Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

умножения на некоторый множитель р (х, у), то функция р (х, у) называется

интегрирующим множителем уравнения (21).

§38. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

226.Определения. Случаи понижения порядка. Дано диффе­ ренциальное уравнение гс-го порядка, разрешенное относительно старшей производной:

правая часть которого рассматривается как функция п + 1-й независимой переменной, определенная и непрерывная в некото­ рой области п + 1-мерного пространства А п +Ѵ

Решением уравнения (1) в промежутке (а, Ъ) называется функ­ ция у = ср (ж), определенная, п раз дифференцируемая и удовлет­ воряющая уравнению (1) в (а, Ъ).

Задача Коши для уравнения второго порядка у" = / (х, у, у')

формулируется следующим образом: требуется найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у — у0, у' = у'0 при X = х0, где х 0, у 0, г/о — данные числа, называемые началь­ ными данными задачи Коши. Геометрическое содержание задачи Коши состоит в том, что требуется выбрать из множества интег­

области А п +Х.

Возникает вопрос об условиях существования и единствен­ ности решения задачи Коши. Ответ на этот вопрос составляет содержание следующего утверждения (на доказательстве которого мы не останавливаемся).

с начальными данными из области а <б х <б Ъ, \у\ <б°°, \ у' \ <f °°- Действительно, в этой области определены и непрерывны функ­

уравнения (3), и, следовательно, имеет место заключение этой

определенная в некоторой области D своих аргументов, пред­ ставляющая решение уравнения (1) при всех значениях произ­ вольных постоянных с1, . . ., сп из области D и дающая решение

СцСГ

С х е м а р е ш е н и я задачи Коши для уравнения (1) при условии (2) состоит в последовательном выполнении следующих действий: находят общее решение уравнения (1), дифференцируют это решение п — 1 раз, подставляют в формулу общего решения и его производных начальные данные согласно условию (2). Ре­ шают полученную систему относительно с±, . . ., сп (система эта имеет единственное решение с10, с20, . . ., сл0, что следует из определения общего решения). Общее решение при сх = с10, . . ., сп = сп0 дает решение задачи Коши.

Частным решением уравнения называется такое его решение, которое может быть получено из общего решения при фиксиро­ ванных значениях величин сг, . . ., сп.

Рассмотрим три типа дифференциальных уравнений п-то по­ рядка, допускающих п о н и ж е н и е п о р я д к а .

I. Уравнение вида

где коэффициенты р х (х), . . ., р п (х) и свободный член / (х) опре­ делены и непрерывны в промежутке (а, Ь). Если / (х) ; 0 в этом промежутке, то уравнение называется однородным:

Таким образом, L [р] есть результат выполнения над функцией у операций, указанных в правой части равенства (10), а именно операции вычисления производных функции у (х) до порядка п

полученных произведений. Совокупность этих действий обозна­ чим символом ,

й~назовем линейным дифференциальным оператором, соответству­ ющим уравнению (8). Общее понятие оператора дано в п. 7.

Л идейный дифференциальный оператор L обладает следу­ ющими основными с в о й с т в а м и .

1°. Постоянный множитель можно вынести за знак оператора

L \су\ = (су)(п) + . . . + р п {су) = 'с \У(п) -Г ■■■ ~г РпУ] == cL [р].

Из основных свойств оператора L следует, что

T. e. оператор от линейной комбинации функций (так называют сумму с1р1 + • • • + спуп) равен соответствующей линейной ком­ бинации операторов от этих функций.

С помощью линейного дифференциального оператора L можно записать уравнение (8) в виде L [у] = / (х), а соответствующее однородное уравнение можно представить равенством L [у] = 0.

228. Линейные однородные уравнения. Пусть дано урав­ нение (9).