ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 116
Скачиваний: 0
46 Б. Джадд. Теория атомных спектров
Для того чтобы построить оператор eg, заметим, что синглеты
конфигурации g 2 |
принадлежат представлению (0000) |
или |
(2000) ; |
||
ни |
произведение |
(0000) X (0000), |
ни (2000) X (2000) |
не содержат |
|
при |
их приведении представления |
(1111), так что оператор |
eg мо |
||
жно найти, просто требуя, чтобы правая часть операторного вы ражения
|
ѵ |
= |
2 |
2 |
**(vift>-vj«) |
|
|
|
|
|
i > j |
k нечети |
|
|
|
при действии на синглеты конфигурации g2 давала |
нуль. Это усло |
||||||
вие дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
< - п * і ( ' |
l |
L U o |
|
|
|
к нечет» |
|
|
(ll/i) |
|
||
причем L = 0,2, |
21. Так мы получаем |
более чем достаточно урав |
|||||
нений для отыскания |
отношении |
коэффициентов |
с;(; фиксируя |
||||
определенным образом произвольную мультипликативную посто янную во всех коэффициентах сh, находим
г, = 11, с3= —14, с 5 = — 5, с 7 = 8 |
|||
для оператора ее. |
В случае |
оператора ей легко |
получить |
с , = 2 б , |
с 3 = — 2 4 , |
с5 == —15, с 7 = — 2 , |
с 9 = 1 5 . |
6.4. Свойства операторов е в пространствах |
конфигураций t1 |
||
Вот |
несколько замечательных свойств операторов е/, |
ее |
и в/,, |
|||
которые легко усмотреть непосредственно: |
|
|
|
|||
(1) |
суммы коэффициентов |
сh равны нулю для каждого |
из трех |
|||
|
операторов; |
|
|
|
|
|
(2) |
суммы коэффициентов |
с весовыми |
множителями |
(2& + 1) |
||
|
равны нулю для каждого оператора; |
|
|
|
||
(3) |
собственное значение каждого оператора для терма 3L |
кон |
||||
(4) |
фигурации /2 |
равно cL\ |
его собственное значение для терма |
|||
для каждого |
оператора |
|||||
|
3 L конфигурации I2 пропорционально |
собственному |
значе |
|||
нию оператора
(v!cf> • ѵП
за исключением терма при L = k.
Доказательство всех этих утверждений мы предоставляем читателю. Все они впечатляют; однако, пожалуй, самым замечатель
ным является все же утверждение |
(4).'Объединенное |
с утвержде |
||
нием (3), |
оно означает, |
например, |
что коэффициенты |
Си пропор |
циональны |
собственным |
значениям |
оператора Ь - Ь, за псключе- |
|
Гл. 6. Построение |
состояний |
47 |
нием коэффициента сь Поскольку собственные значения |
оператора |
|
11 - Іо даются выражением |
|
|
мы легко можем убедиться также, что соответствующие |
константы |
|
пропорциональности просто равны |
единицам для операторов eg |
|
иeh.
Вчем, однако, истинная причина наличия свойства (4)? Чтобы
ответить на этот вопрос, рассмотрим оператор
Ъ |
/ Y ( l l É ) Y ( l l f t ) M 2 2 0 ) |
|
ak |
Ѵ Л Л |
/ООО |
при нечетном k. Тензорный |
оператор |
Х< Ш > строится из пары тен |
зорных операторов a(tfs", каждый из которых, как легко показать,
принадлежит |
представлению (100.. .0) группы RSM. Оператор H/t |
||||
должен поэтому |
принадлежать |
представлению, |
содержащемуся |
||
в (10. ..О)4 . |
Из |
этих |
представлений только |
представления |
|
(НПО. ..0), |
(ПО. ..0) и |
(0.. .0) |
могут иметь ненулевые матричные |
||
элементы, как это следует из рассуждений в разд. 5.4. Мы можем
сразу исключить |
