Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 137

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гл. 2.

Симметрическая группа.

S„

97

Рассмотрим пример

группы S 4 . Для нее

имеем

следующие не­

приводимые представления и их размерности:

И)

 

N

= 4 '

 

 

 

 

 

[31]

•

Я,[31]

4!

1!

3

 

 

 

 

3!2!

 

 

[2*1

1

•

[21г

 

Я,

4!

2!1!

 

 

 

 

[ H

 

 

41 312! 1 !

 

 

я , , .

 

 

3 • 2 • 1 • 2

 

 

ПЧ

/41

4!/341 = 3;

41 3! 2! •=2;

/! 2 , г 1 = 4!2!/641 •=3;

J 4 ,

Вычисленные размерности представлений можно проверить, подставив их в имеющуюся в теории конечных групп точную фор­ мулу

2(/1М)2="!. 00)

1X1

2.15.Характеры симметрической группы

Вбольшей части последующего изложения мы будем иметь

дело с групповыми характерами, а не с самими представлениями.

Ниже мы сначала введем соответствующую терминологию и обоз­ начения, а потом (без доказательства, см. [5, 11, 13, 16, 17]) сфор­ мулируем ряд основных теорем из теории групповых характеров.

Обозначения. Рассмотрим некоторую группу Н, имеющую h элементов Si ( і = 1 , 2, ..., h). Эти элементы можно объединить в классы. Обозначим символом С р всю совокупность hp элементов класса р. Класс, состоящий из элементов, обратных элементам класса Ср , обозначим через С.

Шнур,

или след, матрицы, представляющей элемент 5,- при

не­

приводимом представлении

называется характеристикой

эле­

мента Si

в представлении

и обозначается через Х ( Л (5 І ) . Совокуп­

ность характеристик всех элементов 5 группы Я, составленных

для

7 За к. № 279

98

Б. Вайборн. Теоретико-групповые

методы

 

 

 

данного представления

называется групповым

характером

или

просто характером и записывается как %(•>>.

 

 

 

 

Все элементы из одного и того же класса р имеют

равные

друг

другу

характеристики,

которые

обозначаются через

Характе­

ристика обратного элемента комплексно сопряжена

характеристике

самого элемента, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

Х ( Я (5Г , )=[х 0 > (5,)]* .

 

 

 

(П)

Для симметрической группы обратные элементы

входят в тот

же класс, что и сами

исходные

элементы,

и поэтому

характерис­

тики

элементов симметрической

группы — всегда

действительные

числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.16.

Таблица характеров

Если рассматриваемая группа имеет К классов, то каждый ее характер будет составлен из À, отдельных характеристик и, по­ скольку число классов конечной группы равно числу ее неприво­ димых представлений, то всего имеется А,2 характеристик. Эти характеристики можно расположить в некоторой квадратной таб­ лице, которая называется таблицей характеров. Например, для группы Si имеем таблицу характеров

Класс

(1')

(Р 2)

(13)

(1)

(2=)

Порядок

1

6

8

6

3

(4)

1

1

1

1

1

{31)

3

1

0

—1

—1

{22)

2

0

—1

0

2

{212}

3

—1

0

1

—1

{14}

1

—1

1

—1

1

В этой таблице индексы разбиений числа 4, заключенные в фи­ гурные скобки, обозначают отдельные неприводимые представ­ ления.

2.17. Свойства ортогональности характеров

Строки таблицы характеров удовлетворяют соотношению орто­ гональности

2Ä P/i'Vp'=/'8 /;>

(12)

р

Гл. 2. Симметрическая группа Sn

99

а ее столбцы—соотношению

ортогональности

 

 

2.18. Составные характеры

Групповые характеры могут

быть простыми и составными.

Когда представления неприводимые,

характеры простые. Приводи­

мые представления имеют составные характеры. Любой составной характер ср (представляемый сокупностью характеристик срр) с ис­ пользованием соотношений ортогональности всегда можно выра­ зить в виде суммы простых характеров, если только значения этих последних известны. Положим, что

тогда коэффициенты gi можно найти, используя соотношения орто­ гональности простых характеров:

2р Лр^ХК = р2 gib?y!№=bgt

•

(15)

Следовательно,

 

 

ffi=4-2Ap?px(P'.

 

( 1 5 а )

Для простого пли составного характера имеем следующее соот­ ношение:

поэтому условие того, что характер простой, приобретает вид

2ihp<?t<?t' = h.

(16)

2.19. Иммананты матриц

Литтлвуд и Ричардсон [12, 20] ввели важное понятие имманантов матрицы, которое естественным образом обобщает понятия детерминанта или перманента данной матрицы [21, 22]. Это поня­ тие имманантов матрицы является ключевым при развитии теории характеров симметрической и полной линейной групп.

