Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

определенных, непрерывно дифференцируемых и удовлетворя­ ющих системе (3), т. е. обращающих все уравнения (3) в тождества относительно ж в промежутке (а, Ъ).

у'

Если п

1, то система

(3) содержит

только

одно уравнение

 

/ (х, у) и ее решение у (ж) определяет интегральную кривую

в плоскости (X, у). Если п

2, то имеем систему двух уравнений

?/'

^

/і (ж, г/, z), z' =

/ 2

(ж, у, z) и ее

решение у

- у (х), z =

z (ж)

определяет

кривую

в

трехмерном

пространстве (ж, у, z).

При

/г

и

2 решение системы

(3)

геометрически представляет кривую

в

1-мерном пространстве; она называется интегральной

кривой системы (3).

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача Коши для системы (3) состоит в нахождении решения

этой системы, удовлетворяющего начальным условиям

 

 

 

 

Ѵі = Ѵы,

г/2=

і/20, . . . . //„

при

ж --ж 0,-

(5)

где

ж0,

!/юі . . ут — данные числа.

Геометрически это

зна­

чит найти интегральную кривую, проходящую через точку

М0(х0, Ую . • • -, Уп о) области А п +1.

Сформулируем теорему, содержащую достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши для си­ стемы (3).

Теорема. Если правые части системы (3) непрерывны и имеют непрерывные производные по переменным у х, у г, . . ., упв некоторой области Вп +1, то для любой точки М 0 (х0, у 10, . . уп0) об­ ласти Вп +1 существует, и притом единственное, решение

Уі =-■Ф і(х)> Уп^Ч>п(Х), ( 6 )

удовлетворяющее условиям (5), определенное и непрерывно диффе­ ренцируемое в некоторой окрестности точки ж0.

Рассмотрим нормальную систему линейных уравнений

 

Уі •

РпУ\ ■■■ І'іпУп

fi

О'

1•

2,

. . ., п),

(7)

коэффициенты

которой pik (х)

и

правые

части

/,• (ж)

определены

и непрерывны в промежутке (а, Ъ).

выполнены

в области

Вп +х,

Условия теоремы для системы (7)

определяемой неравенствами а

 

ж <

Ъ,) \ух |

<

С ° °

5 • Уп•

I<- , С | ° ° -

Пусть В п +х — некоторая

область,

в

которой

выполнены

условия теоремы существования и единственности для системы (3).

Общим

решением

системы

уравнений

(3)

в

области

В п +1

называется

семейство

функций

 

 

 

 

 

 

Уі <w(-‘r- Ci, . . .,

сп) (i = 1,

2,

- • - ,

п),

(8)

1) представляющее в промежутке (а, Ь) решение системы (3) при всех значениях произвольных постоянных сх, . . ., сп (из некото­ рой области D изменения этих величин), 2) дающее решение задачи Коши с любыми начальными данными из области В п +1 при соответствующих значениях постоянных сх, . . ., сп.

Согласно этому определению система равенств (8) разрешима

относительно сх, . . ., сп,

и это решение представляет семейство

функций ск =

(х, у г, . .

уп) (к =

1, 2, . . п),

определенных

в области В п +1; область

изменения этих функций и есть упомя­

нутая выше область D.

 

называется

решение этой

Частным

решением системы (3)

системы, которое можно получить из общего решения при каких-

либо значениях произвольных постоянных сг,

. . ., сп.

 

 

 

=

II р и м е

р.

Найти

решение

задачи

Коши

для системы у'х —

z,

 

—у при

условии

х0 = 0, у — у0 = 1,

z — z0

= 2.

порядка

у " +

+

у

Данную систему можно привести к уравнению второго

= 0, потому

что у" = z' = —у.

Это уравнение

имеет

общее решение

у

— Ci cos X +

с2 sin X. Поэтому данная система имеет общее решение

у

-

=

сі cos X + с2 sin X, z — —ci sin X -f- c2 cos X. Согласно начальным

усло­

виям имеем ci =

1, c2 =

2 и искомое решение задачи Коши есть у — cos х +

4-

2 sin X, z ■= 2 cos X — sin х.

 

 

 

 

 

 

233. Способы интегрирования систем дифференциальных урав­ нений. Рассмотрим некоторые способы интегрирования нормаль­ ных систем дифференциальных уравнений. Метод составления интегрируемых комбинаций ниже иллюстрируется примером.

П р и м е р ]. Найти

общее

решение системы у'

z — у

 

У

 

 

 

 

Разделив первое уравнение на второе, получим

уравнение

с раз-

2 — 2/

деляютцимися переменными у

—,

из которого следует

равенство

у 2 —

— z2 — с ,. PJычитая второе уравнение данной системы из первого, получим вторую интегрируемую комбинацию (у — z)' = 1. Поэтому у — z = х + с2.

Отсюда следует равенство у + z ==

С]

, которое позволяет найти общее

Х +

решение системы

С-2

 

 

Метод исключения неизвестных приводит к уравнению высшего порядка для отдельных неизвестных функций системы. Иллю­ стрируем его примером.

П р и м е р

2.

Найти

общее решение системы у' =

у -j- z +

2, z' —

— —у — z. Желая

исключить переменную z из системы,

дифференцируем

первое уравнение

системы.

Получим

у" = у'

+ z' и с

помощью

второго

уравнения

имеем

у" = у' — у — z.

Остается

заменить

здесь z согласно

равенству

z =

у' — у — 2.

Таким образом,

получим

уравнение

второго

порядка у" =

2, которое имеет общее решение у =

х2 +

схх + с2. Поэтому

z = —X2 +

(2 — ci) X + ci — с2 — 2.

Найденные

у и

z

образуют

общее

решение данной системы.