из рассмотрения |
представления (ПО. ..0) и |
|||
(0. ..0), поскольку эти представления |
не содержат |
составляющих, |
|||
имеющих спиновый или квазиспиновый ранг, равный 2 (см. табл. V). |
|||||
Разложение |
представления |
(11110. ..0) группы |
RSM приведено |
||
в табл. V. Необходимость иметь квазиспиновый ранг, равный 2, |
|||||
ограничивает |
нас, |
таким |
образом, |
представлениями (0. ..0), |
|
(110.. .0) и (11110.. .0) группы Spu+2- Далее при сужении этой группы
только представление (НПО. ..0) содержит составляющие со спи новыми рангами, равными 2. Действительно, поскольку представ ление (НПО. ..0) группы Sp4i+2 несут состояния конфигурации /4 с числом сеньорита ѵ, равным 4, мы сразу видим, что единственным
возможным представлением |
группы |
R21+1 будет |
(НПО. ..0). Дру |
|
гими словами, оператор Ek |
имеет в точности те же трансформаци |
|||
онные |
свойства в орбитальном пространстве, что и операторы eg |
|||
и eu. Поэтому мы можем заключить |
(для обоих |
операторов), что |
||
|
( ( Ь | е | ф ' > = х ; , <Ф|ЕЛ |Ф'>, |
|
||
где tu. не зависят от L , L ' , Мь и М'ь |
(которые неявно присутствуют |
|||
в -ф и |
однако они, вообще говоря, могут зависеть от спиновых |
|||
и квазиспиновых квантовых чисел. Это понятно, так как операторы eg и ей — это скаляры в спиновом пространстве, тогда как опера тор Eh имеет ранг 2. Указанный выбор ранга существен, если мы хотим в вышеприведенных рассуждениях получить оператор, пре образующийся по представлению (НПО. ..0) группы Rn+\-
Теперь мы в состоянии понять утверждение (4). Если мы рас смотрим разложение оператора ЕЙ В квазиспиновом пространстве,
48 |
Б. Джадд. Теория атомных спектров |
то получим (не выписывая коэффициентов Клебша—Гордана) вы ражение
Z'Y (llft)Y (UÄ)N(.20) |
I ( ' Y (U*) Y (Uft)\( . 20 ) |
I / Y ( U / ; ) Y ( l l / ; ) \ ( . 2 0 ) |
|||
Л _ і J.oo |
~ r ^ A 0 |
Л о |
).0i) |
- f - ^ Л — і Л і |
J.oo • |
Среднее слагаемое представляет собой двухэлектронный оператор, матричные элементы которого пропорциональны матричным эле ментам оператора
2 М*> • v f ) ;
I > j
при этом мы пренебрегаем возможными одноэлектроннымп опера торами, поскольку оператор H/t соответствует представлению (НПО. ..0) группы R&M- Первое н третье слагаемые в вышепри веденном выражении можно объединить (опять с точностью до одноэлектронных слагаемых, которыми можно пренебречь) и полу чить оператор
{(aV)( "° (aa)( "TJ 0 ) .
Для конфигурации I2 этот оператор имеет отличные от нуля мат ричные элементы только при 5 = 1, L = k; это и требовалось пока зать. Особенно поразительно то, что получаемое выражение для оператора Ek столь простое и что его вид одинаков при разных k. Последнее свойство является следствием того факта, что только
одно 5-состояние появляется в |
приведении |
представления |
( Н П О . . .0) группы Rn+i при / = 4 или |
5. |
|
В случае і-электронов можно, однако, ожидать, что оба опера тора ві и е'. потребуют введения двух разных операторов 5^ и
, для того чтобы выразить их матричные элементы. Конечно, удобно было бы положить, например, что
и тем самым использовать выражение для этого оператора из за дачи 6.6.
