точке М (X, у) интегральной кривой величины х, у и tg а имеют определенные значения, которые согласно равенству (9) связаны соотношением
Следовательно, дифференциальное уравнение (9) выражает зави симость между координатами каждой точки М интегральной кривой и угловым коэффициентом ее касательной в точке М.
Равенство (10) определяет в каждой точке М (х , у) области А вектор (например, единичной длины), имеющий направление к = tg a = / (х, у). Множество таких векторов образует поле направлений уравнения (9). Всякая интегральная кривая этого уравнения обладает свойством: направление ее касательной совпа
дает с направлением поля в соответ ствующей точке. Задача интегрирова ния дифференциального уравнения (9) геометрически состоит в нахождении кривых, касающихся векторов поля во всех своих точках.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
П р и м е р |
1. |
у' = |
2 х . |
Поэтому tg а |
= |
2х. В частности, при х |
-- |
—1/2 имеем a |
= |
= |
— я/4, |
при X — 0 имеем |
а = 0, |
при х — |
= |
1/2 a = |
я/4 |
(рис. |
150). Интегральные кри |
вые образуют |
семейство парабол у = |
ж2 -4- с. |
Задача Коши для уравнения (9) заключается в том, чтобы найти реше- Рис. 150. ние данного уравнения, удовлетворя
ющее условию
|
У ~Уо при х = |
(И) |
Данные |
числа х 0 и у0 называются начальными данными |
задачи |
Коши, |
а условие (11) — начальным условием задачи Коши. Гео |
метрически задача Коши состоит в нахождении интегральной кривой уравнения (9), проходящей через данную точку М 0 (х0, у 0).
П р и м е р 2. Пусть дано уравнение: у ' = cos х и точка М0 (0, 1).
Решение соответствующей этим условиям задачи Коши состоит в нахождении |
общего решения у = |
sin х + |
с и определении значения величины с по на |
чальным условиям х 0 |
■ - 0, у 0 |
= 1 . Путем подстановки этих данных в общее |
решение |
находим с = |
1. Решением задачи Коши является функция у = |
= sin X + |
1. Такова |
схема решения задачи Коши и в общем случае. |
Возникает естественный вопрос — сколько интегральных кри вых уравнения (9) проходит через данную точку области А. Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.
Теорема (о существовании и единственности решения уравне ния первого порядка) *. Пустъ дано уравнение (9) и В — область,
* Доказательство см. в работе А. С. Понтрягина «Обыкновенные диф ференциальные уравнения». Физматгиз, 1961.
в которой функции / (х , у) и fÿ (х , у) определены и непрерывны. Пусть M Q(X0, у 0) — любая точка области В. Тогда существует, и притом единственное, решение уравнения (9)
|
|
г/ = Ф (ж), |
|
(12) |
определенное в некоторой окрестности точки |
х 0 и удовлетворя |
ющее начальному условию (11). |
|
|
ІІ-Ф H м е р 3. |
Дано уравнение |
|
|
|
У' = |
2 Vÿ. |
|
(13) |
Е г о правая часть |
/ (х, у) = 2 |
Y у непрерывна при |
условии у |
0, т. е. |
в верхней полуплоскости, включая ось абсцисс (область А). Функция / ' =
= —— |
непрерывна при Y у > 0, т. е. в верхней полуплоскости, исключая |
V |
у |
|
|
(область В). |
|
|
|
|
ось |
абсцисс |
|
|
|
|
Для интегрирования данного |
|
|
уравнения приведем его |
к |
виду |
|
|
d Y у |
|
d-x; отсюда следует |
его |
|
|
общее |
|
решение |
Y у = х + |
с. |
|
|
Общее решение геометрически |
|
|
представляет |
семейство |
полупа- |
|
|
рабол |
(так как У~у > 0), |
завися |
|
|
щее от параметра с. Через каждую |
|
|
точку |
М0(хо, |
у0) |
области |
В |
про |
0 |
х |
ходит |
единственная интегральная |
кривая |
(рис. |
151) Y у = Y v o + |
p,.r |
7<Т |
-f- X — х0. Уравнение (13) |
имеет |
' |
* |
решение у = |
0, в чем можно убе |
|
|
диться прямой проверкой. Это решение не получается из общего решения ни при каком значении постоянной с. Оно называется особым решением. Геометрически это решение есть граница области В — ось абсцисс.
Рассмотрим уравнение (9). Пусть В — некоторая область плоскости (X, у), через каждую точку которой проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (9).
