Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

86 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

приведенным в тексте; он составил обширные таблицы, которые

в книге, проводить самостоятельно необходимые расчеты. В со­ ставлении таблиц большую помощь оказали сотрудники Вычис­ лительного центра Кентерберинского университета.

Текст книги базируется в основном на материалах курса лек­ ций, которые автор читал в Орсэ в начале 1968 г. в Лаборатории Эме Коттон Национального центра научных исследований Фран­ ции, а также несколько позже в АН Литовской ССР в Вильнюсе. Автору хотелось бы поблагодарить всех тех, кто посещал и слушал его лекции и чьи замечания невольно оказали влияние на харак­ тер изложения отдельных вопросов Е книге. Большую роль при

1

ВВЕДЕНИЕ

Исследование и интерпретация атомных и ядерных спектров по существу обусловлены успехами, достигнутыми в теории сложных спектров. В свою очередь заметные успехи в формулировке совре­ менной теории сложных спектров базируются на основополагаю­ щей идее Рака [1, 2] об использовании свойств симметрии атомных волновых функций путем применения классической теории непре­ рывных групп, развитой Ли [3], Картаном [4], Вейлем [5, б] и др. Дальнейшее развитие теории сложных спектров [7—9] связано с широким использованием теории Юнга группы перестановок [10, 11] и предложенных Литтлвудом [12, 13] усовершенствований тео­ рии функций Шура [14] (или 5-функций); в этих исследованиях особенно ясно подчеркнута связь, существующая между симметри­ ческой группой и непрерывными группами. Прекрасный обзор всех этих работ по развитию теории сложных спектров недавно со­ ставил Джадд [15].

Математические исследования, проводимые последние тридцать лет, позволили чрезвычайно упростить классическую теорию групп. К сожалению, большинство результатов этих исследований оста­ лось практически вне поля зрения физиков-теоретиков, что, ко­ нечно, отрицательно сказалось на приложении принципов симмет­ рии к решению конкретных физических преблем.

Цель настоящей книги — проиллюстрировать возможные прило­ жения результатов современных математических исследований по теории групп к проблемам атомной спектроскопии. При этом не делается никаких попыток дать математически строгое и исчерпы­ вающее изложение результатов упомянутых математических ис­ следований; вместо этого автор стремился четко сформулировать (без доказательства) те теоремы, которые незнакомы большинству исследователей, занимающихся проблемами атомной спектроско­ пии, а также проиллюстрировать конкретное применение этих тео­ рем к актуальным проблемам. Автор ограничился обсуждением следующих трех центральных проблем теории атомных спектров:

1) построение симметрийной классификации состояний много­ электронных атомных конфигураций;

2)анализ и классификация многоэлектронных операторов, воз­ никающих при применении теории возмущений к атомным пробле­ мам;

3)использование правил отбора при расчетах матричных эле­ ментов операторов взаимодействий.

Предполагается, что читатель уже знаком с элементами теории непрерывных групп и алгеброй неприводимых тензорных опера­ торов в объеме, например, книги Джадда [15]; поэтому мы сразу начинаем с краткого изложения некоторых важнейших положений теории симметрической группы и сжатой формулировки основных свойств групповых характеров. После этого излагаются резуль­ таты, полученные Литтлвудом в теории симметрической группы и непрерывных групп с использованием аппарата S-функцнй Шура, с особым акцентом на алгебру плетизмов. Наконец, все это приме­ няется к решению ряда практических проблем в теории атомных спектров.

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА S„

2.1. Перестановки

Перестановки п символов а\, ..., ап образуют группу, называе­ мую симметрической группой, которая содержит п\ элементов и которую мы будем обозначать Sn. Любая перестановка может быть представлена в виде

'1 2 .. . . а h а2 . . . а„

где ai, ... , се,, обозначают числа 1, 2, . .., п, взятые в некотором определенном порядке; например, можно рассмотреть переста-

новку

1 2 3

3 1 2

для которой 1-*-3, 2->-1, 3—>-2. Произведение ST двух перестано­ вок S и Т определяется как перестановка, которая получается при действии сначала перестановки T, а затем перестановки S, т. е. при действии сначала правой, а потом левой перестановки; напри­ мер, имеем произведения

Как видно из этих двух примеров, произведение перестановок,, вообще говоря, некоммутативно.

2.2. Циклы

Перестановки можно разлагать на циклы; так, например, пе­ рестановку

'1 2 3 4 5 6 7 8х ч 2 3 1 5 4 7 6 8у

можно рассматривать как произведение четырех замкнутых цик­ лов, т. е. как произведение

(1 2 3) (4 5) (6 7) (8);

•90 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

эти циклы не имеют общих элементов, и, как легко видеть, пред­ ставляемые ими перестановки коммутируют друг с другом. По­ этому совершенно не важен порядок, в котором мы выписываем от­ дельные циклы.

Цикл, состоящий из двух символов, называется транспозицией. Всякий цикл можно записать в виде произведения некоторого числа транспозиций, имеющих общие элементы; так, например, (12 3) = = (13) (12). Любой цикл из п символов можно записать в виде

(1 2 3) (4 5 6) четная. Все четные перестановки порядка п сами об­ разуют группу, называемую знакопеременной группой Ап; эта группа содержит п!/2 элементов; она, очевидно, является подгруп­ пой группы Sn-

2.4. Регулярные перестановки

Регулярными перестановками называются такие перестановки, которые не оставляют на месте ни одного символа (в их число, однако, включается также и тождественная перестановка) и кото­ рые образуют некоторую подгруппу, так называемую регулярную подгруппу группы Sn. При разложении на циклы, не содержащие

.общих символов, каждая регулярная перестановка представляется циклами одинаковой длины, т. е. в ее разложении все циклы со­ стоят из одинакового числа символов. Всего в группе Sn имеется п возможных регулярных перестановок, и они образуют подгруппу группы Sn порядка п. Поскольку любую регулярную перестановку можно разложить на циклы одинаковой длины, то регулярная под­ группа будет циклической, если п — простое число.

2.5. Теорема Кэли

Мы не будем останавливаться на детальном исследовании под­ групп группы Sn, хотя это исключительно важное дело для теории конечных групп, поскольку Кэли доказал теорему, утверждающую, что «любая группа G конечного порядка п обязательно изоморфна

.некоторой подгруппе симметрической группы Sn» [16].

2.6. Классы

Две перестановки а и ß из симметрической группы S„ считаются принадлежащими одному и тому же классу, если можно найти та­ кую перестановку у в Sn, что

Элемент ß называют сопряженным элементу а. Сопряженные друг другу перестановки имеют одну и ту же циклическую структуру, так что перестановки некоторого данного класса либо все четные, либо все нечетные. Далее, каждый класс содержит также и об­

символы при данной перестановке остаются на месте; например, пишут

При этом важно, конечно, всегда помнить, чему равен порядок данной перестановки.

Вгруппе 5д имеются следующие пять классов:

1)е;

группу четвертого порядка, являющуюся регулярной подгруппой группы Slt.

Структуру циклического разбиения перестановки можно характе­ ризовать, таким образом, символом (Г'2 Ѵ ! . . . или кратко символом (ѵ). Все перестановки группы Sn, обладающие одинако-

92 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

вой циклической структурой, образуют некоторый класс сопря­ женных элементов в Sn.

Таким образом, каждое решение в положительных целых чис­

соответствующую циклическую структуру перестановки, если вос­ пользоваться соотношениями

ѵ„ = лп

2.8. Число перестановок в классе

Символ (ѵ) данного класса группы показывает, что его пере­ становки содержат по ѴІ циклов, составленных из одного символа,