6.5. |
Другие операторы |
|||
Прежде чем покончить с рассмотрением |
оператора Ей, |
инте |
||
ресно кратко остановиться на аналогичного |
вида |
операторе |
|
|
0 F T = ( X ( L L F T ) X ( N F T ) ) ^ ° \ |
|
|
|
|
где k— нечетное число. Необходимость иметь |
квазиспиновый |
ранг |
||
2 снова заставляет нас рассматривать |
только |
представления, |
||
(0. ..0), (ПО.. .0) и (НПО. ..0) группы Spu+ï, однако теперь из-за того, что спиновый ранг равен нулю, имеются две возможности
Гл. 6. Построение состояний |
49 |
для выбора представлений группы У?2/+і- Действительно, мы можем взять представление (0.. .0) или (220.. .0) ; это единственные пред ставления, разрешенные правилами ветвления, которые содержат S-состояния при их приведении по группе Rz. В случае /-электро нов представление (220) содержит только одно 5-состояние. Один двухэлектронный скалярный оператор, имеющий в точности те же ранги, что оператор Ѳ;(, и принадлежащий представлению (220) группы Ri, был использован Рака [6]. В его обозначениях это опе ратор ез+Q. Таким образом, мы можем записать
е з + 2 ^ , 1 |
+ р Д Х ( , і и Х ( , , 1 ) ) ^ 0 ) = а з + Р з ( Х ( , 1 3 ) Х ( п 3 ) ) Г б ° о 0 ) |
= |
|
= а 5 |
+ Р з ( Х ( Ш > Х ( 1 І 5 ) ) ^ 0 ) ; |
|
|
здесь р — некоторые |
константы, а а — двухэлектронные |
скаляры |
|
как по ^7, так и по Rs. |
|
|
|
|
|
6.6. Случай конфигураций, |
|
|
|
содержащих более двух g*-электронов |
|
Теперь проведена |
вся предварительная работа, необходимая |
||
для исследования термов максимальной мультиплетности конфи
гурации lN при N>2. |
Рассмотрим |
здесь в качестве типичного |
при |
|||
мера |
случай |
1 = 4; конфигурации |
gN |
недавно исследовались |
в ра |
|
боте |
[20]. Подробное |
рассмотрение соответствующих свойств |
кон |
|||
фигураций hN |
провел Армстронг (см. разд. 7.1). |
|
||||
Как уже |
отмечалось в разд. |
6.2, |
имеется два терма 4 JF для |
|||
конфигурации g3 . Каждый терм сразу определяется, если известны соответствующие генеалогические коэффициенты; поэтому мы дол жны построить генеалогические коэффициенты для обоих термов, являющихся собственными функциями оператора eg. При этом мы не встречаем принципиальных трудностей и поступаем обычным образом. Надо выбрать сначала родительский терм конфигурации gz, а затем воспользоваться формулой (9), чтобы получить набор
генеалогических коэффициентов (Ѳ{|0). Затем надо выбрать дру гой родительский терм и все повторить сначала. При 5 = 3 / з , L = 3 вторая система значений генеалогических коэффициентов не про порциональна первой. Поэтому можно составить линейную комби нацию из первой и второй системы значений и построить систему значений, ортогональную первой. Построенные таким образом две системы значений генеалогических коэффициентов дают два орто гональных терма 4 F, которые можно использовать при днагонализации оператора ед. Получив два терма AF, являющихся собствен ными функциями оператора eg, мы можем очень легко определить их генеалогию. При этом получается удивительный результат. Ока зывается, что один терм 4 F пропорционален состоянию
і а + | / 3 Р > Г 3 ) ,
4 Зак. № 279
50 |
Б. Джадд. |
Теория атомных |
спектров |
т. |
е. он соответствует не |
суперпозиции |
родительских термов, как |
мы могли бы ожидать, а просто чистому родительскому терму 3Р.
Другой терм lF |
(который будем |
обозначать как 'lF') ортогонален |
|||||||
терму iF, и поэтому должно |
выполняться |
соотношение |
|
||||||
как это было показано в разд. 3.5. |
eg |
|
|
|
|
||||
Собственные |
значения оператора |
(которые |
обозначаются |
||||||
(eg)) |
приведены |
в табл. V I ; рассматриваются |
термы |
максималь |
|||||
ной |
мультиплетности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
VI |
|
|
|
Собственные |
значения |
оператора |
eg |
|
|
||
|
g* |
|
g3 |
|
|
g1 |
|
|
|
|
терм |
< Ѵ |
терм |
< V |
|
|
терм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
зр |
11 |
4Р |
—29 |
|
|
55 |
—18 |
|
|
3f |
—14 |
*F |
11 |
|
|
SD |
—33 |
|
|
|
—5 |
4F'» |
—24 |
|
|
5£)i |
15 |
|
|
|
8 |
ю |
—9 |
|
|
5F |
—9 |
|
|
|
|
4tf |
11 |
|
|
5G |
2 |
|
|
|
|
4/ |
—9 |
|
|
5(7» |
—29 |
|
|
|
|
|
_ 2 |
|
|
5tf |
—9 |
|
|
|
|
m |
15 |
|
|
5/ |
—9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5/' |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5K |
—9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5Z. |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
57V |
15 |
|
|
Появляются и другие сюрпризы, когда мы переходим к рассмот |
||||||||
рению термов конфигурации |
g4 . Термы 5D, 5 G |
и 5І |
наблюдаются |
||||||
по два раза. При этом, конструируя собственные функции опера тора, ее, легко найти, что один из каждой пары термов имеет чис тый родительский терм, т. е.
l s 4 V > = h { a V «ЛОГ-
Причина появления столь необычно простых выражений неясна. Единственно, что можно сказать, это что во всех случаях
