Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 158

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и атоме может принимать только дискретные значения, а энергия того же электрона в свободном состоянии может принимать любые значения (из некоторого промежутка).

Случайные события А г, . . . , А п называются несовместными, если в результате каждого испытания никакие два из них не могут появиться вместе. Случайные события А ѵ . . ., А п называются равновозможными (или равновероятными), если из условий сим­ метрии опыта следует, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

П р и м е р. Бросается игральная кость (кубик, грани которого зануме­ рованы цифрами от 1 до 6). Когда кубик остановится, его верхней гранью может оказаться любая из шести граней. Все шесть исходов испытания несовместны, а если кость правильная (симметричная и однородная), то эти исходы будут и равновозможными.

Случайные события А г, . . ., А п образуют полную группу событий, если в результате каждого испытания появится одно

из них и только одно. Это значит, что события

4 ], . . ., А п несо­

вместны, а событие {А1ч или А 2, . . . или А п)

достоверно.

В рассмотренных выше иллюстративных

примерах всегда

можно было выделить такие события, которые не могли быть разложены на более простые: выпадение определенной грани при бросании игральной кости, появление герба или надписи при бросании монеты.

Условимся называть такие неразложимые события элементар­ ными событиями, или элементарными исходами.

Рассмотрим испытание, в результате которого событие А может появиться или не появиться. Среди возможных исходов испытания выделим полную группу элементарных исходов. Пред­ положим. что эти исходы равновозможны и что эта группа состоит из конечного числа элементов. Те элементарные исходы, при которых событие А наступает, назовем исходами, благоприят­ ствующими событию А.

К л а с с и ч е с к о е о п р е д е л е н и е в е р о я т н о с т и с л у ч а й н о г о с о б ы т и я : вероятностью события А назы­ вается отношение числа т элементарных исходов, благоприят­ ствующих событию А , к общему числу п равновозможных эле­ ментарных исходов, образующих полную группу

р(А) = ^

(1)

Следовательно, если событие А достоверно, то т =

п и р (Л) =

= 1, т. е. вероятность достоверного события равна единице.

Если событие А

невозможно, то т = 0 и р (А ) = 0, т. е. вероят­

ность невозможного события равна нулю. Если А

— случайное

событие,

то 0

т

п и 0 <( р (Л) <

1. Вероятность любого

события удовлетворяет соотношению 0 ^

р (Л) sg 1.

бесконечно,

Если

число

возможных исходов

испытания

а исходы равновозможны, то вводят так называемую геометриче-

скую вероятность. Пусть каждому исходу сопоставляется не­ которая точка области œn, а благоприятствующим исходам — точки, лежащие в некоторой ее части шт. Тогда вероятность р (Л) попадания точки в область <вт определяется как отношение мер (длин, площадей, объемов) этих областей, т. е.

р(А)

мера

области ю,п

мера

области

сол

 

П р и м е ] ) 1. В урне имеется 10

шаров,

из них два красных, пять

синих и три белых. Шары тщательно переметаны. Требуется найти вероят­ ность того, что вынутый наудачу шар будет цветным (событие А). Возможны следующие исходы: Ег — вынут красный шар, Е 2 — вынут синий шар, Е я — вынут белый шар. Число всевозможных исходов равно числу шаров,

т. е. десяти. Из них число исходов Е\

равно двум, Е 2 — пяти, Е я — трем.

Очевидно, что все десять исходов

равновозможны (шар вынимают на­

удачу, шары одинаковой формы и тщательно перемешаны) и образуют полную группу событий (вынимается один и только одни шар). Поэтому эти десять событий являются элементарными.

Из них лишь семь благоприятствуют событию А, именно два события Е х

и пять событий

Е 2.

Следовательно, вероятность того, что вынутый шар

окажется цветным,

равна 7/10.

П р и м е р

Іа.

Из урны, рассмотренной в примере 1, извлекаются

сразу два шара. Требуется найти вероятность того, что вынутые шары ока­ жутся синими.

Р е ш е н и е.

Cfo

7TJ " 45’ т =

=

10’ р = § = | •

П р и м е р

2. В партии

из N изделий имеется

М (М ^ N ) меченых

изделий (так будем называть изделия, обладающие каким-либо свойством, например бракованные, или, наоборот, высшего качества). Выберем наугад

п (п

N) изделий из данной партии. Требуется найти

вероятность того,

что

среди этих

п изделий будет ровно т (т sg; п, т ^

М) меченых.

 

Р е ш е н и е .

Событие А пусть состоит

в том, что среди выбранных п

изделий имеется

ровно т меченых. Общее

число случаев, среди которых

может появиться

событие А, равно и* = С

 

 

Подсчитаем число случаев, благоприятствующих появлению события А. Пусть среди выбранных п изделий содержится ровно т меченых. В выборку из п элементов могут войти те или другие из М меченых изделий. Общее число исходов, в которых т изделий из М могут войти в выборку, равно С"г Каждое такое сочетание меченых изделий может войти в выборку из п

изделий, содержащую любое сочетание п — т изделий из N — М немеченых. Число различных сочетаний немеченых изделий в выборке равно СдГ/цц.

