ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 114
Скачиваний: 0
42 Б. Джадд. Теория атомных спектров
классификации термов максимальной мультнплетности исходного полного пространства. Таким образом, мы можем исследовать рас сматриваемую схему классификации в надежде разрешить общую проблему классификации термов при произвольных значениях. /.
В случае /-оболочки не существует сдвоенных термов макси мальной мультнплетности. В случае ^-оболочки их наблюдается несколько: так, терм 'lF появляется дважды для конфигурации g3. Существенно сложнее ситуация для ft-оболочки или і-оболочки (самая сложная оболочка, которую рассматривал Шудеман); сдво енные термы максимальной мультнплетности появляются по многу раз. Как же различать эти одинаковые термы?
Один из способов — взять какой-нибудь оператор и диагоиализовать его. Отвлекаясь здесь от проблемы вырождения собст венных значений этого оператора, мы можем получить набор одно значно определенных собственных функций этого оператора, соответствующих разным собственным значениям. Однако очень ва жно при этом взять разумный оператор, такой, который имел бы хорошие свойства (но не слишком хорошие — а именно надо из бегать операторов с сильно вырожденными собственными значе ниями). Другой способ — обнаружить параллелизм между изучае мой системой и какой-либо другой, для состояний которой мы мо жем построить полную однозначную классификацию. Поскольку только один случай такого параллелизма был подмечен до сих пор, хотя он и оказался не очень плодотворным, сразу опишем его здесь.
6.2. Бозоны и плетизмы
Бордарье [17] первым обратил внимание на тот факт, что плетизм Мурнагана [18], использованный Вайборном, устанавливает соответствие между фермионными и бозонными состояниями. Бо
лее точно, оказывается, что L-значения для термов |
максимальной |
||||||
мультнплетности |
фермионной |
конфигурации |
lN идентичны |
L-зна- |
|||
чениям |
термов |
бесспиновой |
бозонной |
конфигурации |
{/ — 7а(УУ — |
||
— 1)}х Ѵ (при условии, что 2/-Ь2>ІѴ). Так, например, термы |
макси |
||||||
мальной |
мультнплетности конфигурации g 3 |
(фермионной) |
нахо |
||||
дятся в однозначном соответствии с термами конфигурации |
f3 (бо |
||||||
зонной); |
или термы конфигурации g5 |
(фермионной) |
эквивалентны |
термам конфигурации d5 (бозонной). Далее, повторяющиеся термы бозонных конфигураций всегда можно легко различить: так, на
пример, полностью симметричное представление [3] группы |
Ui раз |
|||
лагается в сумму (300)+ (100) |
представлений группы R7, при этом |
|||
представление |
(100) |
содержит |
один из двух термов 'LF, встречаю |
|
щихся дважды |
в конфигурации g 3 (фермионной). Случай |
N = 5 |
||
особенно показателен |
в этом |
отношении. Конфигурация g 5 |
имеет |
Гл. 6. Построение состояний |
43 |
секстеты SD2FGZHI2KLN, при этом представление [5] группы £/5 разлагается по представлениям группы Л?5 следующим образом:
[5]->(10)D
+(30) S FOI
+ (50) DGH/KLN;
получаем полное разделение сдвоенных термов. Можно ли эту од нозначную бозонную классификацию как-то перенести на фермионы?
Исходный пункт здесь — это фактическое соответствие между антпснмметрпзованными фермионными состояниями
\mxm2 |
. . . mN), (/ ml^> /тг2 > . . . > mN |
^ — /) |
|
|
(предполагается, |
что все ms=+ili, |
так что необходимо |
задавать |
|
только значения mi) и бозонными |
состояниями |
|
|
|
K - y 2 ( W - l ) , m2-42(N-3), |
. . ., |
mN+42{N-\)]. |
Соседние составляющие этого составного символа могут теперь равняться друг другу, но все равно любая последовательность со ставляющих должна оставаться упорядоченной (большая состав ляющая стоит слева от меньшей). Приведем теперь примеры. Со
стояние |
{43—1} |
конфигурации |
g3 |
(фермионной) |
соответствует |
состоянию [330] конфигурации / 3 |
(бозонной). Ясно, что здесь взаим-. |
||||
но-однозначное соответствие. |
|
|
|
||
Состояние Ig'3 ''F, MS =3U, ML |
= 3) является, вообще говоря, не |
||||
которой |
линейной |
комбинацией |
отдельных фермионных состояний |
||
а ( 4 3 - 4 ) - И |
{ 4 2 - 3 } + с (41 -2} |
+ d ( 4 0 - 1 }+е |
{ 3 2 - 2 } + |
||
|
|
+ / { 3 1 - 1 ) + ^ { 2 1 0 } ; |
|
||
однако требование, чтобы |
|
|
|
||
|
|
L+\g™F, Ms=% |
A f t = 3 > = 0 , |
|
|
приводит к следующим уравнениям: |
|
|
аУь+Ьу1А=0,
b УІ4+с / 1 8 + е 1/8=0,
сYÏ8+d1 20 + / ] / 8 " = 0 ,
еу Т 8 + / 1 / 1 8 " = 0,
/ У'20+g V 1 4 = 0 ,
которые нельзя полиостью разрешить относительно неизвестных коэффициентов. (Конечно, этого и следовало ожидать, так как име ется два терма iF для конфигурации g3 .)
