ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 117
Скачиваний: 0
Гл. 6. Построение состояний |
55- |
взять их между состоянием 4 G и любым другим квартетным |
состоя |
нием конфигурации g3. Из приведенного соотношения имеем, далее,.
{[*,. a i к 2 З Р > г ^ О ; где L — нечетное. Поскольку, кроме того,
|
es\g23P) |
= |
U\g2SP), |
|
то имеем окончательно |
|
|
|
|
при L нечетном. |
|
|
|
|
Таким образом, |
получаем, |
что |
любое |
состояние конфигурации |
g3 с нечетным L , |
которое имеет |
своим |
родительским термом 3 Р, |
|
должно быть собственной функцией оператора eg с собственным
значением 11. Этим объясняется: |
(а) |
что один |
из двух термов 4 F |
|||
должен иметь своим чистым родительским термом |
терм 3 Р |
(как |
||||
это было показано в |
разд. 6.6) |
и |
(б) что число |
11 появляется |
||
в та,блѴ V I три раза. |
Поскольку |
сі = 26 для |
/і-электронов |
(см. |
||
разд. 6.3), мы заключаем, что собственные значения оператора вн для обоих состояний
при L = 4, 6 равны 26. Это согласуется и с результатом неопублико ванной работы Армстронга (см. разд. 7.1).
6.11. Повторения собственных значений для конфигурации g4
Можно также показать, что при нечетных L имеем равенство
((1110)ß + ( 1 1 1 0 ) O | ( l l l l ) Z . ) = 0 ;
оно следует из того, что представление (1111) встречается в сим
метрической части |
разложения |
произведения |
(1110) X (1 ПО), |
|
тогда как представление DL (при |
нечетном L) |
встречается в анти |
||
симметрической части |
произведения D^xDi |
[21]. |
Следовательно, |
|
при нечетном L имеем |
равенство |
|
|
|
\[et, а Ч | ^ О > Г > = 0 ,
и поскольку
легко прийти к результату
^ { а Ѵ 4 о » ( 2 і ) = - 9 И / " о > Г > ,
где L — нечетное. Другими словами, любой терм конфигурации g'k (при нечетном L), который имеет родительским термом 4 G, будет
56 Б. Джадд. Теория атомных спектров
собственной функцией оператора eg с собственным значением —9.
Термы bF, 5 Я |
и 5К конфигураций |
g 4 встречаются в ней по одному |
|
разу, и поэтому для всех них должен быть возможным |
выбор ро |
||
дительского |
терма 4С7. Поэтому |
собственное значение |
(е») =—9 |
встречается |
четыре раза в табл. V I , хотя довольно странно, что не |
||
все шесть раз.
Таким образом, остается объяснить, почему число —9 не по является в табл. V I еще два раза, а также объяснить повторение числа 15. Однако никакого разумного объяснения этим фактам автору до настоящего времени найти не удалось, так что эта проб лема пока что не разрешена (см. задачу 6.11). Как это видно из не опубликованной работы Армстронга, аналогичные повторения собст
венных значений наблюдаются в |
случае А-электронов (см. |
разд. 7.1). |
|
6.12. |
Другие мультиплетности |
До сих пор мы занимались состояниями максимальной мульти плетности. При использовании схемы связи Шудемана для класси фикации состояний атомной оболочки такое ограничение несущест венно. Однако теперь, когда дано определение операторов eg и віх и им подобных, естественно спросить, ведет ли использование про
цедуры их диагонализации к однозначной классификации |
также |
|||||
и состояний, |
не обладающих |
максимальной |
мультиплетностью. |
|||
Например, имеются два терма 2D |
для конфигурации g3. |
Могут |
ли |
|||
собственные |
значения оператора |
eg различить |
их или |
же |
они |
на |
них вырождены? Можно ожидать, что вырожденные собственные значения будут встречаться крайне редко, но вместе с тем следует
сказать, |
что оператор |
имеет |
вырожденные |
собственные значе |
ния для термов, принадлежащих |
одному и тому же представлению |
|||
U группы Go, причем |
повторяющиеся значения |
L встречаются при |
||
£ /=(31) |
н У = ( 4 0 ) . |
|
|
|
Самый очевидный путь исследования этого вопроса — составить таблицы генеалогических коэффициентов для термов немаксималь ной мультиплетности. Однако эти таблицы очень скоро становятся
чрезвычайно громоздкими. |
Поэтому |
лучший |
путь — и созвучный |
с нашими рассуждениями |
здесь — это |
подход |
Шудемана, при ко |
тором состояния оболочки классифицируются путем связывания орбитальных моментов пространств А я В, определенных в разд. 6.1. Собственные значения (eg) из табл. V I будут появляться, конечно. Отбрасывая их, мы найдем собственные значения, возникающие непосредственно для состояний немаксимальной мультиплетности.
