ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 0
Гл. |
6. Построение состояний |
51 |
| L — L | = 3 . Отметим, |
наконец, что если мы вообще |
откажемся |
от процедуры диагонализации оператора eg, то возникают новые
интересные соотношения |
(см. задачу 6.9). |
|
|
|
|
6.7. Генеалогические коэффициенты |
|
Рассмотрим |
теперь |
генеалогические коэффициенты сами по |
|
себе, вне их связи с операторами е. С использованием |
классифи |
||
кации по группе |
R21U генеалогические коэффициенты |
( F 6 { | F _ 1 9 ) |
|
для термов максимальной мультнплетности (при N^1) можно записать в виде
или, короче, (WxL + l\ WxL). Тогда соотношение ортогональности генеалогических коэффициентов принимает вид
^ |
{ W ~ l + |
l \ |
W*L){WxL+l\ |
W\'L)=b{W, |
|
W')b{x, |
* ' ) . |
|||
~-, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно Рака [6], |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ÇWxL+ |
l\ WxL)=(-\)x |
|
{D (W)[L]jD |
(W) |
[L\)'u(WxL |
|
+l\ |
WïZ); |
||
здесь |
D(W)—размерность |
представления |
W, |
( |
1)* — фазовый |
|||||
множитель. Если |
это последнее |
выражение |
подставить в соотно |
|||||||
шение ортогональности и поменять местами |
величины |
с чертой и |
||||||||
|
— |
|
|
|||||||
без черты, то получаем, что |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
ÇWxL+l\ |
WvL)Çw"x'L+l\ |
WxL) |
[L] |
= |
|
|||
|
= |
[L][D(W)ID(w)}bÇW, |
|
W')o(x, |
V ) . |
|
||||
Нам |
надо положить W=-W и W = W. |
В последней |
формуле сум |
|||||||
мирование ведется по элементам столбцов таблицы генеалогиче ских коэффициентов, тогда как обычно в соотношении ортогональ ности мы имеем суммы по элементам строк этой таблицы.
Помимо того что выведенная формула дает возможность не зависимой проверки правильности отдельных значений в таблице генеалогических коэффициентов, ее можно использовать и для дру
гой цели: она позволяет нам доказать, что |
суммы собственных |
||
значений оператора eg для данного N |
(которые можно взять из |
||
табл. V I ) , умноженных на (2L + 1), |
дают |
нули. Доказать |
это |
утверждение можно по индукции. Допустим, что утверждение |
спра |
||
ведливо для конфигурации l N _ i (удобно вести доказательство для
-1*
52 |
Б. Джадд. Теория атомных спектров |
произвольного / и для любого двухэлектронного оператора е, являю щегося скаляром по R Î ) . Таким образом, мы имеем
|
( ѳ и ѳ ) = [ Л ' / ( Л А - 2 ) ] 2 |
( 0 { | ё ) ( в | е | ё ' ) ( е [ | Г ) , |
|||||
|
|
|
Ü, V |
|
|
|
|
где Ѳ, |
Ѳ и Ѳ'— сокращенные |
обозначения |
соответственно для |
||||
lKWxL, |
/Л "- 1 №т£ |
и lN-Wx'L. |
Умножая, далее, |
последнее |
соотноше |
||
ние на |
(2L + 1) |
и суммируя по т и L , имеем |
|
|
|
||
^\L](B\e\ff)=[NIN-2)] |
2 И |
(в I е |в') |
5 Ц |
ï) D |
(W)ID{W)=- |
||
т> 1 |
|
|
о, и' |
|
|
|
|
|
= |
[NHN-2)] |
\D(W)ID(W)} |
2 |
Н ( 0 | е | ѳ ) = О , |
||
|
|
|
|
|
т, L |
|
|
поскольку последняя сумма по предположению равна нулю. Та
ким |
образом, если сумма обращается в нуль для |
конфигурации |
|
/ Л ' - 1 , |
она обращается в нуль и |
для конфигурации |
/і Ѵ . Как непо |
средственно видно из табл. V I , |
указанная сумма равна нулю для |
||
конфигурации g2 ; следовательно, она равна нулю для любой кон фигурации gN\ это можно проверить для конфигураций g3 и g!l с помощью табл. V I .
6.8. Другая сумма
Сумма самих собственных значений {eg) равна нулю для кон фигурации g2 ; однако это не распространяется на конфигурации g3 и g4 , как легко видеть из рассмотрения табл. V I . Однако указанное свойство оператора eg имеет одно интересное следствие. Если вы полняется соотношение
|
|
2 |
ск=0, |
то любой оператор |
|
k нечетн |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
' ^ ( ѵ ^ . ѵ п |
і> j |
k |
нечетн |
|
можно записать в следующем виде: |
|||
Ѵ2 |
2 |
* |
(ѵ( *> • ѵ<*>), |
где |
к нечетн |
|
|
|
|
|
|
Ѵ ( Л ) = 2 ѵ Г .
Гл. 6. Построение состояний |
53 |
Сами операторы V<fe) в свою очередь обладают |
очень интерес |
ным свойством. При нечетном k их матричные элементы для тер мов максимальной мультиплетности инвариантны при отражениях относительно начетверть заполненной оболочки. Это связано с тем, что в отношении операторов W ) оболочка ведет себя как заполнен ная при N = 2/4-1; таким образом, сделанное утверждение просто эквивалентно утверждению, что матричные элементы инвариантны
при преобразовании «частицы — дырки». |
Это |
свойство инвариант |
|||||
ности сохраняется |
для |
любого оператора, |
который |
можно |
скон |
||
струировать из операторов VW. Следовательно, собственные зна |
|||||||
чения оператора eg |
для |
конфигураций |
g5, |
g6 |
и g 7 |
должны |
быть |
идентичны соответствующим собственным значениям для конфи гураций g1, g3 и g2 , ибо сумма коэффициентов Ck равна нулю.