44 |
|
|
|
|
Б. Джадд. |
Теория |
атомных спектров |
|
|
|
|||
Вместе |
с |
тем |
совершенно |
ясно, |
что |
бозонное |
состояние |
||||||
I/3 (100)/г Мі, = 3) |
должно получаться |
при |
связывании |
состояний |
|||||||||
\f(lOO)FML |
= S) |
и |
I P ( 0 0 0 ) S J W I . = |
0)I а поскольку |
последнее |
состоя |
|||||||
ние может |
содержать |
только бозонные состояния [3 — 3], |
[2 — 2], |
||||||||||
[1 — 1], |
[00], |
то |
ясно, |
что |
состояние |
\f3{\00)FML |
= 2>) |
может со |
|||||
держать |
только |
бозонные |
состояния |
[33 — 3], |
[32 — 2], |
[31 — 1], |
|||||||
[300]. Если теперь учесть взаимно однозначное соответствие |
между |
бозонными и фермионными состояниями, то получаем, что фермион-
ное состояние, |
соответствующее |
[100], должно |
содержать |
только |
||
состояния {43 — 4}, {42 — 3}, { 4 1 — 2 } , |
{ 4 0 — 1 } . Этого можно до |
|||||
биться, полагая |
^ = 0 |
в последнем уравнении из приведенной выше |
||||
системы; тогда |
сразу |
находим, |
что f = 0 |
и е = 0. |
С учетом |
норми |
ровки получаем |
окончательно |
|
|
|
|
|
|
Û = J / 3 1 5 / 7 6 1 , |
Ь = — 1/180/761 |
|
|||
|
с = - | Л 40/761, |
d=— |
1 "126/761. |
|
Эти коэффициенты определяют фермионное состояние, которое со ответствует бозонному состоянию .[100] F.
Возникает только одна неприятность, но она очень существен ная. Знаменатель 761 является простым числом. Что касается ^-электронов, это означает, что полученное разделение термов не естественно; оно, в частности, не соответствует разбиению прост ранства этих термов оператором е, который будет определен ниже.
Возможно, пространства других термов разделяются более ес тественным образом (см. задачу 6.1); однако рассмотренный при мер сдвоенных термов lF конфигурации g'3 уже показывает, что указанное направление исследований не может иметь большого успеха.
6.3. Классифицирующий оператор
Пытаясь найти оператор, разделяющий сдвоенные термы, есте ственно обратиться к_рассмотрению ситуации с /-электронами, где большой успех был достигнут с группой ~G2. При произвольных / ни какого аналога группы G2 не существует, так что мы, конечно, не можем надеяться автоматически перенести результаты, полученные при классификации /-электронов, на произвольные конфигурации. Однако можно по крайней мере попытаться построить такой опе ратор, который для /-электронов дает то же разделение повторяю щихся термов, что и группа G2. Этот оператор должен, конечно, принадлежать тождественному представлению (00) группы Gi.
Представление (00) встречается при приведении лишь немно гих представлений W группы Ri. Фактически, как показал Стоун [19], мы должны рассматривать при этом только представления вида W= (www). Другими словами, мы должны иметь дело с пред ставлениями (000), (111), (222) и т. д. Первое из них, представ-
Гл. 6. Построение состояний |
45 |
ление (ООО), можно сразу отбросить, поскольку оператор, принад
лежащий |
этому представлению, будет разделять термы, только |
если они |
принадлежат разным представлениям группы #7. Анало |
гичный оператор для более высоких / тоже ничего не дает в до
полнение |
классификации, использующей |
представления |
группы |
Rn+\. Что |
касается представлений (222), |
(333) и т. д., |
их надо |
рассматривать, только если мы хотим изучать суммы из трехчастичных, четырехчастичных и более сложных операторов. Из сооб ражений простоты мы будем работать, однако, самое большее с суммами двухэлектронных операторов. Поэтому у нас остается единственная возможность — использовать представление (111).
Оператор, имеющий симметрию WUL= |
(111) (00)0, есть |
||||
|
ef= 2 |
[ ( v i " • v j " ) - 2 Ы 3 ) |
• v f ) + ( v P - v f ) ] , . |
||
где vW |
— |
одноэлектронные тензорные операторы |
с редуцирован |
||
ными матричными |
элементами, равными (2&+1)'/ 2 ; |
эти операторы |
действуют только в орбитальном пространстве. Их можно также выразить через двойные тензорные операторы w( x W , введенные в за даче 4.1, так как
v l f t , = f 2 w w
и, следовательно,
(/|| v W|/)=(s/||w^)|| st).
Встает естественный вопрос. Можно ли процедуру построения
оператора е; обобщить на более |
высокие значения I, несмотря на |
то, что в этих случаях никакого |
аналога группы G2 не существует? |
Ключ к ответу заключен в наблюдении, что представление (111) |
содержит только одно 5-состояние при его приведении по группе
Re- Другими словами, нам не нужен индекс |
представления |
(00) |
|
группы Gi- Обобщением представления |
(111) |
в случае ^-электро |
|
нов будет представление (1111) группы |
Конечно, это не |
пред |
ставление (1110), поскольку наши базисные операторы v(fe> (при
нечетных |
к) принадлежат |
представлению |
(1100) |
и поскольку |
про |
||||
изведение |
(1100) X (1100) |
не содержит представления (1110). Для |
|||||||
случая /г-электронов мы должны рассматривать |
представление |
||||||||
(11110) группы Rn. |
Представления (1111) |
и (НПО) |
содержат по |
||||||
одному 5-состоянию |
при их приведении по группе Rz\ поэтому |
ана |
|||||||
логи eg и е/і оператора е/ можно построить |
совершенно однозначно |
||||||||
с точностью до мультипликативного множителя. В |
случае і-элек- |
||||||||
тронов представление (111100) группы Ra |
содержит уже два 5-со- |
||||||||
стояния |
и поэтому |
можно |
рассматривать |
два |
независимых |
опе |
|||
ратора ві |
и е'{. |
Не |
будем, |
однако, заниматься |
сейчас подробным |
||||
рассмотрением |
этой |
трудности. |
|
|
|
|