Рассмотрим, например, состояния конфигурации g3 , для кото рых Ms = 4z- Для них каждый оператор
Гл. |
6. Построение |
состояний |
57 |
имеющийся в выражении |
для eg, надо разбить на два, действую |
||
щие в пространствах А и В соответственно. Это можно |
сделать, |
||
используя соотношения |
|
|
|
2 ( v r v f , ) = 2 w t > - a f ) ) - h A w . B ( s i , |
|
||
1> ] |
I>і |
|
|
в которых А№ и В('1> обозначают суммы одноэлектронных |
операто |
||
ров a<k) и Ы'1і; для них справедливы |
представления |
|
|
здесь суммирование ведется по проекциям іщ и ?7г;'. В вышеприве
денном соотношении нет членов с (W^-Ы^), |
так как в нашем слу |
чае имеется всего один электрон в ß-пространстве. Для расчета матричных элементов оператора (A<fe'-BW) можно использовать стандартную технику тензорных операторов:
(g3(LAXG)L\(AU!) |
• В ( * , ) | Л ^ Х О ) ^ > = 2 [ А ] |
X |
причем k— нечетное. |
Оператор |
2 j ( a ( f ) - a ^ } ) диагоналей, и его |
|
собственные значения |
равны |
|
і>І |
|
|
||
SU.-ь LA)(g-LA\ |
2 |
( ѵ і ^ - ѵ Л І в ^ . |
|
і > j
Конкретизируем теперь наше рассмотрение и возьмем L = l. Кван товые числа Ь А И L ' A могут иметь только два значения, а именно 3 и 5, так что имеется два терма Р для конфигурации g3. Один из них, как мы знаем, это терм !іР; поэтому второй терм должен быть термом 2Р. Матрицу оператора eg легко построить, проводя сум мирование по k в вышеприведенных соотношениях (с соответст вующими весовыми множителями, подбираемыми по виду опера тора eg). Оказывается, что эта матрица имеет следующий вид:
|
F |
|
|
H |
F /' — 14 |
|
(70/9) |
-(5/9)(182)v A |
|
H Ѵ- |
(5/9)(182)'/ г |
- 5 - ( 1 4 6 / 9 ) ) ' |
||
|
— |
|
||
.58 |
Б. Джадд. |
Теория |
атомных спектров |
|
|
|
|
|||
Собственные значения приведенной матрицы равны |
|
29 и |
|
14. |
||||||
Очевидно, что второе собственное значение надо сопоставить |
терму |
|||||||||
2Р. |
Таким образом, мы доказали, что |
|
|
— |
|
— |
|
|||
|
<g3 2P\es\g3 |
2 Я> = |
- 1 4 . |
|
|
|
|
|
||
|
При рассмотрении несколько более сложного случая L = 2 полу |
|||||||||
чается матрица вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
! - 1 4 - 7 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
[ |
0 |
- 5 - 5 / 2 ; |
|
|
|
|
|
|
Собственные значения |
этой |
матрицы |
равны |
21 и |
15/2, |
и по |
||||
скольку нет терма 4£) для конфигурации g'3, то оба этих собствен |
||||||||
ных значения должны соответствовать термам |
—ZD. То, |
—что мы |
полу |
|||||
чили различные |
собственные |
значения, свидетельствует |
о том, что |
|||||
с помощью оператора |
eg действительно |
можно разделить |
оба |
|||||
рассматриваемых |
терма |
2D. |
Довольно |
любопытен |
факт |
обра |
||
щения в нуль недиагональных матричных |
элементов |
приведенной |
||||||
матрицы. Он означает, |
что |
шудемановские |
состояния |
являются |
||||
собственными состояниями оператора eg. Для того чтобы увидеть это более непосредственно, рассмотрим шудемановское состояние \(FxG)D). Рассмотрим далее составляющую оператора eg,
которая содержит электроны і и /. Если это именно те электроны, которые связываются в терм F, то состояние \(FxG)D) будет собственным состоянием оператора е^К Если, однако, один из этих
