ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 176
Скачиваний: 2
Глава X III
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§37. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
222.Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Диф ференциальным уравнением относительно некоторой функции
называется уравнение, связывающее эту функцию с ее независи мыми переменными и с ее производными. Порядком дифферен циального уравнения называется порядок старшей производной этой функции, входящей в уравнение. Дифференциальное уравне ние относительно функции о д н о й независимой переменной называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
П р и м е р . Уравнение Бесселя
х2у" -■ ху‘ ' (ж2 — р2)у = О
есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции у {х).
Дифференциальное уравнение относительно функции несколь ких переменных называется уравнением с частными производ ными, особый класс которых составляют уравнения математиче ской физики. К ним относится, например, уравнение Лаплас
U X X -f" М ру - р П 2 ; 0 .
В этой главе рассматриваются только обыкновенные дифферен циальные уравнения; независимая переменная предполагается вещественной. Уравнение га-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид
ytn' = f ( x , y , V \ .... У(п- 1% |
(1) |
Дифференциальное уравнение называется линейным, если иско мая функция и ее производные входят в уравнение в первых
степенях и не перемножаются. Важную роль играют линейные уравнения второго порядка
«о (х) У” + |
«г (х) У’ + |
(х) У = / (х)- |
(2) |
|
Решением дифференциального |
уравнения (1) называется функ |
|||
ция |
|
( a c x c b ) , |
(3) |
|
У =Ц>(х) |
||||
определенная и непрерывная |
вместе |
со своими производными |
||
до порядка п включительно, которая этому уравнению удовлет воряет:
ф(п) (х) |
/ (х, ср (х), ф' (х), . .., <(п~ѵ (х)). |
|
Иногда решение у |
= ф (х) находят в неявном виде: ф (х, у) = |
|
0. Это равенство |
определяет функцию ф (х), |
являющуюся |
решением уравнения. |
В этом случае функция ф (х, у) |
может быть |
названа интегралом уравнения.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Процесс нахождения реше ния дифференциального уравнения называется его и н т е г
ри р о в а н и е м .
Вотличие от алгебраического уравнения, решением которого является число, дифференциальное уравнение имеет своим реше нием функцию. Оказывается, что дифференциальное уравнение имеет,' вообще говоря, семейство решений, зависящее от пара метров clt с2, . . ., число которых равно порядку дифференциаль
ного уравнения: |
(4) |
г/ = ф(ж, сь с2і ... , сп). |
Такое решение уравнения (1), содержащее п произвольных постоянных, есть общее решение этого уравнения. Строгое опре деление этого понятия дано в пи. 224 и 226.
Например, |
уравнение |
у" + 4г/ = |
0 имеет общее решение |
у — с±sin 2х + |
с2 cos 2х. |
Эта функция |
обращает данное уравне |
ние в тождество при любых значениях сх и с2.
Всякое решение, которое можно получить из общего решения путем фиксирования произвольных постоянных, называется ча стным решением этого уравнения.
Иногда общее решение уравнения (1) мы получаем в неявном
виде: |
(5) |
ф(а:, г/, сь . . ., сп) = 0. |
223. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Многие задачи.науки и техники приводят к дифференциальным уравнениям. Мы встретили их в пп. 18, 35, 150 и др. Рассмотрим еще три задачи из различных областей науки.
1. Задача о движении тела в среде с сопротивлением. Требуется найти закон движения тела, перемещающегося прямолинейно вдоль оси Ох, при условии, что среда оказывает сопротивление,
пропорциональное первой степени скорости. Согласно второму закону Ньютона, произведение массы тела т на ускорение х" равно сумме всех действующих сил:
тх" - —кх', |
((5) |
где к — положительная постоянная; x(t) — путь, пройденный телом к моменту времени t. Равенство (6) связывает первую и вто рую производные искомой функции х (t); оно представляет пример дифференциального уравнения. Легко проверить, что уравнению
(6) удовлетворяет функция
|
x ( t) — с1--г с2е |
__L t |
|
|
|
|
(7) |
|
|
т |
|
|
|
|
|
||
|
при любых |
значениях постоянных |
||||||
|
сх и с2. |
Функция (7) |
есть |
общее |
||||
|
решение уравнения |
(6). |
х — х0 |
|||||
|
Если |
заданы |
значения |
|||||
|
и |
х' = |
ѵ0, |
соответствующие |
||||
|
моменту |
времени |
|
t = О, то, под |
||||
|
ставив эти данные |
в |
выражения |
|||||
|
X (t) и х' |
(t), получим х 0 = |
сх + с2, |
|||||
|
ѵ0 = |
—kcjm . |
Поэтому |
с1 -- |
||||
|
--- х 0 ф тѵ0/к, с2 |
= —rnvjk. При |
||||||
|
таких |
значениях |
|
постоянных |
||||
Рис. 149. |
имеем окончательно |
|
|
|||||
|
x(t) = х0-\-^р- ( і — е |
т )* |
|
|
|
(8) |
||
Функция (8) есть так называемое решение задачи Коши для урав нения (6).
