Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 155

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

I I р и м с р 3. Статистикой установлено, что из каждой тысячи родив

шихся детей и среднем рождается 485 девочек и 515 мальчиков. Пусть в семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди этих детей а) три девочки, б) не более двух девочек.

I' е ш с н п е. а) Вероятность рождения девочки р -- 0,485, вероятность рождения мальчика равна q = 0,515. Вероятность того, что среди пятерых детей три девочгін, по формуле Бернулли, равна

Ръ (3 ) = С|рЗд2 = іо • (0,485)3 . (0,515)2 = о,30.

б) Если в семье не более двух девочек, то это возможно в следующих случаях, когда среди пятерых детей число девочек равно 0,нли 1, или 2. Все эти события несовместны. Поэтому но теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна ^

р = ръ ( о ) 4- ръ( 0 + ръ( 2 ) - = я5 + c\pqx+ сьРЧг-

Закон распределения рассматриваемой случайной величины называется биномиальным законом распределения и предста вляется таблицей значений величины X и их вероятностей


-У	0	1	...	к	. . . п
P	qn	Cnpqn		.CnPhqn~k. .		... р

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиненной биномиальному закону распределения, соответ ственно равны,

М( Х) — пр,			D(X) = npq.					(9)
Для вывода этих формул преобразуем формулу Бернулли
(п—1) . . . (и —/с-И)				• pk-iqn-h —		пр	Cn-\ph l qv
Рп(*) = -?-■	(*—і) !			• pk-iqn-h —		~	Cn-\ph l qv
Получена рекуррентная формула
	Рп{к) = - ~ Р п - 1(Ä — -1).							(10)
По определению математического ожидания в случае биноми
ального закона распределения имеем
71	П				П
М (X) - 2 кРп (к) = 2 пррп_г (к — 1) = пр 2 Рп-1 (к — 1) = пР,
h=0	к = 1				h ~ 1
потому что сумма вероятностей событий, образующих полную
группу, равна единице:
	І	/	ѵ		Д	/	.	— (	И
	к—1
По формуле (2) для X 2 имеем
М (X2) = У к 2 Р п ( к ) = 2 кі гР Р п -1 (к — 1) =
= п Р {ІРп- 1 (0) +	. . . + Р п - 1		(га — 1)] +		[Рп- 1 (1) +		2р п Л (2) +
+	• ■•	+ (г а — 1 ) р л. 1 (и — 1)]}.

Справа сумма членов в первой квадратной скобке равна единице согласно формуле (11). Сумма членов во второй квадратной скобке есть М (X) при п — 1; согласно доказанному эта сумма равна (п — 1) р. Поэтому М ( X 2) = пр [1 -}- (п — 1) рЬ

Следовательно, дисперсия X равна

D{X) = M ( X 2) ~ M 2{ X ) ^ n p \ \ - \ ( n - l ) p ] - n * p 2==

=пр (1 — р) = npq.

240.Интегральная функция распределения случайной вели

чины и ее свойства.	Любую случайную величину (непрерывную
и дискретную) можно	вполне охарактеризовать ее интегральной

функцией распределения вероятностей.

О п р е д е л е н и е . Пусть х — любое вещественное число.

Интегральной функцией распределения, или интегральным зако

С{ х)	ном	распределения,		случайной вели
	чины	X называется		функция F (х),
	определяемая		при	всех веществен
	ных	значениях	х равенством

	Рі + Рі		I
		Д--------- 1
f	Pf _ J		I
			I
t	—	\	J__________

	О	гг	Xj

Рис. 155.

F(x) . р(Х <х ) ,

(12)

согласно которому значение F (х) в точке X равно вероятности случай ной величине X принять значение, меньшее х.

Построим график F (х) для дискретной случайной величины, заданной

законом распределения (1) при			п = 3.		Случайная величина		X принимает
только три значения ж,, х„ и х3.				х)	= 0. Если хх	х	х„, то F (х) —
Если X ss: ад, то F (х) --- р (X
--= Рі, так как среди значений X,			меньших х2, есть только одно значение х —
— хг, которое молют принять X.				р 1 -\|- р 2, так как среди значений X, мень
Если г г <	X ÏÇ х3, то F (х)
ших х3, имеется только два значения					и х.,, которые может принять X.
События — принять X эти значения — несовместны, и по теореме сложения
вероятностей складываются вероятности этих событий.						Следовательно, если
Если х3	X	оо, то F (х)	=	Рі +	р2 + Рз = 1-
случайная величина X дискретна, то ее интегральная функция распределения
разрывна (рис.	155).
Случайная		величина X	называется непрерывной,				если непре

рывна ее интегральная функция распределения F (х). Свойства интегральной функции распределения.

1°. Интегральная функция распределения принимает значения

в промежутке 0 ^	F (х)	1,	потому что вероятность р			£ [0,1].
2°. Если х 2 >	х х, то
	F (х2) ^		F (хх).			(13)
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть х2 >	х х. Событие: X		примет
значение, меньшее х 2, может			произойти	только при	появлении
одного из двух несовместных событий:				1) X примет	значение,

меньшее ælt вероятность этого события р (X <( жх) -- F (хх) и 2) X примет значение из промежутка х г sc х <( х 2, вероятность этого события обозначим р (хх ^ X <( ж2). По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

F (х2) = р( Х < х2) = р (X < жД + р (хг «S X <		х2).
Следовательно,
	F (ж2) = F (жД -f p(xt sz X < x2).	(14)
Здесь ja (жх ^ X	О ж2) ^ О, поэтому имеет место неравенство (13)*
3°. Теорема.	Вероятность того, что случайная	величина X

примет значение из промежутка х 1 ^	х <С ж2, равна приращению
интегральной функции распределения	при переходе от х х	к х 2
р(хг ^ Х C X2) = F( X2) — F (XJ).		(15)

Действительно, из (14) прямо следует формула (15).