операторов |
соответствует |
F, |
а другой — G, |
то надо проводить |
||
пересвязывание: |
|
|
|
|
|
|
I Kgkgi) F, |
gjI D> = 2 ([4(44) L] 2 I [(44) 3, 4] 2) | [gk |
(gigj) |
L]D>. |
|||
|
L |
|
|
|
|
|
Когда L четное, оператор |
é>J~> при действии |
на |
правое |
состояние |
||
|
|
а |
|
только L = 3 и Ь = Ъ. |
||
дает нуль, так что мы должны |
рассматривать |
|||||
В последнем случае коэффициент пересвязывания случайно обра щается в нуль, так как
4 |
4 |
5 ) = 0 |
4 |
2 |
3 ] |
•Следовательно, единственное правое состояние, которое нужно
рассматривать, — это |
состояние |
| (GXF)D); |
оно пропорционально |
||||||
с точностью до перестановки электронов |
первоначальному |
состоя |
|||||||
нию. Представляя |
себе процедуру |
антисимметризации |
состояния |
||||||
I (FxG)D), |
легко |
усмотреть, что |
это состояние |
должно |
быть соб |
||||
ственным |
состоянием |
оператора |
eg, |
как |
это и |
показывает |
выше |
||
приведенная матрица. |
Интересно |
отметить, что |
обращение |
в нуль |
|||||
Гл. 6. Построение состояний |
59 |
||
рассматриваемого 6/-символа, |
согласно симметрии Редже, |
связано |
|
с обращением в нуль 6/-символа |
|
|
|
5 |
3 |
51 |
|
3 |
3 |
з г |
|
которое ответственно за то, что для f-оболочки действительно су ществует группа Gn (см. разд. 5.3).
6.13. Заключительные замечания
Основное внимание в этих лекциях до сих пор уделялось проб леме построения состояний. Это, казалось бы, далеко отстоит от
той проблемы, которая упоминалась в разд. 1.1 |
(относительно вы |
||||||
рождения |
энергий |
термов 2Р |
и 2 Я |
для конфигурации d3). Однако, |
|||
поскольку |
наша |
основная |
идея — это |
обобщение |
существующей |
||
теории атомных оболочек на более |
высокие значения |
/, вопрос о по |
|||||
строении |
состояний оказывается самым |
важным для нас. Таблицы |
|||||
генеалогических |
коэффициентов — это |
таблицы |
редуцированных |
||||
матричных элементов оператора af , |
и, конечно, |
более благо |
|||||
разумно начинать |
с рассмотрения |
этих |
таблиц, |
а |
не непосредст |
||
венно с рассмотрения матричных элементов операторов кулоновского взаимодействия, которые являются произведениями двух операторов уничтожения и двух операторов рождения.
Обобщение наших рассуждений на случай /г-электронов не давно было осуществлено Армстронгом (см. разд. 7.1), и его пред варительные результаты показывают, что при этом возникает ряд совершенно новых моментов. Что касается і-электронов, то здесь фактически ничего не известно, кроме таблицы термов, построен ной Шудеманом [16].
Большинство приводимых ниже задач, помеченных звездочками, показывают границы, до которых дошло наше исследование. Мы надеемся, что пройдет не слишком много времени и хотя бы неко торые из них будут решены.
|
|
|
|
|
Задачи |
6.1 * П о с т р о и т ь |
состояние |
6/ |
конфигурации g5, которое соот |
||
ветствует бозонному |
описанию |
| d5 |
(30) /), и посмотреть, |
будет ли |
|
оно собственной функцией оператора |
ед. |
6/-символа |
|||
6.2 *. Показать, что случайное |
обращение в нуль |
||||
|
{ 2 |
2 |
|
2 } |
|
|
13/2 3/2 3/2 ) |
|
|||
" Звездочка означает, что решение задачи не известно автору; см. замечания автора в конце первой части.