2. Задача. Найти плоскую кривую, отражающую параллель ные (оси Ох) лучи в одну точку (начало координат). Требуется найти функцию у — у (х), графиком которой является искомая
кривая. |
место |
следующие |
угловые |
соотношения |
(рис. 149): |
||
Имеют |
|||||||
а х -- ф, а 2 - - а г, |
а = ф — а 2. Следовательно, а = |
2ф и tg а |
= |
||||
= |
Положив |
здесь |
[tg а = ^ |
(согласно |
построению) |
||
и tg ф = |
у ', получим уравнение г/г/'2 f |
2ху' — у = 0. |
|
||||
Задача свелась к нахождению функции у (х) по ее дифферен |
|||||||
циальному уравнению. Запишем его в виде г/г/' = —х ± 1 ^х 2 + |
г/2. |
||||||
Отсюда следует, что |
± ] /х 2 ф у2 — х + с и у2 — 2сх + |
с2. |
|||||
Мы получили в неявной форме общее решение дифференциального уравнения. Геометрически это решение представляет семейство парабол, каждая из которых дает решение поставленной задачи.
3. Задача Волътерра. Рассмотрим совместное существование двух видов, например, рыб. Обозначим количество особей первого
вида X (t), второго — у (t). Предположим, во-первых, что первый вид питается продуктами среды, которые всегда имеются в доста точном количестве, и, во-вторых, что если бы первый вид жил один, то число его особей непрерывно увеличивалось бы со ско ростью, пропорциональной имеющемуся количеству особей: х' =
к гх. Особи второго вида питаются только особями первого вида. Поэтому, если бы второй вид жил один, то он постепенно бы вы мирал: у' —к 2у.
Теперь рассмотрим случай, когда оба вида живут совместно. Коэффициент увеличения первого вида будет тем меньше, чем больше у. Сделаем простейшее предположение, а именно, что коэффициент к г уменьшится на величину, пропорциональную у. Аналогичным образом предположим, что коэффициент уменьше ния второго вида к 2 в силу наличия первого вида (наличия нищи) изменится на величину, пропорциональную х. При этих пред положениях мы имеем следующую систему дифференциальных уравнений:
X 1 =.--•=(Ад — к3у) X , у' = — (к2— к±х) у,
где к г, к 2, к3 и кі — положительные числа. Можно доказать, что в этом случае изменение численности обоих видов происходит по периодическому закону.
Заметим, что к системе уравнений этого же вида приводят некоторые задачи кинетики химических процессов.
Рассмотренные задачи иллюстрируют следующую важную мысль о значении дифференциальных уравнений. В естество знании при нахождении зависимости, например между х и у, часто бывает легче установить зависимость между скоростью изменения величины у или ее ускорением и другими параметрами явления, нежели непосредственно связать х и у. Таким образом, прежде составляют дифференциальное уравнение, а затем полу чают его решение, оно и дает искомую зависимость у (х). В ча стности, второй закон Ньютона механики можно выразить диф ференциальным уравнением ту" = / (х , у , у’). Значение этого уравнения состоит в том, что оно позволяет свести физическую задачу определения движения тела к математической задаче
нахождения решения дифференциального уравнения. |
первого по |
|
224. |
Основные понятия. Пусть дано уравнение |
|
рядка, |
разрешенное относительно производной: |
|
|
y' = f ( *, y) , |
(9) |
где функция / (х, у) определена и непрерывна в области А пере
менных X и у. Пусть у = ф (х) |
есть решение этого уравнения |
в промежутке (а, Ь). |
уравнения (9) и его решения |
Геометрическая интерпретация |
у = ф (х) заключается в следующем. График функции ф (х) имеет в каждой своей точке касательную (потому что ср имеет произ водную), угол наклона которой обозначим через а. В каждой
