242. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной слу чайной величины.
О п р е д е л е н и е . Математическим ожиданием, или сред ним значением непрерывной случайной величины X , для которой функция / (X) является плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится)
4 - СО
М ( Х ) ~ I xf(x)dx. |
(24) |
-С О |
|
П р и м е ч а н и е . Это определение является естественным распространением понятия математического ожидания для ди
скретной случайной величины, когда М (X) — 2 x s P s - Действительно: 1) для непрерывной случайной величины
имеем
р (х < X |
< X |
Ах) — F {х-[ Ах) — F{x) = j ( x Jr ѲЛх) Ді г « / (х) Ах. |
Таким образом, произведение / (х) Ах |
У I |
|
приближенно |
равно |
вероятности X |
1 |
іі
|
принять |
значение |
в |
промежутке |
2 п |
|
(х, X + |
Ах), |
поэтому |
вместо xsps |
|
2п |
имеем xj (х) Ах; |
|
|
|
2) роль xs играет |
X из проме- |
Рис. |
159. |
жутка (—оо, +оо); |
|
|
|
|
3) суммирование по s заменяется интегрированием по х в про межутке ее изменения.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает следующими свойствами:
1°. М (kX) = kM (X), 2°. М (X + Y) = M(X) + M (Y),
3°. М (XY) = M (X) - М (Y), если X и Y — независимы.
О п р е д е л е н и е . Дисперсией непрерывной случайной вели чины X , среднее значение которой М (X) = а и функция / (х) является ее плотностью вероятности, называется величина не собственного интеграла (если он сходится)
+ 0 0
Z ) ( X ) = J |
(.z - a ) * f ( x ) d x . |
(25) |
- СО |
|
Дисперсия непрерывной случайной величины имеет следу |
ющие свойства: |
|
|
1Ѳ. D{cX) = c*D(X), |
2°. Я(Х + У) = Д(Х) + Д(У), |
|
если X и Y независимы.
Средним квадратичным уклонением случайной величины X
называется корень квадратный из ее дисперсии а (X). = V D (X).
243. Нормальный закон распределения. Распределение вероят ностей называется нормальным, если оно . описывается дифферен циальной функцией распределения (23). Нормально распределен ные случайные величины имеют широкое распространение на практике. Это происходит по причине, указанной в следствии из так называемой центральной предельной теоремы теории веро ятностей, доказанной А. М. Ляпуновым.* Сформулируем это следствие.
Если случайная величина X представляет собой сумму очень
б о л ь ш о г о |
ч и с л а |
взаимно независимых случайных вели |
чин X j, . . - , Х п, |
влияние каждой из |
которых |
на всю сумму |
н и ч т о ж н о |
м а л о , |
то величина |
X имеет |
распределение |
вероятностей, |
близкое к нормальному. |
|
|
П р и м е р |
1. |
Пусть |
производятся измерение некоторой физической |
величины при помощи одного и того же измерительного прибора. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как иа результат измерения оказывают влияние очень многие случайные фак торы — изменение температуры, механические и другие колебания измери тельного прибора, несовершенство органов зрения наблюдателя и др. Каждая из этих причин порождает ничтожно малую частную ошибку. Однако, по скольку число этих причин очень велико, их совокупное действие дает замет ную суммарную ошибку. Эта суммарная ошибка имеет распределение вероят ностей, близкое к нормальному, что подтверждено опытом.
П р и м е р 2. Рассмотрим массовое изделие, например валик, который изготавливается автоматически. Проследим за каким-либо параметром ва лика, например за его диаметром. Отклонение величины диаметра от расчет ной величины есть случайная величина X, подчиненная закону распределения вероятностен, близкому к нормальному. Действительно, существует большое число факторов, оказывающих влияние на работу станка-автомата (срабаты вание деталей станка, изменение смазки, температуры, качество заготовки и др.), каждая из этих причин, которые мы можем считать взаимно незави симыми, порождает ничтожно малое отклонение диаметра от расчетного. Совокупное их действие оказывает уже заметное влияние на результат — изготовленные валики имеют различные диаметры. Из теоремы Ляпунова следует, что случайная величина X подчинена закону распределения, близ кому к нормальному.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по нормальному закону (23). По фор муле (24) имеем
|
|
|
+ 0О |
( х - а )2 |
|
|
А/(Х) = - 4 = |
Г хе~ |
202 |
dx. |
|
|
Ѵ ’ |
о У2я J |
|
|
|
|
|
|
-С О |
|
|
|
Вычислим этот интеграл |
способом замены |
переменной, положив |
t = (х — а)/аУ 2. Получим |
|
|
|
|
__ |
*4-00 |
|
|
|
|
-fco |
А/(Х)= 1 ?— ■ f |
(а (-У 2 at) |
dt = ~ |
Г с •" dt |
о у |
2л J |
|
|
|
У-л |
J |
|
- с о |
|
-fсо |
|
|
-С О |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
у л |
Ç te~v-dt. |
|
|
__________ |
Т |
-сJо |
|
|
|
* Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918) — русский математик.
