ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
Гл. 2. Симметрическая |
группа S„ |
93 |
по ѵз циклов, составленных из двух |
символов, и т. д. Мы |
можем |
распределить п символов по циклам всего п\ способами. При этом, однако, будут обязательно встречаться повторения; например, если числа 1 и 2 попадут в циклы, содержащие по одному символу, то не будет никакого различия между (1)(2) и (2)(1). Всего лч цик лов, составленных из одного символа, можно переставить vi! спо собами. Поэтому любая перестановка будет повторяться при опи
санной перестановке |
чисел |
1, |
2, ..., п |
по |
заданным |
циклам |
||
ѵИ, ѵг!, ..., ѵп! раз. Кроме |
того, надо учесть, что циклы, составлен |
|||||||
ные из двух и более |
символов, такие, как |
(12), |
могут появляться и |
|||||
в другом виде, |
как, |
например, |
(2 1); циклы, составленные |
из |
трех |
|||
символов, как |
(12 3), могут |
появляться, |
как |
(2 3 1) или |
(3 |
12), |
||
и т. д. |
Таким образом, каждая данная перестановка будет повто |
||||||||
ряться |
дополнительно 1Ѵ>2Ѵ=... пѵп |
раз. Следовательно, |
число |
раз |
|||||
личных |
перестановок группы Sn, |
имеющих одну и ту же цикличе |
|||||||
скую структуру (ѵ), |
равно |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ф ) |
|
л! |
|
|
(5) |
|
|
|
|
ѵ І | Г , ѵ 2 ! 2 Ѵ г . . . ѵ„! ri' |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2.9. |
Пример группы |
S± |
|
Прежде всего найдем количество разбиений числа 4 на целые |
|||||||||
числа |
%\, Я2, |
Я3, Я4, |
удовлетворяющие условию (3). Как |
легко ви |
|||||
деть, |
имеется |
всего |
пять таких |
разбиений: |
[4], [31], |
[22 ], |
[212 ], |
||
[ I 4 ] , |
поэтому группа |
S4 имеет пять классов. |
|
|
|
||||
Найдем соответствующие циклические структуры перестановок каждого класса, воспользовавшись соотношениями (4); например, для разбиения [3 1] Яі=3, Я 2 = 1 и, согласно (4), ѵі = 2, ѵ 2 = 1 ; сле довательно, получается циклическая структура (12 2J ). Число эле ментов в каждом рассматриваемом классе группы S/, можно опре делить по формуле (5), с использованием которой составлена при водимая ниже таблица классов группы S^.
Разбиение |
Циклическая структура |
Число элементов |
|
в классе |
|||
[4] |
(14) |
1 |
|
[31] |
(1221) |
6 |
|
[22] |
(22) |
3 |
|
[2 I 2 |
8 |
||
(Ii 31) |
|||
[И] |
6 |
||
(4і) |
|||
|
24 |
||
|
Полное число элементов: |
94 |
5. |
Вайборн. |
Теоретико-групповые |
методы |
|
|
Отметим, что полное число элементов группы S/t равно 4!; это |
||||||
число |
называется порядком данной группы. Вспомним |
теперь |
||||
утверждение из теории конечных групп, что полное число |
неприво |
|||||
димых |
представлений |
данной конечной группы в точности равно |
||||
числу |
ее классов. |
Так |
как |
группа Si± имеет |
5 классов, то, |
следова |
тельно, она имеет 5 неприводимых представлений. Вообще число неприводимых представлений любой симметрической группы Sn просто равно числу разбиений числа п на убывающие целые поло жительные числа. Каждый класс группы Si, можно однозначно ха рактеризовать заданием соответствующего ему разбиения, и, как
мы увидим ниже, |
индексы этих разбиений удобно использовать |
для однозначной |
характеристики неприводимых представлений |
группы Si. |
|
|
2.10. Диаграммы Юнга |
Мы можем характеризовать каждый класс сопряженных эле ментов группы Sn своим разбиением [А.]=[Л,і, Яо, . . . К[], таким, что
л |
|
2 ь=". |
(6) |
Поскольку циклы в данном разбиении можно располагать в совер шенно произвольном поряде, то можно считать без ограничения общности, что Xi^fe&z . . . ^ Л - п ^ О .