Общим решением дифференциального уравнения (9) в области В
называется функция |
(14) |
у -=((> (х, с), |
1) представляющая решение уравнения (9) при всех значениях произвольной постоянной с (из некоторого множества), 2) дающая решение задачи Коши с любыми начальными данными (х 0, у0) из области В при соответствующем значении с = с0.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение этого уравнения, которое получается из общего решения при фиксированном значении величины с. Для получения ча стного решения, соответствующего начальным условиям (11),
достаточно |
подставить начальные данные х0 и у 0 соответственно |
вместо X я |
у в равенство (14), найти с = |
с0 и положить с = с0 |
в (14). |
|
(9) называется особым, |
Решение дифференциального уравнения |
если оно не может быть получено из (14) ни при каком постоянном
значении с. Отсюда следует, что интегральная кривая, соответ ствующая особому решению, проходит вне области единственности решения задачи Коши.
II р и м о р |
1. |
Уравнение уу' = |
\ г а2 — у2 |
можно |
записать |
в виде |
d У а2 — у 2 — |
—dx. |
Отсюда следует |
общее решение |
V a 2 — у- ----- |
с — х, |
определяющее семейство полуокружностей (так |
как |
с > |
х) с радиусом а |
с центром в точке (с, 0). Через каждую точку полосы —а <С у <С и проходит единственная полуокружность (рис. 152). Данное уравнение имеет два особых решения у — ±а, геометрически представляющие две прямые, каса ющиеся упомянутых полуокружностей. Эти прямые являются огибающими семейства полуокружностей.
В общем случае огибающей семейства кривых, зависящих от одного параметра, называется линия, которая в каждой своей точке имеет общую касательную с линией семейства, проходящей через эту точку.
225. Методы интегриро вания дифференциальных уравнений первого порядка. Здесь рассмотрены способы интегрирования простейших дифференциальных уравне ний первого порядка.
Уравнением с разделя ющимися переменными назы вается уравнение вида
|
|
i/ = p(x)q(x), |
(15) |
где р (X) |
и q (у) — данные функции, |
определенные |
и непрерыв |
ные соответственно |
в промежутках: |
а О х <( b и с <( у <' d, |
причем q (у) Ф 0. В |
результате умножения равенства (15) на |
dx/q (у) |
получается |
уравнение с разделенными |
переменными |
dy/q (У) = P (х) dx.
Интегрируя, получаем общее решение уравнения (15) в не явном виде
і |
ш ~ У |
{ г ) , І Х + с - |
(16) |
П р и м е ч а н и я |
о б щ е г о |
х а р а к т е р а . |
1. В теории |
дифференциальных уравнений 'символом \f (х) dx обозначают одну из первообразных функций / (х), а не все их множество. 2. Диф ференциальное уравнение теоретически считается проинтегриро ванным, если решение доведено до квадратур, т. е. до операций вычисления первообразных. В частности, задача интегрирования уравнения (15) в форме (16). может считаться завершенной.
П р и м е р 1. Проинтегрировать уравнение у' = 2ж (1 + у2). Разделяя переменные, получим ^ = ^х ^х• Интегрируя это уравнение, найдем общее решение arctg у = х2 + с.
II p il м с р |
2- Дано уравнение у ' |
= ------ . Запишем |
его в виде х |
Лс+ |
у d y = 0 и, |
интегрируя, получим |
общий интеграл х 2 |
+ у2 = с 2 , |
пред |
ставляющий геометрически семейство окружностей с центром в начале координат.
. , |
„ |
т, |
|
|
|
|
, |
= |
V |
|
|
d u |
d x |
II р и м с р |
.]. Данное уравнение у |
|
— — |
запишем в виде------- = |
— |
и, интегрируя, получим общий интеграл х у |
X |
|
|
у |
х |
|
с, представляющий семейство |
гипербол, для |
которых |
осп |
координат |
являются |
асимптотами. |
|
|
|
тт |
, |
, , |
|
, |
= |
у |
|
|
d y |
d x |
, |
решение: |
II р и м е р |
4 . |
Уравнение |
у |
~ пли ~ = — |
имеет оощее |
у -■= с х , представляющее |
семейство |
полупрямых, |
исходящих |
из |
начала |
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть дано уравнение у ' ~ / (х), где / (х) непрерывна в (а, Ь). Требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (И), где х0 принадлежит (а, Ь). Интегрируя данное уравнение, получим
У = { f(t)dt-[ с.
