Для случая двух функций фх (х) и ср2 (х) понятие линейной зависимости в промежутке (а, Ь) сводится к выполнению усло вия — отношение этих функций есть величина постоянная в (а, Ь): фх/ф2 — с. Линейная независимость функций фх (х) и ф2 (я) в (а, Ь) означает, что их отношение не равно тождественно какойлибо постоянной в (а, b). Например, функции sin х и cos х линейно
независимы в промежутке (0, я). |
производные п—1-го порядка. |
Пусть функции |
(15) имеют |
Определителем |
Вронского *, |
или |
вронскианом |
системы функ |
ций (15), называется следующий определитель: |
|
|
Фі |
ф2 |
■-Фп |
|
W (X) = фі |
фі |
. фп |
(17) |
ф(п-1)
ф Г ^ . • • ф£1_
Рассмотрим семейство решений линейного однородного диф ференциального уравнения (9) в (a, b)
Уі(*), Уз (я), • • -, Уп{х)- |
(18) |
Теорема 1. Для любого семейства решений (18) уравнения (9) |
имеет место формула Лиувилля ** — Остроградского |
|
- |
\ Р і |
( х ) СІХ |
|
W (x): -W (x0)e |
*• |
’ |
(19) |
где х 0 и х — любые точки промежутка |
(а, 6); W (х0) — значение |
вронскиана в точке х 0; р г (х) — коэффициент уравнения (9). |
Доказательство теоремы приведено ниже для уравнения вто |
рого порядка |
|
|
|
У" Рі. И у'-!-Р2(ж) у = 0. |
(20) |
В этом случае W •-= у Уу'2 — у 2Уі и W |
-= у ху\ — у 2у”ѵ |
Здесь у г |
иг/ г — решения уравнения (20) и поэтому |
|
W = У г { — Р і У \ — р2Уг) — У 2 ( - |
Р і У і |
~ Р - г Уі) ■= — ? № |
■ |
Следовательно, функция W удовлетворяет уравнению с разделя ющимися переменными W — —р 1 (х) W. Если W (х) Ф 0 в (а, b), то, интегрируя последнее равенство, получим
Х |
- |
J |
P t ( х ) ( ІХ |
|
lnW —l n c = — J p1(x)dx; |
W(x) — ce |
х° |
. |
(21) |
х 0 |
|
|
|
|
Путем прямой проверки легко убедиться, что функция (21) удовлетворяет уравнению W = —pW; предположение W =Д О
* |
Юзеф Вронский (1776—185S) — польский математик. |
** |
Жозеф Лиувилль (1809—1882)— французский математик. |
но требуется. При х |
х 0 найдем |
с |
W (х0) и из (21) |
следует |
формула |
(19). Теорема доказана. |
(19) |
непосредственно |
следует, |
С л е |
д с т в и е. |
Из формулы |
что вронскиан или тождественно равен нулю |
в промежутке (а, Ъ)\ |
И 'И О, |
(22) |
или он не равен нулю ни при одном значении х из (а, Ь):
Первый случай имеет место, если хотя бы в одной точке х0 про межутка (а, Ъ) вронскиан равен нулю: W (ж0) = 0. Второй — если хотя бы в одной точке х0 промежутка (а, Ъ) вронскиан отли чен от нуля: W (х0) Ф 0, потому что показательная функция в нуль не обращается.
Теорема |
2. Равенство нулю вронскиана семейства решений (18) |
уравнения (9) W (х) |
: л 0 |
есть необходимое и достаточное условие |
линейной зависимости этих решений. |
|
|
|
в |
случае |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
н е о б х о д и м о с т и |
п -- |
2. Пусть у г |
и у 2 — линейно-зависимые |
решения уравнения |
(20). |
Тогда |
у 2 =--- |
су J |
и |
W == |
уру] — у 2у] |
сур/] — сур/] |
U. |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
д о с т а т о ч н о с т и |
в |
случае |
п = 2. Пусть у х и у 2 — ненулевые решения уравнения (20) и W =-■ |
= УіУі — УіУі ^= 0. |
Фиксируем точку |
х0 |
промежутка |
(а, Ь), |
в которой |
у х (х 0) Ф- 0. |
Тогда |
у 2 (ж0) Ф 0. Действительно, |
если |
у 2 (х0) = 0, |
то |
из условия W (х0) == 0 |
следует, |
что у г’ (х0) = 0 |
и в силу теоремы единственности у.2 (х) |
0, что противоречит |
условию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УгІУгі |
Тождество (22) можно записать в виде равенства у2/у 2= |
|
интегрируя которое по х |
в промежутке (ж0, х) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Іи у2 (х) = In ух (х) I-In с, |
|
|
|
|
|
где |
постоянная |
сх |
— |
у 2 (х0)/ух (х0) отлична |
от |
нуля. |
Поэтому |
решения у х (х) |
и |
у 2 (х). линейно-зависимы: |
у 2 = суЛ. |
Теорема |
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 3. Для того чтобы решения (18) уравнения (9) были линейно-независимы в промежутке (а, Ь), необходимо и доста точно, чтобы определитель W (х) не обращался в нуль ни при
одном значении х из (а, Ъ), |
т. е. чтобы выполнялось условие (23). |
Н е о б X о д и м о с т ь. |
Пусть решения (18) линейно-незави |
симы в (а, Ъ). Требуется доказать, что выполнено условие (23). Рассуждая от противного, предположим, что в некоторой точке х 0 промежутка (а, Ъ) вронскиан примет нулевое значение. Тогда в силу формулы (19) имеет место тождество (22) и по теореме 2 решения (18) линейно-зависимы, что противоречит условию. Следовательно, условие (23) выполнено.
Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть выполнено условие (23). Нужно доказать линейную независимость решений (18). Рассуждая опять от противного, предположим, что функции (18) линейно
зависимы. Тогда по теореме 2 выполнено равенство (22), кото рое противоречит условию (23). Поэтому решения (18) линейно независимы. Теорема доказана.
Фундаментальной системой решений однородного уравнения
(9) называется любое семейство линейно-независимых в (а, Ъ)
решений |
этого |
уравнения |
у г (х), |
у 2 (х), . . ., уп (х). Например, |
функции |
у г — |
sin X, у 2 = |
cos X |
образуют фундаментальную |
систему решений уравнения у" + |
у == 0. |
Из теоремы |
3 непосредственно |
следует необходимое и доста |
точное условие фундаментальности системы решений (18) уравне ния (9). Оно состоит в том, чтобы вронскиан этого семейства реше ний был отличен от нуля по крайней мере в одной из точек промежутка (а, b).
Следовательно, любые п решений задачи Коши для уравне ния (9), начальные данные которых таковы, что W (х 0) Ф 0, образуют фундаментальную систему решений.
Теорема 4 (о структуре общего решения линейного однород ного уравнения). Если функции (18) образуют фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального урав
нения (9), то линейная комбинация этих решений |
|
У== СіУі (я) + • ■• + спУп(*) |
(24) |
с произвольными постоянными clt . . ., сп есть общее решение
этого |
уравнения |
в |
области В : |
а <^х <[ Ь, \у | <( оо, |г/'| <4°° , |
. . I |
I < |
О О . |
|
В выполнены условия теоремы |
Действительно, |
в области |
существования и единственности решения задачи Коши. Пока жем, что функция (24) удовлетворяет обоим условиям, указанным
в |
определении |
общего решения |
уравнения и-го порядка (см. |
п. |
226). |
|
|
|
Функция (24) является решением уравнения (9) при любых |
фиксированных |
с1, . . ., с„ как |
линейная комбинация решений |
с постоянными коэффициентами (свойство 3° решений линейно
однородного уравнения). |
задачи |
Коши, |
соответствующее |
Пусть у = ф (х) — решение |
начальным данным из области В |
|
|
|
^-=У0, Ф' = г/0, ..., |
ф(п-!> = |
при |
х = х0. |
(25) |
Докажем, что существует система постоянных (с10, . . ., сп0, при
которых функция (24) дает ф (х), т. е. |
|
СіаУі (я) + . . . + СпоУп(*) = (*)• |
(26> |
Для этого рассмотрим систему уравнений! относительно с15 . . ., сге
СіУі (х0) + |
. . . ~ спуп(х0) = уо, |
|
сіУі (®0) ~ |
£пУп (хо)~ Уо’ |
(27) |
(аг0) -г ... 4- |
(х0) = у<”-Ѵ |
левая часть которой содержит значения функций (18) и их произ водных в точке х0, а правая часть — начальные данные задачи Коши. Определитель системы (27) W (х0) отличен от нуля, потому что семейство функций (18) образует фундаментальную систему решений уравнения. Согласно теореме Крамера, система (27) имеет единственное решение; обозначим его через с10, . . . . сл0.
Линейная |
комбинация решений |
(18) |
у (х) — с10г/1 (х) |
f спвуп (х) |
удовлетворяет начальным |
условиям (25), что пока |
зывают равенства (27). Функция |
ф (х) |
тоже удовлетворяет усло |
виям (25). Отсюда следует согласно теореме единственности реше
ния, что у (х) = ф (х) в (а, |
Ъ), т. е. имеет |
место |
тождество (26) |
в (а, Ь). Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
П р и м е р . |
г /" + 9 г /= 0. |
Это |
уравнение |
второго |
порядка |
имеет |
следующие два |
линейно-независимых |
решения: |
у х = sin Зх. у 2 = |
cos Зх. |
Поэтому общее решение данного уравнения представляет |
их |
линейная ком |
бинация с произвольными коэффициентами у ■— сх sin Зх |
+ |
с„ cos Зх. |
229. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффи циентами. Рассмотрим линейное однородное уравнение
L [у] ~ г/(п> т аіУ(п-Ѵ + ... 4- ап_іу" + апу ^ 0 |
(28) |
с постоянными вещественными коэффициентами a lt . . ., ап. Если п = 2, то уравнение имеет вид
У" \ p ÿ + q y ^ 0. |
(29) |
Остановимся пока на этом уравнении. Следуя Эйлеру, отыски |
ваются частные решения вида |
|
у —еХх, |
(30) |
где к — подлежащая определению постоянная. |
|
Положим в уравнении (29) у = еІХ, получим |
|
еХх^2 -f рХ -f q) = 0. |
|
Следовательно, к есть корень квадратного уравнения |
|
W + p k + q = 0, |
(31) |
которое называется характеристическим уравнением для уравне ния (29). Уравнение (31) можно составить непосредственно по данному уравнению (29). Корни уравнения (31) могут быть раз
личными или |
одинаковыми, вещественными или комплексными |
в зависимости от значения величины р 2/4 — q. |
С л у ч а й |
1. Если квадратное уравнение (31) имеет два раз |
личных вещественных корня к х и Я2, то по формуле (30) получим два линейно-независимых решения, линейная комбинация ко торых
у = с хе х ' х -f- с 2е ХгХ |
(32) |
