Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Отсюда следует ответ на поставленный выше вопрос в виде

неравенства Чебышева

ностей этих событий равна единице. Отсюда следует, что

p ( \ X —a\ s ^ a ) = i —p ( \ X — a\ >- а).

Если в правой части этого равенства увеличить вычитаемое согласно (27), то получим такую форму неравенства Чебышева:

П р и м е р 1. Произведено п — 100 измерений некоторого параметра в партии изделий. Результаты измерений ац, . . ., ж100 имеют среднее значе­ ние а — 200 и о (X) = 5. Рассмотрим среднее арифметическое результатов

измерений. Имеем М (X) = 200, а (X) = 5/фЧ00 = 0,5. Вопрос — какова

вероятность того, что величина X (из какой-либо сотни изделий) имеет укло­ нение от среднего значения, большее трех? По формуле (27) получаем

р {1Х - а I > 3) < (0,5)2/32 « 0,3.

П р и м е р 2. Производится стрельба по мишени. Пусть при 900 вы­ стрелах среднее число попаданий равно 450 и среднее квадратичное уклонение равно 15. Найти вероятность того, что фактическое число т попаданий будет

Теорема Чебышева. Если дисперсии независимых случайных величин Х і, . • ., Х п ограничены одной и той же постоянной с, то как бы мало ни было положительное число е, вероятность вы­

п—со

До к а з а т е л ь с т в о . Применяя неравенство Чебышева

(28)к величине X, имеем

р( | Х - М ( Х ) | < е ) > 1 - ^ .

Пользуясь свойствами дисперсии и условием теоремы, получим

D (X) — [D (XJ -j- . . . ■г D (Хп)]/п2 <^пс/п2 = с(п.

• Действительно, в условиях рассматриваемого частного случая равенство (29) имеет вид (31).

Сущность теоремы Чебышева состоит в следующем. Несмотря

среднее арифметическое X достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью весьма близко к среднему ариф­

метическому их математических ожиданий; отклонение X от М (X) сколь угодно мало при достаточно большом п с вероятностью, сколь угодно близкой к единице.

Другими словами, в то время как каждая случайная величина может иметь большое рассеяние, среднее арифметическое X этих

величин будет рассеяно мало; величинах почти утрачивает харак­ тер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из случайных величин X* от ее математического ожидания могут быть больше нуля и меньше нуля, а в среднем арифмети­ ческом эти отклонения взаимно погашаются.

Значение теоремы Чебышева для практики велико. Пусть, например, измеряется некоторая физическая величина. Обычно принимают в качестве искомого значения измеряемой величины среднее арифметическое результатов нескольких измерений. Можно ли считать такой подход верным? Теорема Чебышева (ее частный случай) отвечает на этот вопрос положительно.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в стати­ стике выборочный метод, согласно которому по сравнительно небольшой случайной выборке выносят суждение, касающееся всей совокупности исследуемых объектов.

Т е о р е м а Б е р н у л л и . Пусть производится п независи­ мых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Формула Бернулли (7) отвечает на вопрос о вероятности появления этого события к раз в п испы­ таниях. Ниже поставлен другой вопрос — об относительной частоте появления события А в п испытаниях.

Теорема. Если в каждом из п независимых испытаний вероят­ ность р появления события А постоянна, то как бы мало ни было положительное число г, вероятность выполнения неравенства

< е, г д е ------ относительная частота появления собы-

п

тия А в п испытаниях, будет сколъ угодно близка к единице, если число испытаний п достаточно велико, т. е.

га

lim р (32)

71 -* СО

п

Доказательство теоремы Бернулли, предложенное Чебышевым, заключается в следующем. Обозначим через Xk число появлений события А в к-м испытании, где к ~ 1, 2, . . п. Xk есть случай­ ная величина, принимающая всего два значения 0 и 1. Тогда т — X ! + • • • + X „ есть число появлений события А в п испыта­ ниях. Вспомним, что относительной частотой появления собы­ тия А называется отношение числа испытаний, в которых собы­ тие появилось, к общему числу испытаний, т. е. т/п. Имеем

т/ п ={ Х і - \ ----- + X j / n = X.

Здесь выполнены условия частного случая теоремы Чебышева. 1) Математические ожидания случайных величин Х 15 . . ., Х п одинаковы и равны р; действительно, каждая случайная величина может принять только два значения 1 и 0 с вероятностями р и q

тельно, Х% может принять только два значения 1 и 0 с вероят­

согласно заключению теорейы Чебышева, получаем формулу (32) непосредственно из (31). Теорема Бернулли доказана.

П р и м е ч а н и е . Из формулы (32) не следует, что • р. В теореме

Бернулли речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом п величины 2? и р будут сколь угодно мало отличаться одна от другой. Однако

при этом случайная величина Ц - р может принять и не малое значение.

В формулах (29), (31) и (32) речь идет о стремлении по вероятности.

Локальная теорема Муавра — Лапласа.* Если вероятность р появления события А в каждом повторном испытании постоянна и отлична от Ou i , то р п (т) — вероятность того, что событие А появится в п испытаниях т раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

П р и м е ч а н и е . Конечно, величину рп (т) можно найти и по формуле Бернулли (7), но при больших п это связано с гро­ моздкими расчетами. По формуле (33) расчеты значительно проще. Имеется таблица значений функции ф (х) в каждом курсе теории вероятностей.

тие А в п испытаниях наступит от т х до т 2 раз, приближенно равна величине интеграла

Для вычисления интеграла (34) целесообразно пользоваться таблицей значений функции Лапласа

и условием Ф (~х) = —Ф (ж). Таблицы значений функций ф (х) и Ф (х) имеются, например, в цитированном выше курсе Б. В. Гне­ денко.