Второе слагаемое правой части этого равенства равно нулю по причине нечетности подынтегральной функции относительно t. Первое же слагаемое содержит четную подынтегральную функцию. С помощью известной формулы Эйлера — Пуассона (см. п. 172) получаем окончательный результат
|
|
СО |
|
2а |
Ѵп — а. |
|
|
Л/(Х) = |
|
|
(25) |
|
|
|
|
V л |
|
|
|
Следовательно, параметр а в формуле (23) есть среднее значе |
ние случайной величины X . |
|
|
|
|
|
|
Вычисление дисперсии ведем по формуле (25) |
|
|
|
-гсо |
|
(X - |
а)2 |
|
|
|
D(X) = |
J |
(х —а)2е ~TSr'dx. |
|
Замена переменных t = (х — a)/oÿ2 дает |
|
|
|
|
|
|
|
О-СО |
|
|
|
|
D(X) = ^ |
L |
f Pe-t'dt. |
|
|
|
|
|
Уп |
J |
|
|
|
Интегрируя по частям, имеем |
|
|
|
|
|
|
2а°- |
-4* со |
|
-f- оо |
|
2о2_ |
|
D(X) |
|
|
е 11 dt |
|
Vл |
|
|
У"я |
|
|
- о о |
|
- С О |
|
|
Итак, D (X) = о2 и a (X) = а.
Следовательно, параметр а в нормальном законе (23) есть сред нее квадратичное уклонение случайной величины X .
244. Закон больших чисел. Ниже рассмотрены теоремы Чебы шева, Бернулли, Лапласа, которые получили общее название закона больших чисел. Закон больших чисел открыт в середине XIX в. великим русским математиком П. Л. Чебышевым.
Как известно, отдельная случайная величина X в результате испытания может принять значение, далекое от ее среднего зна чения М (X), и мы не знаем какое. Ниже речь пойдет о сумме большого числа случайных величин. Казалось бы, что о сумме случайных величин вряд ли можно вынести какое-либо опреде ленное суждение. Но это не так. Оказывается (при весьма широких условиях) поведение суммы достаточно большого числа случай ных величин почти утрачивает случайный характер и становится
закономерным. |
п р и м е р . |
Пусть п |
независимых |
Т е о р е т и ч е с к и й |
случайных величин X і, ■. - , Х п имеют |
одинаковые |
математиче |
ские ожидания М (Xk) = |
аи одинаковые дисперсии D (Xk) = о 2 . |
Рассмотрим случайную величину X, представляющую среднее
арифметическое исходных величин X = (X г + • • •+ Х п)/п. Най дем ее математическое ожидание и дисперсию:
м (X) = м ( х х+ .. + х п)т = [м (X,) + . . . + М ( х п)]т --
—najn = a,
т.е. среднее значение X равно а, что можно было предвидеть;
D{X) = D (X, -I- . . . |
р Х п)/п2= [D (X J {- . . . |
\ D (X J]/я2 = |
«= na2ln2= er2/«.
Имеем о (X) — а/]/Зг.
Следовательно, среднее арифметическое X взаимно независи мых и одинаково распределенных случайных величин имеет среднее
квадратичное уклонение в ]/п раз меньшее, чем каждая из соста
вляющих величин. Таким образом, X обладает во много раз мень шим рассеянием, чем каждая из составляющих.
Рассмотрим дискретную случайную величину, заданную зако ном распределения (1). Поставим вопрос — сколь вероятны боль шие уклонения X от ее среднего значения М (X) — о? Более точная постановка вопроса такова. Пусть а — любое данное положительное число. Какова вероятность того, что случайная
величина |
X |
примет значение, удовлетворяющее |
неравенству |
|Х |
— а\ > |
а? |
Обозначим искомую |
величину |
символом |
р |
( |Х — а\ > |
а). |
|
|
|
Для получения ответа на поставленный вопрос, следуя Чебы |
шеву, будем исходить из определения дисперсии |
|
|
|
|
D(X)=*M[(X — а)2] = 2 |
{Xk— a)2Pk- |
|
|
|
|
fe-i |
|
|
Если в правой части отбросить слагаемые, в которых \xk — а | ^ а, и оставить только те, для которых выполнено условие I xk — а I > а, то в результате такого действия сумма может лишь
уменьшиться:
D (X) Ss 2 (xk— a f Pk, где (xk— a f > a2.
Эта сумма еще более уменьшится от замены (xk — a f на а 2. Полу
чим неравенство D (X) > а 22 ' pk. Здесь суммирование распро страняется на те значения сл учайной величины X , которые укло няются от а (в ту или друг уго сторону) больше, чем на а. Согласно теореме сложения вероятностей имеем
^ Pk — р ( I X — а ! > а). Поэтому D (X) > а2р ( | X — а | > а).
