Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 165

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

с произвольными постоянными ct и с2 есть согласно теореме 4 общее решение уравнения (29).

И р и м о р

1.

Дано

уравненію у" — а%у — 0

(а ф 0). Его

характе­

ристическое

уравнение X2 — а2 = 0

имеет различные вещественные корни

XL = а и Х„

 

—а. Поэтому общее

решение

уравнения

 

 

 

 

 

у =

c i e a x j r с2е~а х .

 

 

 

И р п м е р

2-

Дано

уравнение у" +

ру'

- 0, где р Ф 0. Его характе­

ристическое

уравнение X2 -г рХ — 0

имеет различные вещественные корни

-- 0 н X,,

 

—р.

Поэтому

общее

решение

представляет

функция

у- сг -г с2е~?х.

С л у ч а й

2. Если квадратное уравнение (31) имеет различные

комплексные

корни

и Я2, то соответствующие решения (30)

получатся опять линейно-независимыми, но также комплексными. Известно, что у полиномов с вещественными коэффициентами комплексные корни встречаются сопряженными парами (см. и. 56). Коэффициенты р и q уравнения (29) вещественны, поэтому, если = а — iß, то Х2 = а — iß. Решения (30) в этом случае можно

представить с помощью формул Эйлера в виде

 

Уі, г = еах cos ßx ± ieax sin ßx.

(33)

Производная комплексной функции вещественной перемен­ ной u (X) — cp (x) + іф (X) определяется формулой и' --= ф' + іф'. Отсюда следует, что и" ср" + іф ".

Лемма. Если у ф (х) + іф (х) есть решение линейного одно­ родного уравнения (28), то вещественные функции ф (х) и ф (х)

также являются решениями этого уравнения.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя свойства линейного диф­

ференциального

оператора,

равенство L [г/] = 0

можно

записать

в виде

L [ф] +

іЬ [ф] =

0. Отсюда следует,

что L

[ф] = 0

и L [ф]

0. Лемма доказана.

 

 

Следовательно, вместе с величинами (33) решениями уравне­

ния (29) будут вещественные функции

 

ф (х) ~ еглхcos ßx и ф (х) = eax sin ßx.

(34)

Их отношение непостоянно, поэтому функции (34) линейно-неза­ висимы. Уравнение (29) в случае 2 имеет общее решение

 

 

 

У; Геах

cos ßz |_ с2 gin ßx).

(35)

II р л и e p

3.

Дано уравнение y" -f- ß2y — 0, называемое уравнением

гармонического

осциллятора. Его характеристическое уравнение X2

+ ß2 =

0 имеет

чисто мнимые

корни X =

± ߣ. Данное уравнение имеет

общее

решение

у =

<ц cos ßx +

с2 sin ßx,

представляющее

периодическую

функцию.

С л у ч а й 3. Если характеристическое уравнение (31) имеет

одинаковые корни Х1 = Я,2 := — -у, то частные решения (30),

соответствующие этим корням, совпадают и не образуют фунда­ ментальной системы решений.

В случае 3 решением уравнения (29) является функция у3 =

хе1іХ. Убедимся в этом прямой проверкой. Положим в урав­ нении (29) у = у3, получим

еХіХ\(2К, -t- ß)

X (Ц -\-рКг -[- q)1 - 0.

Здесь 2 т- р --- 0 и

рХх -}- q - 0. Поэтому функция у3

есть реіпение уравнения (28), линейно не зависящее от ух, так как отношение у3 к у х непостоянно. Функции у г и у3 образуют фунда­ ментальную систему решений, и уравнение (28) имеет в случае 3 общее решение

 

 

 

у = (сх ;

с«х)ех'х.

 

(36)

И р и м е р

4- Уравнению

у ”

—

2у ’ - f

у - 0

соответствует характе­

ристическое

уравнение X2 — 2Х -f

1

0,

имеющее

рапные корни

Х( =

- X, -- 1.