, Заменим здесь неопределенный интеграл интегралом с пере менным верхним пределом
Я |
|
|
|
г / = | |
f(t)d t + c. |
|
|
|
Х 0 |
|
|
|
|
При X = х 0 первое слагаемое |
правой части |
обращается |
в |
нуль |
и, чтобы удовлетворить условию (И), надо |
положить |
с |
у п. |
Таким образом, наше уравнение при условии (И) имеет в про межутке (а, Ь) единственное решение задачи Коши
ОС
У= \ / {t)dt -І-Уо-
*0
Линейное уравнение первого порядка имеет вид
|
|
у "-1, P ( x ) y = q(x), |
(17) |
где р |
(х) и |
q {х) —- функции, |
непрерывные в промежутке |
(а, Ъ). |
М |
е т о д |
Б е р н у л л и * |
интегрирования линейного уравне |
ния состоит в том, что решение отыскивается в виде произведения
двух |
функций у — |
и (х) V (х), одна из которых может |
быть вы |
брана произвольно. |
Если в уравнение (17) подставить |
у = иѵ, |
то |
получим |
равенство и'ѵ -\-и(ѵг + |
pu) = q. |
Положим |
v' + |
pV |
—0 , |
тогда V (х) = е~^р(х) dx. |
Поэтому и 'ѵ=qпи(х) — |
— с+ f qe^ |
pdxdx. Произведение и на ѵ дает общеерешение урав |
нения (17) |
|
|
|
|
|
|
y = e - ^ ix)dx[c-[r \ q { x ) e ^ i-x)dxdx\. |
(18) |
* ІІоган Бернулли (1667—1748) — швейцарский математик.
М е т о д в а р и а ц и и произвольной постоянной, связан ный с именем, Лагранжа, * применительно к уравнению (7) заклю чается в следующем. Рассмотрим вместо (17) соответствующее
однородное уравнение z' -f р (х) z = 0, |
общее решение которого |
z (x )^ c e ~ ip(x)dx |
(19) |
содержит произвольную постоянную с.
Решение неоднородного уравнения (17) отыскивается в форме (19), понимая под с некоторую функцию х. Такое решение суще
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствует. Действительно, если в уравнении (17) положить |
|
|
|
y = c (x )e ~ ^ {x)dx, |
|
|
(20) |
то получим равенство с' = |
q (х) р w dx , из |
которого |
следует, |
что |
|
|
J q (х) е •!"р (х>dxdx, |
|
|
|
с (х) — С + |
|
|
где С — произвольная постоянная. Теперь из |
(20) следует выра |
жение общего решения уравнения (17) в форме (18). |
|
П р и м е р |
5- Найти общее решение уравнения у ' |
+ у tg х = |
2г cos х. |
Соответствующее однородное уравнение z' |
|
z tg ж = 0 имеет общее |
решение |
z (х) — с cos X. |
В соответствии |
с методом Лагранжа ищем общее |
решение |
данного уравнения в виде произведения у |
— |
с |
(х ) cos х . Функция с ( х ) удо |
влетворяет уравнению с ' |
■— 2х. |
Поэтому с (х) |
= |
ж2 -}- С и данное уравнение |
имеет общее решение у = |
(х2 + |
С) cos х, где С — произвольная постоянная. |
Уравнение в полных дифференциалах имеет вид |
|
|
р{х, y)dx + q(x, |
y)dy = 0, |
|
(21) |
где функции р (х, у) и q (х, у) в некоторой области В непрерывно
дифференцируемы, удовлетворяют условию р 2 + |
q2 > 0 и |
Рѵ^Чх- |
(22) |
Как известно из теории поля, левая часть |
уравнения (21 ) |
при условии (22) является полным дифференциалом некоторой функции и (X, у) в области В, т. е. имеет место тождество pd х-\-
+ д dy = du. Поэтому |
уравнение |
(21) |
можно записать |
в виде |
du = 0, а его общее решение можно представить равенством |
и(х, у) — с, |
где и (х, |
у) = |
J Pdx-\~Qdy |
(23) |
. |
|
|
МоМ |
|
(М 0 и М — точки области В), причем криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования.
П р и |
м е р |
6. Уравнение у cos xdx + sin xdy |
= 0 запишем в виде |
d (у sin х) |
= 0. |
Отсюда следует его общее решение |
|
у sin х = с. |
Замечание об интегрирующем множителе. Если |
уравнение (21) пе яв |
ляется уравнением в полных дифференциалах, но становится таковым после
* Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) — французский математик и механик.
