Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

В условиях примера 1 и. 237 имеем М (X) = 6

Для выяснения вероятностного смысла математического ожи­ дания предположим, что произведено к испытаний, в которых

ниях. Если к достаточно велико, то частость приблизительно равна вероятности ys ^ P ( x s ) — Ps и тогда

X = YА -г •. • + Упхп ^ Р ( хі) хі + ■■■ -г P іхп) хп = М {X).

Следовательно, математическое ожидание дискретной слу­ чайной величины приблизительно равно среднему арифметиче­ скому всех ее значений, причем это равенство тем точнее, чем больше число испытаний к. Математическое ожидание есть сред­ нее значение случайной величины, вокруг которого группи­ руются более или менее тесно все ее значения. Поэтому матема­ тическое ожидание случайной величины называют также ее сред­ ним значением.

Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает следующими свойствами.

1°. Математическое ожидание постоянной равно этой по­ стоянной: М (с) — с.

Действительно, постоянную можно рассматривать как ди­ скретную случайную величину, принимающую единственное чис­ ловое значение с с вероятностью, равной р = 1. По формуле (2) имеем М (с) = с-1 = с.

2°. Постоянный множитель можно вынести за знак математи­ ческого ожидания: М (кХ) = кМ(Х).

Действительно, если X подчинена закону распределения (1), то величина кХ принимает значения кхѵ . . ., кхп с вероятно­ стями р х, . . ., р п соответственно. Поэтому имеем

М (к Х) = кххрх-I- ... + кхпрп= к {ххрх+ . . . + хпрп) = кМ (X).

3°. Математическое ожидание суммы двух дискретных случай­ ных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

Действительно, пусть X и Y имеют законы распределения

Чтобы упростить изложение, мы ограничились лишь двумя возможными значениями каждой из случайных величин. В общем случае доказательство аналогично. Составим перечень возмож­ ных значений величины X + У (для чего к каждому возмож­ ному значению х, прибавим каждое возможное значение ук) и их вероятностей рік:

дискретных случайных величин равно произведению их математи­ ческих ожиданий: М (XY) = М (X) М (Y).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть случайные величины X и Y заданы законами распределения (3). Мы опять с целью упрощения вычислений рассматриваем случай п =- 2. Составим все возможные

ные величины X i i l j могут иметь одинаковые средние значения а, но существенно различаться разбросом их значений около а. Например, при одинаково средней величине годовых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и летом), а дру­ гая — благоприятной для ведения сельского хозяйства.

Пусть дискретная случайная величина X задана законом рас­ пределения (1). Рассмотрим Y = X — М (X) — отклонение слу­ чайной величины X от ее среднего значения и вычислим М (Y).

величины от ее среднего значения равно нулю. Поэтому величина

М (Y) не может служить мерой рассеяния X около М (X). Такой мерой является М (У2).

Если случайная величина Х[задана законом распределения (1), то случайная величина Y 2принимает значения у% = [xk — М (Х)Іа с вероятностями p k соответственно при к — 1, 2, . . ., п. Поэтому из (4) следует

Теорема. Дисперсия случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата X и квадратом ее математического ожидания:

Доказательство основано на свойствах математического ожи­ дания и формуле (4)

D (X) = М (X2 - 2ХМ (X) + М2(X)} = М (X2) — 2М (X) М{Х) +

+ МЦХ) = М (X2) - М2(X).

Свойства дисперсии дискретной случайной величины:

Г . D(c) = 0, 2°. D (сХ) = c2D (X), 3°. D (Х + Y ) ^ D ( X ) + D (Y),

D (сХ) = М (с2Х 2) —М2 (сХ) = с2 [М {Х2) - М 2(X)] = c2D (X),

D (X г Y) — M [(X + У)2] - М 2(X + У) =