Данное уравнение имеет общее решение

у - (сѵЧ- с 2х) ех .

Результаты, полученные при рассмотрении уравнения второго

порядка

(29),

допускают обобщение на случай уравнения любого

порядка

с

постоянными

коэффициентами.

Сформулируем

его

в виде правила.

Правило нахождения общего решения линейного однородного

уравнения (29)

любого

порядка с постоянными коэффициентами.

1. Составим

соответствующее характеристическое

уравнение

 

%п + а1Хп~1+

. . . + ап_хК+ ап— 0

 

и найдем его корни А.1 ,

Х 2 , . .

. , Хп.

найденным

2. Составим

частные

решения, соответствующие

корням: каждому простому вещественному корню К соответствует

решение у =

еІХ,

каждому ^-кратному вещественному корню К

соответствует

к

решений у х — еХх,

г/2 = хеХх, . . .,

уК = хк~геХх,

каждой паре

простых комплексных

корней a ± ß i

соответствует

два решения

у х = ехХcos ßz, i/2 =

ехХsin ßx, каждой fc-кратной

паре комплексных корней a ± ß t соответствует 2к решений:

У і^ е а*cosßx,

у2 —хух, . . .,

ук=--хк-Чух,

2/_і = еах sin ßx,

у_2 = ху_х, . .

y_k = xh~'y__x.

3. Линейная комбинация всех этих решений с произвольными постоянными коэффициентами есть общее решение уравнения (28).

II р il .и о р

5.

у(4) — 4у

-f- бу" — 4у' -f- у

--

0.

Характеристическое

уравнение (X — I)1 = 0 имеет

корень

Хг -= 1 кратности 4.

Поэтому общее

решение уравнения

имеет

вид

у -= (<ц -f- с2х +

с3х2 +

щг3) -ех.

 

Его

ха­

П р и м е р

б-

Дано

уравнение

у"' — 3у "

+

г/ — Зг/ =- 0.

рактеристическое уравнение

(X — 3) (X2 -f 1) =

0

имеет

корень

X] = 3

кратности к =

І и

одну пару комплексно-сопряженных корней

Х2>3 =

± і.

Поэтому общее

решение данного уравнения у =

c xe zx +

с 2 cos х

+

с3 sin х-

230. Линейные неоднородные уравнения. Рассмотрим линей­ ное неоднородное уравнение п-го порядка (8) L [у] = / (ж), коэф­ фициенты которого Р і(х), . . р п (ж) и свободный член / (ж) определены и непрерывны в промежутке (а, Ъ).

Пусть семейство функций zx (х), . . ., zn (х) представляет фун­ даментальную систему решений соответствующего однородного уравнения L [у] = 0. Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами

 

 

 

 

 

 

2

=cLz x (х)

 

 

 

Cnz n X()

 

 

 

 

 

(

3

7

согласно теореме 4 и. 228 представляет общее решение однород­

 

ного уравнения (9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

5 (о структуре общего решения линейного неоднород­

 

ного уравнения). Пусть дано неоднородное уравнение (8). Сумма

 

общего

решения

соответствующего

однородного

уравнения

 

(9)

 

и какого-либо част,кого решения у г (ж) неоднородного уравнения (8)

 

 

 

 

 

 

у

qzi. {х)

...-j- cnzn (х) -!- ух {х)

 

 

 

 

(38)

 

есть общее решение уравнения (8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Функция (38) есть решение уравне­

 

ния (8) при любых значениях произвольных постоянных си

. . ., сп,

 

потому что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L[cxzx^r . . .

+

cnzn-f- ух ]

■ L

 

[ clZl - : - ...

cnzn] 4- L [ y x\ -= / (ж),

 

 

так

как

 

 

L [с^х -

. . . -f cnzn\ = 0 и L [г/Д ==■/ (x).

 

 

 

 

 

 

Любое решение задачи Коши ф (х) уравнения (8) можно полу­

 

чить из множества решений (38) при соответствующих значениях

 

постоянных сІУ . . ., сп. Действительно, по условию L

[ф] = / (х).