 

 

 

 

 

 

 

С п о с о б Э й л е р а . Пусть дана нормальная линейная однородная система с постоянными вещественными коэффициен­ тами

Ун = аи,Уі + . • • + а-кпУп (к = 1, • • п). О)

Ищем решение вида

y k =--ake^x (к =

1 , . . . , п )

(10)

с неопределенными постоянными

параметрами

а г, . . ,,а п и X.

Для определения этих величин и выяснения вопроса о существо­ вании у системы (9) решения указанного вида подставим в (9) вместо ук правые части равенств (10). После сокращения обеих частей на еХх получим алгебраическую систему уравнений отно­ сительно a k и X

(«П — А.) «1 Г ßl2a 2 +

• • • + а і п а ч = 0,

 

а.21а1-- (а22—X)а2+

... -f а іп а п = 0,

(И)

^ П І ^ І I ^ П 2 ^ 2 1 . . . - | - і& п п

Для того чтобы однородная линейная относительно а х, . . ., ап

система (11)

имела решение,

отличное

от

нулевого, необходимо

и достаточно,

чтобы определитель

системы был равен нулю (см.

я 250); т. е. чтобы имело место равенство

 

 

аи — X

Я 12

 

■'

а1п

 

а 21

^ 22 —

А/ .

 

а 2п

 

А ( Х ) =

 

 

 

 

 

ап1

а п2

 

■ а пп ' ^

Уравнение (12) называется характеристическим уравнением системы (9). Заметим, что это уравнение можно составить непо­ средственно с помощью матрицы коэффициентов системы (9)- Пусть Ях, . . ., Хп — корни этого уравнения.

Система (11) при X -- Xk, где к — 1, 2, . . ., п, имеет некоторое решение, обозначим его akl, . . ., ссАп. Таким образом, каждому числу Xk соответствует решение системы (9)У

У к1 = , - . . ; Ѵ к п = Ѵ • ( 1 3 )

Можно доказать, что линейная комбинация этих решений (в слу­ чае, когда все Xk различны)

Уs*= ciaise%lX— • • • -г cnansex"x

(s = 1,

. . ., п)

 

 

(14)

с произвольными постоянными сг, . . ., сп представляет

о б щ е е

р е ш е н и е

системы (9).

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

3. Найти

общее

решение системы у'

= 2у +

z,

z ' =

у -1

-г 2z. Характеристическое

уравнение системы

 

 

 

 

 

 

Д(Я) =

2 - Х

1

= Я2-4Х+ 3= 0

 

 

 

(2 — X) ai + a2= 0,

ai

+

1

2 - Х

0. При X = 1

имеем ai +

a 2

= 0;

(2 — X) a 2 =

имеет два корня

Xt =

1

и Х2 = 3.

Система (76)

в нашем случае имеет вид

ішберсм ccu

-- 1, а 12

—1.

При к — А имеем а х — а 2 = Ü; выберем а 2І =

= а 22 = 1.

Согласію

(79)

общее решение данной системы имеет вид'

у = С\СХ c2t 3 x, z — — C \tx j- r 2f:3 x .

234. Некоторые методы интегрирования дифференциальных уравнений. Познакомимся сначала с приближенным методом Эй­ лера интегрирования уравнения первого порядка.

I. Метод ломаных Эйлера. Пусть дано дифференциальное урав­ нение

У' /(•'••

У)

(15)

и поставлено начальное условие у -----

у 0при а; =

х 0. Предположим,

что функция / (X, у) и начальные данные х 0, у0 таковы, что урав­

нение (15) имеет единственное решение у (х), удовлетворяющее

поставленному начальному условию.

 

х = Х .

Раз­

Требуется найти значение Y решения (15) при

делим промежуток

[х0, X I на га + 1

частей произвольными точ­

ками деления х х,

х 2, . . ,,-хп. Через

точку М 0 (ж0, у0) проведем

луч с угловым коэффициентом у'0 ----- /

(х0, у 0) до пересечения его

с прямой X ~ х х в точке М х (хх, у х). Ординату точки М х вычис­

лим по формуле //,

//..

/ (х0, Уо) {хх — х0).

 

 

 

Через точку М х (хх, у х) проведем луч с угловым коэффициен­

том у'х -■= f (хх, у х)

до

пересечения

с прямой х

х 2

в

точке

М 2 (х2, у 2). Ординату точки М 2 вычислим по формуле у 2

=

у х +

;- / (хх, у х) (ж2 — XД. Таким образом последовательно найдем у х,

У2- Уз, • • •> Уп и Y.

 

 

 

 

II. Интегрирование с помощью степенных рядов рассмотрим

для уравнения второго порядка вида

 

 

 

 

а0 (х) У" : ах (х) у‘

а2 (х) у = / (х).

 

(16)

Теорема.*

Пустъ коэффициенты

а0 (х), ах (х),

а2 (х) и

сво­

бодный член

/ (х) уравнения (16)

в

окрестности

\х — х0 \

<б h

точки х 0предстаеймы рядами по степеням х — х 0, причем а0 (ж0) Ф

ф

0.

Тогда уравнение (16)

имеет решение, удовлетворяющее усло­

вию

у — у 0, у' = у'0

при

X = х 0 для любых

фиксированных у „

и

г/',

и это решение

может бытъ

представлено в промежутке

\ X — х0 \ <б h степенным рядом

 

 

 

 

 

УІх)

Ьп(х — хфп.

(17)

 

 

 

 

п=0

 

 

 

Для нахождения коэффициентов

Ъп разложим в ряды по сте­

*Доказательство см. в работе В. И. Смирнова «Курс высшей математики»,

т.II, § 4.

Смотрите также файлы