Следовательно, общее число исходов, благоприятствующих появлению

события

А , равно

то*

рт рп-т

 

По

формуле

(1) получим

 

 

 

 

 

 

рт рп-т

 

 

 

 

 

 

° MbN- M

( 2)

 

 

 

 

 

Р-

 

 

 

 

 

съ

 

II р и м е р

3.

Он

решается аналогично примеру

2. Имеется группа

из пяти человек (N — 5), в которой две девочки (М =

2) и три мальчика.

Требуется

отобрать

отряд из трех человек (п = 3 ) , в

который вошла бы

одна (т =

1) девочка. Какова вероятность того, что среди случайно отобран-

СХС2

ных трех человек окажется одна девочка? По формуле (2) имеем р = —* 3- =

^3^

420

Классическое определение вероятности,так же как и геометри­ ческое определение, неприменимо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной играль­ ной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.

Ниже сформулировано статистическое определение вероят­ ности. Пусть в данной серии, состоящей из п испытаний, событие А

появилось

т раз.

Число

т называется

частотой

события А,

а его отношение к числу испытаний, і. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р*(А) = — >

 

 

 

 

называется

относительной

частотой (или

частостью) события

в данной серии

испытаний. Очевидно,

частость есть случайная

величина, принимающая значения в промежутке О

Р* И )

1.

Если число

п мало, то частость

р*(Д)

 

 

 

 

 

мало показательна. Повторяя се­

 

 

 

 

 

 

рии испытаний с малым п, будем

Р(Л)

 

 

 

 

 

получать

сильно

отличающиеся

 

 

 

 

 

друг от друга частости.

С ростом

 

 

 

 

 

 

п разброс

частостей не

исчезает,

 

 

 

 

 

 

но уменьшается.

Это

указывает

 

0

1

 

 

 

на то, что при увеличении п отно-

 

2 3 4

5 6 Номерсерии

рительная

частота

(А) обладает

 

 

 

Рис. 154.

 

 

свойством

у с т о й ч и в о с т и

 

 

 

 

 

 

в смысле уменьшения ее разброса (рис. 154).

 

в е р о я т ­

С т а т и с т и ч е с к о е

о п р е д е л е н и е

н о с т и .

Вероятностью

события А

называется

число,

вокруг

которого колеблется относительная частота р*{А)

при повторе­

нии длинных серий испытаний. Таким образом, смысл понятия вероятности состоит в том, что она определяет среднюю частость, с которой можно ожидать появления события А при повторении длинных серий испытаний.

Благодаря устойчивости частости и близости ее к вероят­

ности р (А),

величина р^(А) служит приближенной оценкой

вероятности р

(А), тем более точной, чем больше число п испыта­

ний в серии

р ( А ) ^ р * { А ) .

 

 

( 3 )

Пр и м е ч а н и е . Если в данной серии испытаний р% (А) —

—О, то событие А все же может произойти в результате нового испытания. Если (А) — 1, то это не значит, что событие А

достоверно. Здесь речь идет о массовых случайных событиях, в каждом из которых событие А может появиться, но может и не появиться. Вероятность есть характеристика степени объективной возможности появления события при большом числе испытаний. Исход же каждого случайного события остается случайным.

236. Основные теоремы.

I. Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления одного us двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

р{А , или

В) = р {А) -\-р (В).

(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Введем

обозначения:

п — общее

число испытаний, т г — число исходов

этих испытании, благо­

приятствующих событию А,

т 2 — число исходов этих событий,

благоприятствующих событию В. Ввиду несовместности событий А и В число исходов, благоприятствующих событию (А, или В),

равно т г + т

2. По

определению вероятности имеем

 

р (А, или

В) =

(тг 4- т2)/п = m-Jn {- т2/п —- р (А)

р (В ).

С л е д с т в и е 1. Вероятность появления одного из несколь­ ких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р{АЪ или А2, . . . , и л и А„) = р (А]) + р (А.2)-:г . . . +р(А„). (5)

Для п ~ 3 имеем p ( A lt

или А2, или А3) = р ( А г)АГр ( А2,

или А3)-=р(Аг) + р { А 2) + р (

А3).

Для любого п формула (5) выводится методом математической индукции.

События А и А называются противоположными, если они

несовместны и событие (А, или А) достоверно, т. е. если А и А образуют полную группу событий. Например попадание в цель

ипромах.

Сл е д с т в и е 2. Сумма вероятностей противоположных

событий равна единице:

р(А) + р(А) = 1.

(6)

Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию имеем: 1) события А и А несовместны и поэтому р (А , или А) = р {А) + р (П), 2) со­

бытие (Л, или А) достоверно и поэтому р (А, или А) = 1. Отсюда следует формула (6).

Точно так же доказывается утверждение: сумма вероятностей

событий А ±, . . ., А п,

образующих полную группу, равна единице:

Р ( ^ і )

А~Р О ^ г) + • • • ~\-р{А^) = і.

( 7 )

Например, в урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Какова

вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар. Вероятность вынуть красный шар р (А ) = 10/30, синий — р (В) = 5/30. Вероятность появления цветного шара р (А, или В) = р (Л) + р-(В) = 1 / 2 .

I I . Теорема умножения вероятностей. Эта теорема объединяет ряд теорем, в которых рассматриваются вероятности совместного появления нескольких событий.

Смотрите также файлы