 

Функция ф (x) — у х (ж)

удовлетворяет однородному

уравнению

 

(9),

потому что

L

[ф — г/Д =

L

[ф] — L

[г/Д

0 в промежутке

 

(а,

Ъ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно теореме 4 п. 228 любое решение задачи Коши уравне­

 

ния (9) и, в частности,

ф (ж) — у

х (ж) можно получить из

общего

 

решения (37) этого уравнения при соответствующих значениях

 

постоянных

ск:

ф (х) — у х (х)

=

c1Qz г (х)

+

. . . 4- cnozn

(х).

 

Следовательно,

ф (х) =

c10z1 (х)

+ . . . +

cn0zn (х)

+

у г (ж). Тео­

 

рема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р .

Дано

уравнение

 

у" +

Ау = 8х.

Соответствующее

ему

 

однородное .уравнение

z" +

4z = 0

имеет общее решение

z = сх cos 2х —

 

+ сг sin 2х. Данное неоднородное уравнение имеет частное решение у х (х)

—

 

— 2х, в чем можно убедиться прямой проверкой.

Поэтому

имеем общее

 

решение

данного

уравнения у =

2х +

сд cos 2х + с2 sin 2х.

 

 

 

 

 

 

Теорема

6. Если у х (ж) и у 2 (х) являются частными решениями

 

соответственно

уравнений

L

 

{у\ =

/ х (х)

и

L

\у\ = / 2 (ж),

то

 

Уі (х) +

У2 (х)

есть

решение

 

уравнения

L

[у] =

/ х

(x) ~j- / 2

(ж).

 

 

Действительно, по условию

L [уД —

 

(ж),

L ly2J =

/ 2 (ж).

 

Следовательно,

L

[уг +

у 2] =

 

L

[г/Д Д- L

[г/Д =

/ х (ж) +

/ 2

(ж).

 

231. Метод нахождения частных решений линейных неодно­ родных уравнений. Для составления общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения L [г/1 = / (х) со­ гласно теореме 6 надо знать частное решение этого уравнения.

Метод неопределенных коэффициентов можно рекомендовать для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения

L іу] ==

+ а ^ п- 1)+ . . . + апу = / (х)

(39)

с постоянными вещественными коэффициентами в

случае, когда

/ (х) имеет специальный вид.

 

 

С л у ч а й I. Пусть

правая часть уравнения

(39)

имеет вид

 

/ (я) = Рт (х) еах,

 

(40)

где Рт (х) — данный полином степени т (в частности,

это может

постоянная). Тогда уравнение (39) имеет * частное решение вида

y1(x) = xkQm(x)eax,

(41)

где Q,n (х) — многочлен степени т, а к — кратность корня а характеристического уравнения (к — 0, если а не является корнем характеристического уравнения). Коэффициенты искомого поли­ нома Qm (х) можно найти путем подстановки выражения (41) в данное дифференциальное уравнение.

 

II р и м е р

I. 4іайти

частное

решение

уравнения

у" — у -= Зж2.

Характеристическое уравнение Я2 — 1 = 0 имеет корни Яг =

1 и Я, = —1,

отличные от числа а =

0.

Поэтому ищем частное решение вида у — ах2 +

+

Ьх + с.

Находим

у'

=

2ах + Ь,

у" = 2а.

Подставив эти выражения

в

данное

уравнение,

получим

2а — ах2 — Ьх — с — Зж2.

Следовательно,

2а — с

0,

6 =

0,

—а =

 

3.

Поэтому данное

уравнение

имеет частное

решение щ =

—Зж2 — 6.

