ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 0
70 |
Б. Джадд. Теория атомных спектров |
||
составляется |
из собственных |
значений |
операторов Вейля Я, (см. |
разд. 5.1), для которых (для |
групп |
имеем выражения |
|
где q = ly I — 1 , ..., 1. (Множитель 1/г требуется вводить для того, чтобы получать правильной длины отдельные весовые векторы.) Правда, здесь возникает трудность: никакие из обычных состоя
ний конфигураций Ік |
(например, детерминанты) |
не будут, вообще |
|||||
говоря, собственными |
состояниями операторов Я;_ч + і. |
Необходимо |
|||||
поэтому несколько подробнее остановиться |
на этом |
моменте. |
|||||
|
|
|
7.5. |
Вакуум |
квазичастиц |
||
Каждый |
оператор |
Ѳ«, |
содержит как оператор |
уничтожения, так |
|||
и оператор рождения. Как отмечалось выше, индексы |
ms при этих |
||||||
операторах |
не переходят |
сами в себя при обращении времени. |
|||||
Это ведет к неприятному |
последствию: оператор |
|
не |
антикомму- |
|||
тирует с оператором Ѳ^ т , так что мы можем говорить о фермнонных операторах рождения, только если мы исключим некоторые операторы из рассмотрения; например, возьмем / операторов Ѳ+
при тп = 1, 2, |
..., /. Мы |
можем |
также рассмотреть |
операторы |
(при |
||||||
? > 0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѳ?=і/ѵ'2[ѳ+ |
e j ] , |
|
|
|
|
||
где Ѳ = Л , |
M, N, E |
для |
Q = k, |
| i , |
v, g соответственно. Во второй воз |
||||||
можности |
имеется |
ряд |
преимуществ. Операторы |
Ѳ* |
(при |
д > 0 ) |
|||||
ведут себя как фермионные операторы рождения |
(хотя они и стро |
||||||||||
ятся из пар |
операторов Ѳ + ) . В отличие от-операторов |
Ѳ^, |
однако, |
||||||||
эти операторы сохраняют число N четным |
(или нечетным) |
для лю |
|||||||||
бого состояния конфигурации |
lN, |
на которое они действуют. Более |
|||||||||
важно, однако, то, что эти операторы можно выразить в виде ли
нейных комбинаций генераторов группы |
: |
|
||||
|
Ѳ + = ± ] / 2 ~ |
2 |
(lOlq |
•Ukq){b4)lï\ |
|
|
|
|
|
It нечетн |
|
|
|
причем в этой |
формуле |
положительный знак берется при Q = K, ѵ |
||||
и отрицательный — при |
Ѳ = ц., |
%. Таким |
образом, |
рассматривае |
||
мые операторы |
не могут |
связывать состояния, принадлежащие |
||||
различным неприводимым |
представлениям |
группы |
R % + r |
|||
Гл. 7. Квазичастичная схема |
71 |
В спин-вверх-пространстве мы имеем Ѳ = Х или д.. В каждом из этих случаев можно построить свой вакуум для системы квазичас тиц, порождаемых операторами ѲТ, :
| 0 + > = П |
atUm\0), |
m |
О |
|оѴ>= П 4„„m|o>.
|
|
|
|
m < О |
|
|
|
|
|
Легко |
увидеть, |
что |
квазичастичные |
операторы уничтожения |
Ѳч |
||||
(при |
9 > 0 ) при действии на |
каждый |
из этих |
вакуумов |
дают |
нули, |
|||
как и должно быть. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Фермионные |
операторы |
Ѳ,) (при |
q>0), |
которых |
всего |
/, |
мо |
||
жно объединить |
в 2' |
существенно различных |
произведений |
|
|
||||
e j - ö j , . . . Ѳ+-;
эти произведения порождают 2' состояний, принадлежащих одному и тому же неприводимому представлению группы R$ . Если в ка честве вакуума берется состояние |Ѳ+), то четность N совпадает с четностью /; для | 0' ) эти четности противоположны. Составляя повторные коммутаторы
видим, что оператором |
# г - д + і |
можно непосредственно |
подейство |
|||||||||||
вать на |
вакуум |
и его действие |
при |
этом сводится |
к |
умножению |
||||||||
вакуума на собственное значение — '/г- |
Если |
при |
проведении по |
|||||||||||
следовательных |
коммутаций |
нам |
нужно |
переставить |
оператор |
|||||||||
Я;_д + і с оператором |
Ѳ ^ . причем q' = q, |
то |
к |
собственному |
значе |
|||||||||
нию — '/г надо |
добавить |
+ 1 и получим |
|
в |
результате |
+ '/г- |
Таким |
|||||||
образом, |
состояния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѳ£ѳ£.. .ѳ+»|о+> |
|
|
|
|
|
|
||||
(или же |
такие |
же |
состояния |
с заменой |
|0+) |
на |
|0+)) |
являются |
||||||
собственными состояниями операторов |
|
Hi-Q+l. |
Так как |
q |
прини |
|||||||||
мают значения |
от 1 до |
/, то получаем |
наборы |
собственных |
значе |
|||||||||
ний ± Ѵ г , ±7г, |
..., ± Ѵ г . Максимальный |
из этих весов, который ну |
||||||||||||
мерует само представление, будет |
(Ѵ2Ѵ2 |
••• |
Ѵг). Так |
мы приходим |
||||||||||
к пониманию необходимости введения полуцелых представлений, которые мы чисто интуитивно использовали в рассуждениях разд. 7.3.
