ô„min, т. е. стремится ли 6« min к нулю при п ->оо?. Для того чтобы имело место равенство

	lim ô„min = 0,	(71)
	п ~ + СО
как это следует из	(68), н е о б х о д и м о й	д о с т а т о ч н о ,
чтобы выполнялось	условие
	СО	(72)
	2 cl = (/,/),	(72)
	П=1