Как показал Юнг, каждому классу сопряженных элементов [К] однозначно соответствует свое неприводимое представление, ха рактеризуемое диаграммой Юнга, которая имеет вид
11
В 1-й строке диаграммы |
имеется ровно ?ч ячеек, причем і=\, |
...,п. |
||
Для группы S 4 |
имеется пять диаграмм |
Юнга |
|
|
14] |
|
[3 1] |
[2«] |
|
[2 |
14 |
[ 1 4 |
|
|
Гл. 2. Симметрическая группа S Л |
95 |
Вообще для группы Sn с каждым разбиением связана своя диаг рамма Юнга.
2.11. Сопряженные диаграммы Юнга
Диаграмма, получаемая путем перестановки строк и столбцов диаграммы Юнга [Ц, называется сопряженной диаграммой и обоз начается как [%]. Например, имеем сопряженные диаграммы
[3 I] = |
із и - m |
|
следовательно, [~ц = [2 izj.
Если [Х\ = [X], то такое разбиение называют самосопряженным.
2.12. Стандартные схемы Юнга |
|
Из я! схем, получаемых из данной диаграммы Юнга [К] расста |
|
новкой в ее ячейках символов 1, 2, ..., п, будет некоторое |
число / \ |
таких, в которых эти символы в каждой строке и в каждом |
столбце |
располагаются в лексикографическом порядке. Эти последние схемы называются стандартными схемами Юнга.
Например, рассмотрим группу S4. Для диаграммы Юнга [4] имеется всего одна стандартная схема, а именно Ы2ІЗТ4І ; для диаграммы [3 1] имеются три стандартные схемы Юнга:
2.13. Размерности неприводимых представлений группы Sn
Резерфорд [10], Робинсон [11] и Бёрнер [17] доказали не сколько теорем относительно стандартных схем Юнга и, в частно сти, следующие две теоремы:.
I . |
Размерность f% |
данного |
неприводимого |
представления, |
свя |
|||
занного |
с |
разбиением |
[А], равна числу различных |
стандартных |
||||
схем |
Юнга, |
которые |
молено |
составить для |
соответствующей |
диаг |
||
раммы |
Юнга. |
|
|
|
|
|
||
96 |
|
Б. Вайборн. Теоретико-групповые |
методы |
|
|
I I . |
Число |
fl стандартных схем Юнга |
для |
данного |
разбиения |
[)н К2 |
... К], |
где Я1 + А.2+ ... + %г = п, равно |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 = Х , + г — Ï, Д = А 2 + г - 2 , |
/ Г = Х Г . |
|
|
|
|
2.14. Угловые графы диаграмм |
Юнга |
||
Робинсон |
[18] ввел понятие угловых графов, |
составляемых для |
|||
диаграмм Юнга. Это диаграммы Юнга, в ячейках которых рас
ставлены определенные числа, равные так называемым |
угловым |
|
длинам |
соответствующих ячеек диаграммы Юнга. Угловой |
длиной |
данной |
ячейки диаграммы Юнга называется число (а + ß + |
l ) , где |
ß—число ячеек этой диаграммы, расположенных ниже данной
ячейки, |
и а — число ячеек |
диаграммы, расположенных справа от |
данной |
ячейки. Например, |
для диаграммы Юнга [4 2 1] соответст |
вующий ей угловой граф имеет вид
(I -11 2| 11
ш
Обозначим через /о, U, ... Іѵ угловые длины ячеек первого столбца данного углового графа. Тогда произведение всех угловых длин ячеек этого углового графа можно рассчитать по следующей фор муле:
|
|
|
|
|
/ 0 |
! ' і ! ... |
/рі |
|
|
|
|
|
|
|
i>J |
|
|
|
|
так, |
например, |
|
|
|
е і з і i l |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= 1 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
14211 |
5 - 3 - 2 |
|
|
|
|
Теорема. Пусть |
Я г , . обозначает |
произведение |
угловых |
длин угло- |
|||||
вого |
графа |
диаграммы |
Юнга, |
|
составленной |
для |
неприводимого |
||
представления |
[і] группы Sn. |
Тогда размерность fl этого представ |
|||||||
ления |
[X] |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ I |
M |
= ^ L . |
|
|
(9) |
Формулу (9) можно использовать для быстрого определения размерностей неприводимых представлений, соответствующих раз биениям [К].
