ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 159
Скачиваний: 2
События А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. Событие В называется зависящим от события А, если вероятность появления события В зависит от того, про изошло событие А или нет.
П р и м е р 1. В урне находятся 7 белых и 3 черных тара. Условие опыта — каждый вынутый шар кладется обратно в урну. Событие А — в результате первого опыта вынут белый шар; событие В — в результате
второго опыта |
вынут |
опять |
белый шар. Имеем |
р (А) = р (В) = |
7/10. |
П р и м е р |
2. В |
урне |
7 белых и 3 черных |
шара. Условие |
опыта — |
вынутые шары обратно в урну не кладутся. События А и В те же, что в прн мере 1. В условиях примера 2 р (А) — 7/10, но р (В) зависит от того, произо шло событие А или нет. Если в результате первого испытания был вынут белый шар, то р (В) = 6/9, если в результате первого испытания был вынут черный шар, то р (В) = 7/9.
Условной вероятностью рА (В) называется вероятность по явления события В при условии, что событие А произошло. В при
мере 2 имеем рА (В) — 6/9, р А (В) = 7/9. |
|
, |
Если события А и В независимые, то |
|
|
РА (В) = Р - (В) = р (В), р в (А) = |
(А) = р {А). |
(8) |
Теорема 1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности появления одного из них на услов ную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло:
р(А и В) = р ( А ) р Л(В). |
(9) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть п — общее число |
равно-- |
возможных элементарных исходов испытания, образующих пол ную группу, п1 —• число исходов, благоприятствующих событию А (пг s^ п), т — число исходов испытания, в которых наступает событие В в предположении, что событие А уже наступило, т. е.
т— число исходов, благоприятствующих событию (А и В). Вероятность совместного появления событий А и В равна
р(А и |
= |
^ - = р (А)-р а (В). Теорема доказана. |
|
Меняя ролями А и В, получаем р(В и А ) —р (В) ■рв (А). |
Сле |
||
довательно, |
|
Р(А)р а {В) = р (В)р в {А). |
(10) |
|
|
||
П р и м е р |
3. В условиях примера 2 поставим такие вопросы: |
|
|
1) Какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары? По фор |
|||
муле (9) имеем р {А и В) = 7/10-6/9 = 7/15. |
|
||
2) Какова вероятность оба раза вынуть черные шары? По формуле (9), |
|||
примененной к событиям А и В, получим |
|
||
|
P ( Ä и |
В ) = р ( А ) . р - ( В ) = 3/10-2/9 = 1/15. |
|
Теорема умножения вероятностей независимых событий. Веро ятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
|
р(А il |
В) --=р (А) р (В). |
(И) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положив в |
(9) в согласии с (8) |
|
Р а (В) = Р (В), |
получим формулу (11). |
|
|
П р и м е р 4. |
Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения |
||
цели первым стрелком при одном выстреле р (А ) ----- |
0,8, вторым стрелком — |
||
р (В) = 0,7. Найти вероятность |
поражения цели |
двумя пулями в одном |
|
залпе. По формуле (11) имеем р (А и В) 0,8-0,7 |
= 0,56. |
||
События А г, . . ., А п называются независимыми в совокупности, |
|||
если вероятность появления любого из этих событий не зависит от того, произошли или не произошли какие-либо другие события из этой совокупности.
Теорема |
2. Вероятность |
совместного появления п |
событий |
||
А г, . . ., А„, |
независимых |
в |
совокупности, равна |
произведению |
|
вероятностей этих событий: |
|
|
|
||
Р(Аі и А ... и |
А п)^=р(А1)р(А2) • • • р ( а |
п )- |
(12) |
||
При п = 3 имеем |
|
|
|
|
|
р ( А 1 и А2 и As)--^p(A]) p( A2 и А3)=. р(А,)р(Л„)р(А3).
В общем случае теорема доказывается методом математической
индукции. |
Если события А 1, . . ., А п независимы и рав |
||
С л е д с т в и е . |
|||
новероятны р (А Д = |
. . . = |
р (И„) — р, то из (12) следует |
|
р{ Ах и |
А2 . . . и Ап) = рп. |
(13) |
|
П р и м е р 5. Имеется четыре места. Каждое из четырех мест может быть занято атомом одного вида (событие А), либо атомом другого вида (собы тие В); при этом р (А) = р, р (В) = 1 — р = q.
Вопрос: какова вероятность того, что все четыре места будут заняты атомами первого вида? Ответ: р4.
III.Теорема (о вероятности появления хотя бы одного из п
независимых событий). Пустъ события А lt . . А п независимы в совокупности, но они могут бытъ совместными. Для нахождения величины р (А-у, или А 2, ■■-, или А п) по данным р {Аг), р (А2),
. . р (Ап) обозначим через А к |
событие, противоположное A k. |
Имеем: |
|
1) А к и Ак — противоположные события и поэтому р (Ак) + |
|
+ p ( Ä J = _ 1, |
|
2) А г, А 2, . . А п — события |
независимые в совокупности, |
и по теореме 2 имеем р (А 1 и А 2 . . . и А п) = р (А Др (А 2), . . .
. . .. р( А п),
3) события (Alt или А 2, . . ., или А п) и (Ах и А 2 . . . и А п) противоположны и поэтому сумма их вероятностей равна единице:
р^Д , или Аъ . . ., пли А п)-'г р ( А1 и А2 . . . и Л„)=П.
Следовательно, имеет место формула
р(Лъ или Аг, . . ., или Л„) = 1 —[1 —р (АДІ [ і - р ( А 2)\ . . . [1 - р ( А п)].
(14)
В частности, если р (АД = р (АД = . . , = р (АД = р, то
р ( Аъ или А2, . . ., или ^4„) ^=1 — (1 — р)п- |
(15) |
П р и м е р 6. В условиях примера /, найти вероятность поражения цели хотя бы одной пулей при одиночном залпе. По формуле (14) имеем р (Л, или В) = 1 — (1 — 0,8) (1 — 0,7) = 0,94.
IV. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совме стного появления:
|
р(А, или |
В) = р (А) |
р (В) — р (А |
и В). |
(16) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1) Событие |
А |
может произойти |
||||
только при |
появлении одного |
из двух |
несовместных событий |
||||
(А и В) и (А и В). По теореме сложения вероятностей имеем |
|
||||||
|
р(Л) = р(Н |
и В ) + р {А и В). |
|
(17) |
|||
Аналогично находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
р(В)-=р(А и В)~- р(А и В). |
(18) |
|||||
2) Для появления события (А или В) имеются только три воз |
|||||||
можности: А |
и В, А и В, А |
и В. Эти три события несовместны |
|||||
и по теореме сложения вероятностей имеем |
|
|
|
||||
р(А, |
или В) |
- р(А и В) -Гр(А и |
В) |
р(.1 и В). |
(19) |
||
3)Складывая (17) и (18), получим
р{А) + р (В) = [р (А и В)А-р(А и В)-\-р(А и 5)1 А р (А и В).
Согласно (19) сумма в квадратных скобках равна р (А , или В), поэтому имеем
р(А, |
или В) г р {А и В) |
р (Л) + р (В). |
(20) |
|||
Отсюда следует равенство (16). Теорема доказана. |
то |
|||||
С л е д с т в и я . |
1. Если |
события |
А и В зависимы, |
|||
р (А и В) = р (А) рА (В) |
и из |
(16) |
следует формула |
|
||
р (А, |
пли В) |
-г. р{А)А- |
р(В)—р{ А) рЛ(В). |
(21) |
||