Иммананты данной матрицы порядка га2, т. е. матрицы

М,

где s — номер строки и t — номер столбца матрицы, определяются следующим образом. Пусть S — некая перестановка еі, е2, ..., еп

7*

100

 

Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

 

чисел

1, 2, ...,

п и пусть

(5) — характер

симметрической

группы, соответствующей разбиению (%). Тогда

имманант [ast]

рассматриваемой

матрицы определяется следующим образом:

 

 

I M ( X ) = 2 / a , ( S ) P 5 ;

(17)

здесь

суммирование ведется по всем п\ перестановкам симметри­

ческой группы и, кроме того,

 

 

 

 

Ps=aUia2e,_

. . . а « ѵ

(18)

Рассмотрим иммананты матрицы [ast] порядка З2 . Соответст­ вующая таблица характеров для группы 5з имеет вид

Клосс

(I3)

(1 2)

(3)

Порядок

1

3

2

{3}

1

1

1

{21}

2

0

1

{13}

1

—1

1

Поэтому иммананты данной матрицы могут

быть трех типов:

1asl

1<3)

= Я п а 2 2 Я 3 3 + а П а 2 3 а 3 2 " 4 " а 1 2 а 2 1 а З З +

а 13й 22я 31~Ь

 

 

-Г~о]2а 23а 31 ~r " ß I3 a 2I a 32>

 

I asf

f

' = = 2 о ц а 2 2 а 3 3

a I2a 23^31

u 13ß 21ß 32>

 

I ^si

1^

= = ß j j U 9 2 ^ ' ' 3 — ^11^23^32

^I2^°1^33

^13^°2^'31 ~~f~

 

 

~T~ Я 12й 23а 31 ~~Г~а 3 1 а 2 І а 3 2 •

 

Как легко

видеть, имманант !a s d ( 3 )

является

просто перманентом

матрицы [cist], а имманант

\ast\^

— ее детерминантом.

Вообще для симметрической

группы S

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K J = | ^ | C ) ,

(19)

 

 

| я „ | =

К,|('">.

(20)

2.20. Иммананты и характеры

Литтлвуд и Ричардсон [12] использовали развитую ими теорию имманантов для составления таблиц характеров симметрических групп до порядка 10!.

 

Гл.

2. Симметрическая

группа

Sn

101

Пусть «i, ао. -

 

 

символы 1, ..., п, которые переставлены

операцией симметрической группы Sn

порядка я!. Составленная из

этих символов а

матрица преобразования для данной переста­

• •.

—

 

 

 

 

новки 5 будет некоторой перестановочной

матрицей, и мы

обозна­

чим ее As. Литтлвуд

и Ричардсон доказали, что всегда суммы им-

манантов главных /--строчных миноров матриц As оказываются не­ которым составным характером группы Sn [21]. Если главный ми­ нор является перестановочной матрицей, его иммананты могут быть составлены непосредственно из таблицы характеров симметричес­ кой группы порядка г\. Если он не является перестановочной мат­ рицей, его иммананты — нули.

2.21. Характеры и разбиения

Поскольку число характеров равно числу классов группы Sn и поэтому равно числу разбиений числа п, то естественно связы­ вать каждый простой характер со своим разбиением. Характер, сопоставляемый данному разбиению, будет единственным, если по­

требовать, чтобы выполнялись

неравенства

\ > \ >

• • •

>h>0.

Индексы разбиений, обозначающие характеры, мы заключаем в фи­ гурные скобки, а обозначающие классы,— в круглые скобки.

Если какой-то характер получен как сумма имманантов глав­ ных миноров порядка (п — ?ч)2 и эти иммананты соответствуют приводимому ниже разбиению числа п—-Хі:

/ г - Х , = Х , + Х з + • • • + 7 ,

(21)

то с простым характером, извлекаемым из данного

составного,

надо связывать следующее разбиение числа п:

 

/ г = Х , + Х 2 + Х і .

(22)

Если указанное соответствие устанавливается последовательно при переходе к минорам и имманантам более высоких порядков, то получается очень логичная классификация простых характеров.

2.22. Приложения к группе SG

Построим теперь, к примеру, характеры группы Se описанным способом. Каждому разбиению числа 6 соответствует свой класс. Всего группа 5б имеет 11 классов, которые приводятся ниже с указанием их порядков:

I 7 ,

142, 133,

124,

1222,

123,

15, 6,

24,

23 ,

З2 ,

1,

15,

40,

90,

45,

120

144,120

90

15

40.

Смотрите также файлы