Указанной симметрией в отношении начетверть занятой обо лочки, с понятными уточнениями, обладают практически все опе раторы, интересные в атомной спектроскопии, при условии, конечно, что мы рассматриваем только термы максимальной муль типлетности. Это означает, в частности, что генеалогические коэф
фициенты нужно |
|
рассматривать только до конфигурации I1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
6.9. |
Повторяющиеся собственные значения |
|||
|
До сих пор мы ничего не сказали о самом поразительном свой |
|||||||||
стве |
табл. V I , о |
|
повторении в ней отдельных собственных значе |
|||||||
ний |
оператора |
е5. |
|
Так, например, |
число |
11 встречается трижды, |
||||
29 |
— |
два раза, |
9 |
— |
шесть |
раз и 15 |
— |
пять |
раз. Такие повторения |
|
|
|
|
|
|||||||
вряд ли случайны. Они характеризуют неприводимые представле
ния какой-то новой группы. В самом деле, для оператора |
е/, |
как |
||
мы знаем, собственные |
значения |
(efi идентичны для термов 4Z), kG |
||
и 'Ч конфигурации /3 , |
потому что |
эти термы принадлежат |
одному |
|
и тому же неприводимому представлению (20) группы Go. Как |
это |
|||
уже неоднократно подчеркивалось, нет никакого аналога |
группы |
|||
Go для ^-электронов; и все же собственные значения оператора |
eg,. |
|||
как оказывается, несут на себе по крайней мере внешне характер ные черты какой-то группы.
Перед тем как переходить к исследованию повторяющихся соб
ственных |
значении, полезно напомнить, что оператор eg |
можно |
|||||
рассматривать просто как оператор |
(U-Іг) для всех термов конфи |
||||||
гурации g2 , кроме терма гР. |
Поэтому, если какой-то |
терм конфигу |
|||||
рации g 3 |
не имеет терма 3Р |
в |
своей генеалогии, то |
ясно, |
что |
соб |
|
ственное |
значение оператора |
eg |
равно собственному |
значению |
опе |
||
ратора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
ч |
Ч> |
|
|
|
т. е. оно |
равно |
i>J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
у 2 Л ( І + 1 ) - 3 / 2 / ( / + 1 ) . |
|
|
|
|||
54 |
|
Б. Джадд. |
Теория |
атомных спектров |
|
||||
Термы |
4 Р , 4 77 / ,, 4 / , !іК и 4 М |
конфигурации |
g 3 |
как |
раз являются |
||||
такого |
рода |
термами, |
и |
поэтому |
пять |
чисел, |
появляющихся |
||
в табл. V I , очень легко понять и проверить. |
|
|
|
||||||
Далее, родительскими для терма W конфигурации g!i являются |
|||||||||
термы 4 /, !іК |
и 4ѵИ; следовательно, |
для |
этого |
терма |
конфигурации |
||||
g 4 собственное число (ее) |
равно |
|
|
|
|
|
|||
|
1 / 2 І ( / . + 1 ) - 2 / ( / + 1 ) = І / 2 |
• 10 |
• 11 - 2 |
• 4 • |
5=15 . |
||||
Хотя этот пример и показывает, что отдельные собственные зна чения оператора es можно легко объяснить, он ничего не говорит о том, почему повторяются собственные значения. Для такого объ яснения, хотя бы поверхностного, нам нужен еще один, новый оператор.
|
|
|
|
6.10. |
Оператор |
[е, af] |
Рассмотрим коммутатор [eg, |
а+ ]. Поскольку оператор ед в его |
|||||
вторично-квантованной форме содержит два оператора |
рождения |
|||||
и два |
оператора |
уничтожения |
(всего четыре оператора), то опе |
|||
ратор |
[eg, а+ ]может быть не более чем тройной |
формой |
операто |
|||
ров рождения и уничтожения. |
|
|
|
|||
Оператор |
eg |
принадлежит |
представлению |
(1111) группы Ro, |
||
и оператор af |
— представлению |
(1000). Следовательно, |
оператор |
|||
[eg, af ] |
должен |
принадлежать |
представлениям, содержащимся |
|||
в разложении |
произведения |
|
|
|
||
(ИП)Х(ІООО).
Однако в то же время он должен принадлежать представлениям, содержащимся в разложении произведения
(1000) X (ЮОО) X (1000).
Только одно-единственное представление |
входит в |
оба произве |
||||
дения: это |
представление |
(1110). Таким |
образом, |
оператор |
[eg, |
|
af] имеет |
симметрию (1110) G. Подобным |
образом |
можно |
пока |
||
зать, что оператор [ел, af ] |
имеет симметрию |
(НЮО)Я. |
|
|||
Полученный результат приводит сразу к ряду следствий. Рас смотрим, например, состояние
І К а Ч к 2 3 Я > Г Л
где L — нечетное. Как хорошо известно, имеет место соотношение
((1110)О + (1100) Р К П 10) ^ / 7 ) = ( ( 1 П 0 ) О + ( 1 1 0 0 ) Р | ( 1 П 0 ) Я ) = 0 ;
это в точности условие того, что матричные элементы спин-орби тального взаимодействия, которое в орбитальном пространстве преобразуется по представлению (ПОО)Р, должны исчезать, если