72 Б. Джадд. Теория атомных спектров
7.6. Собственные значения операторов е и еи
Нет необходимости развивать здесь подробную теорию ква
зичастиц. О проблемах, которые может решать эта теория, |
можно |
|||
составить достаточно полное представление, рассматривая |
форму |
|||
лировки задач, помещенных в конце этой главы. Вместе |
с тем, |
|||
как нам кажется, |
вопрос |
о собственных значениях операторов е3 |
||
и eh заслуживает |
особого |
внимания, |
ибо путем рассмотрения этих |
|
операторов и удалось прийти к теории |
квазнчастиц. |
|
||
Сначала напомним из разд. 6.3, что операторы е8 и ек принад лежат представлениям (1111) группы R» и (НПО) группы Ru соответственно. Мы можем построить операторы с этой симмет рией, если будем исходить из операторов Ь, определяемых фор мулами
10 = {/(/+1)(2/+1)/12}'/ г (0"! -0)( , ) . |
|
|
||
В точности так же, как можно показать, что тензорные |
опера |
|||
торы vW при нечетных k принадлежат |
представлению |
(110 |
...0) |
|
группы Rii+i (см. разд. 6.3), |
можно установить, что операторы IG |
|||
принадлежат представлению |
(ПО .. . |
0) группы Re2l+i- |
Оператор |
|
I 2 должен преобразовываться, таким |
образом, по тем |
неприводи |
||
мым представлениям W, которые содержатся в квадрате |
(ПО...О)2 |
|||
и которые сами содержат скаляры группы R3- Вместе с тем надо |
||||
отбросить все те представления W, которые не появляются в квад |
||||
рате (ѴгѴг-•-Ѵг)2, поскольку |
неинтересно рассматривать |
операторы |
||
с нулевыми матричными элементами. Таким образом, остаются только две возможности для выбора W: представления (00.. .0) и (11110. ..0). Причем первый выбор связан с тривиальным добав
лением |
произвольной |
постоянной. Так что с точностью до этой по |
|
стоянной оператор I 2 |
преобразуется по представлению (11110...0) |
||
группы |
• Кроме |
того, оператор является также скаляром по |
|
отношению к каждой группе Re,'l+i при Ѳ'^Ѳ . |
|||
Составляя произведение |
представлении |
||
|
(НПО . . . 0)Х(00 |
. . . 0)Х(00 . . . 0)Х(00 . . . 0), |
|
мы находим представление (11110...0), которое показывает (если не обращать внимание на аддитивную постоянную), как оператор J2 преобразуется по отношению к группе R21+1 из разд. 6. В преде лах пространства каждого представления W группы /?2/+і, для ко торого произведение W'xW содержит представление (11110...0) один раз, мы можем, таким образом, использовать соотношение эквивалентности
ГА. 7. Квазичастичная |
схема |
73 |
где Ѳ = А, u., V , g; Af и 5^ — константы, |
определяющие вид |
матрич |
ных элементов оператора в/.
Дальнейшие результаты можно конкретизировать, если ограни
читься рассмотрением спин-вверх-пространства |
(пространство А). |
|||
Как в этом легко убедиться непосредственно, |
|
|
||
( b - U / = f / ( ^ + l ) ( 2 H - l ) / 1 2 ) ' / ï [ ( a V ) 1 |
( ' 1 ) |
+ ( a a ) ^ ] . |
|
|
Таким образом, оператор (Ь, • І^)2 связывает |
термы при |
A J V = ± 4 |
||
(соответствующую составляющую |
полного |
оператора обозначим |
||
как t ( ± 4 ) ) и, кроме того, термы— |
при ДУѴ = 0 с помощью |
оператор |
||
ной составляющей
|/(/+1)(2/+1)/12)2(-1)П(аѴ)^Чаа)і!^ +(аа)і!^(аѴ)ІУ>];
ч
первое слагаемое в этой составляющей уничтожает компоненту терма 3Р конфигурации /2 , а затем порождает эту компоненту (обо значим это операторное слагаемое как t(3P)); второе слагаемое можно преобразовать к виду первого, пронося операторы рожде ния налево; при этом возникает (отдельным слагаемым) оператор
1 I J (1+1) ( 2 / + 1 ) - / ( / + 1 ) 2 <та>/.m = 'У (/+1 ) ( 2 / + 1 - |
2УѴ). |
m |
|
Собирая вместе все составляющие, получаем |
|
(к - 1 , 0 2 = ХЫ (1+Щ21+1 - 2 Л 0 + 2 ; ( 3 / > Ж ( ± 4 ) ; |
|
следовательно, |
|
1 ? + ^ = , / 2 0 х + У 2 + 1 /2(1х - 1 ,) 2 = , / 2 іл+ , У ( ^ + 1 ) ( 2 / + 1 - 2 І Ѵ) |
+ |
+ ^(3^)-!-,У(±4)=2 (h • 1 ;)+'У (/+1)(2/+1) + |
|
+ *(з/э) + і / 2 / ( ± 4 ) . |
|
Как было уже показано в разд. 6.4, операторы eg и e/t являются такими двухчастичными операторами, матричные элементы кото рых для триплетов конфигурации /2 совпадают с матричными эле ментами оператора ( І і - Ь ) , кроме терма 3Р. Это означает, что в спин-вверх-пространстве мы можем положить
*/=2(Ь •!<)+ ''(П
где t' (3Р) фактически совпадает с t(3P). Используя выведенную выше формулу, получим теперь, что
e[^\l+\l-4il(l+l)(2l+l)+t'(3P)-t{3P)-42t(±4).