 

 

 

 

 

 

 

С л у ч а й

II. Если

правая

часть уравнения (39) имеет вид

 

 

 

 

/ (X) = е51* [Рт (х) cos ßx + Qm (х) sin ßx],

(42)

где Pm (x) и Qm (x) — полиномы относительно x степени m (один из них может иметь степень меньшую или далее равняться нулю

тождественно), то уравнение (39) имеет* частное решение

вида '

Уі (х) —xheax [Рт (х) cos ßx -f Qm(x) sin ßx],

(43)

где P m (x) и Qm (x) — искомые полиномы степени m, a. к — крат­

ность

пары корней а ±ß£ характеристического уравнения. Если

a ± ß i

не являются корнями характеристического уравнения, то

в формуле

(43) надо положить к = 0. Если в (42) один из поли­

номов

Рт

(х) или Qm (х) степени меньшей т или тождественно

равен нулю, то в формулу

(43)

должны войти оба многочлена

Рт (X) и Qm (X) степени

т.

 

 

 

 

 

 

 

П р il м е р

2.

ТТаіітп

общее

решение

уравнения

у"

у =

cos х .

Характеристическое

уравнение

Я2 +

1 = 0

имеет чисто

мнимые

корпи

Я ----

± і. Правая часть данного уравнения имеет вид (42) при а

0,

ß = I,

Рт

: 1) Qm

0. Числа а ± ßi =

± і являются простыми корнями характе­

ристического уравнения, поэтому к — 1. Частное решение данного уравнения

ищем согласно (43) вида ;д =

(а cos х + b sin х ) х .

Находим у[

— а cos х

+

+

b sin X -|- X (—а sin I

4

- b

cos х ) ,

гд =

—2а sin х + 26 cos х

— х (а cos х

+

b sin х ) .

Подставив

гд

в

уравнение,

получим

равенство

—2я sin х

-|-

-)- 2b cos X =

cos X, ив

которого найдем:

а = 0,

b — 1/2.

Поэтому ід

==

=

ж/2 • sin X .

Данное

уравнение

имеет

общее

решение

у

-- cj cos х

+

+

с,2 sin X

+

(х sin х)/2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§39. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

232.Общие вопросы. Пусть дано дифференциальное урав­ нение порядка п

y(n) = f{x, у, у', ..., г/(п~Ч).

(1)

Желая получить решение уравнения на интегрирующем устрой­ стве (например, электронном моделирующем устройстве), надо составить соответствующую систему дифференциальных уравнений

первого порядка. Для этого примем

величины

у',

у", . . ., г/("-п

за новые неизвестные функции, соответственно положив у'

у х,

У" -= Уі , ■■-, Уп~1 = Уп- 1

Переменные

х,

у,

у ѵ . . .,

уп_ х

связаны согласно (1) зависимостями

 

 

 

 

 

 

 

 

У' ='= Уі,

Уі - Уі ,

■■■,

УTi- 2 ^

Уп-і,

Уп- 1 =

/ (я,

У,

Уі,

■■-, Уп-1).

(2)

Мы получили систему п дифференциальных уравнений,

к а ж ­

д о е

п е р в о г о

п о р я д к а ,

относительно

неизвестных

функций у (X),

у х (х), . . .,

уп-х (х). Первая

из

функций

этого

семейства у (х) есть вместе с тем решение уравнения (1).

 

 

Рассмотрим систему более общего вида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уі = Іі( х,

Уі,

■■-,

Уп),

 

 

 

 

 

 

 

 

Уі — fi (x,

Уі,

■• -,

Уп),

 

 

 

 

(3)

 

 

 

Уп

fп (%,

Уі, •

• ч

Уп),

 

 

 

 

 

 

где ух,

. . ., уп — искомые

 

функции

независимой

переменной х,

а правые части — данные

 

функции переменных

x,

у х,

■- -, уп,

определенные и непрерывные в некоторой области

 

Л п +1-

Сово­

купность равенств (3) называется нормальной системой диффе­ ренциальных уравнений.

Решением системы (3) в промежутке (а, b) называется семей­

ство функций

 

Уі(х), Уі(х),- - ; уп{х),

(4)

Смотрите также файлы