Свойства 1°, 2° и 3° относятся к любым случайньш величинам, как непрерывным, так и дискретным. Следующие два свойства относятся лишь к непрерывной случайной величине.

4°. Вероятность того, что непрерывная случайная величина

примет любое вполне определенное значение, равна нулю.					Дж,
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Положив в		(15)	х 2 = х 1 г	Дж,
получим равенство р (жх ^ X <( жх		Дж) =	F (xt +	Аж) — F (жД,
перейдя в котором к пределу	при	Аж -ѵ 0	убедимся в том,		что
Р (х = х і) = °-
Поэтому для непрерывной случайной величины имеем
р {хг sS X < ж2) = р (ж2 <	X <	ж2) = р {хх «£; X «S х2).			(16)

П р и м е р 4. Вращается круг, в котором выделен сектор с централь ным углом а. Вероятность остановиться сектору против фиксированной вне круга стрелки равна р = а/2я. При а = 0 имеем р = 0. Здесь случайная величина X (это координата точки окружности, которая может оказаться против стрелки, когда круг остановится) принимает бесчисленное множество значений из промежутка 0 ==: х 2л, вероятность каждого из которых равна нулю. Такую случайную величину нельзя задать перечнем ее значений и их вероятностей (так как р = 0). Но ее можно задать интегральной функ цией распределения, график которой изображен на рис. 156.

5°. Если возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат промежутку (а, Ъ), то

	F (х)~ 0 при		i c a ,	F( x ) ~ 1 при х >		Ъ.	(17)
и	Действительно,	если	sg а,	то событие X		х х невозможно
и	его вероятность	равна	нулю.	Если же	х 2 >	Ь, то	событие
X	<7 X2 достоверно	и F (х2) = р (X <7 х 2) =			1.
	Если (а, 6) — вся числовая ось, то вместо (17) имеем
	lim F(x) = О,			lim F(x) — 1.			(18)
	зс -* - с о			X - Н оо

Из свойств интегральной функции непрерывной случайной величины следует, что график этой функции имеет вид, изобра женный на рис. 157, причем приращение ординаты кривой в про межутке (хг, х 2) равно вероятности р (xl <р X •< х 2).

241. Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. Пусть X — некоторая непре рывная случайная величина, a F (х) — ее интегральная функция распределения, которая предполагается дифференцируемой при любом X.

О п р е д е л е н и е . Дифференциальной функцией распределе ния случайной величины X , или ее плотностью вероятности,

называется первая производная от интегральной функции рас пределения

f ( x ) = F ‘ (x) при	— оо •< ж < оо.	(19)
Из (19) следует, что F (х +	Да;) — F (х) *=« / (х) Ах.	Вероятно

стный смысл этого равенства таков; вероятность того, что случай

ная величина X		примет значение в промежутке (х, х		+	Ах), при
ближенно равна произведению плотности вероятности					в точке х
на длину промежутка Ах.				ф у н к ц и и
С в о й с т в а		д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й
р а с п р е д е л е н и я .			Пусть непрерывная случайная вели
чина	X задана	своим	дифференциальным законом	распределе
ния	/ (ж).				0.
1°. Плотность вероятности не отрицательна: / (х)
Действительно, F (х) есть функция неубывающая, а поэтому
ее производная F' (х) =			/ (х) не отрицательна.
2°. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная
величина X примет в результате испытания значение					в проме

жутке (а, Ь), равна определенному интегралу от дифференциаль ной функции распределения в пределах от а до Ъ

ъ
р(а <; X <; Ъ) — J/ (х) dx.	(20)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть / (х) непрерывна. С помощью равенств (15) и (19) и формулы Ньютона — Лейбница получим

ъ ь

р(а <_Х <& ) ~ F (b) —F (а) = | F' (х) dx | f(x)dx.

а а

График дифференциальной функции распределения вероят ностей называется кривой распределения (рис. 158). Площадь иод кривой на участке CD равна вероятности р (хг < Х < х 2).

3°. Имеет место формула

ЭС
F( x) = J f(x)dx.	(21)

- С О

Действительно, с помощью определения F (х) и формулы (20) имеем

F (х) = р (X < х) = р ( — оо < ; X << х)	jX / (х) dx.
-Ьоо
4°. J / (х) dx = 1.	(22)
- О О

Действительно, если в (21) пе рейти к пределу при х -»-оо, то в силу (18) получим (22).

Геометрически формула (22) оз начает, что вся площадь под кри вой распределения равна единице. Вероятностный смысл формулы (22) состоит в том, что достоверно собы тие — случайная величина X примет в результате испытания какое-либо вещественное значение.

Приведем примеры дифференциальных функций распределе ния. 1. В случае равномерного распределения вероятностей слу чайной величины, принимающей значения в промежутке (а, Ь), имеем

f(x) — l/(b— а) при a ^ x ^ b , f(x) = 0 вне [а, 5].

В частности, в условиях примера 4 кривая распределения изображена на рис. 159.

2. В случае нормального распределения вероятностей имеем

( х - а ) г

(23)

График этой функции — кривая Гаусса — изображен на рис. 153.