ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 138
Скачиваний: 0
3
ФУНКЦИИ ШУРА В ТЕОРИИ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
3.1. Симметрические функции
Теория симметрических функций [13, 27—29] существенно используется во всех разделах теоретической физики, в которых применяются методы теории групп. Можно рассматривать симмет рические функции, зависящие от п неизвестных см, ct2, ..., сс„, трех разных, но тесно связанных между собой типов.
3.2. Элементарные симметрические функции
Элементарные симметрические функции определяются следую щим образом [29]:
ß 2 = S а 1 а 2 .
а 3 = 2 а 1 а 2 а 3 .
а „ = = а , а, . . . а„. |
(24) |
Эти функции непосредственно связаны с алгебраическим уравне нием, корнями которого являются числа ai, а.г, . •., соп:
(х — а.1)(х — <х2) . . . (х~а„)=х" |
— а1хп~і-{-а2Х"~2— |
. . • + |
+ |
{-\уап=0. |
|
Коэффициенты а,- в этом уравнении можно получить также как коэффициенты разложений по степеням х следующих производя щих функций g(x) и f{x):
g(*) = |
П |
(X- а,;) = |
2 «г ( - 1 У хп~г |
(25) |
и |
Il |
|
II |
|
|
|
|
||
/ ( * ) = |
П |
(1 -а,х) |
=2 сьГ ( - 1 ) ' * ' . |
(26) |
/ = 1 |
г = 0 |
Гл. 3. Функции Шура |
107 |
3.3. Функции, являющиеся однородными суммами одночленов
Рассматривая коэффициенты разложения функции l//(-t) по степеням х, получаем другую систему симметрических функции, являющихся однородными суммами одночленов, которые обозна: чаются через Л,.. Порождающий эти функции ряд имеет, таким об разом, следующий вид:
со |
|
F(x)=l//(A-)=2 hrx', |
(27) |
где /го = 1. Отметим, что |
|
F{x) = \lTl (1 - а , л : ) = І І ( і + а / л : + а ? л : 2 + а ? л 3 + • • •)• |
(28) |
Сравнивая (27) и (28), легко заключить, что симметрические функции hr являются однородными суммами различных одночленов степени г, составляемых из а*, т. е.
Лз=2 а ?+2 а і а 2 +2 а і а 2 а з . |
(29) |
и т. д. |
t |
3.4. Степенные суммы
Симметрические функции третьего типа — это так называемые степенные суммы Sr, которые просто являются суммами /--степе ней а,-, т. е.
5 г = 2 > ь |
(30) |
Производящая функция для этих степенных сумм может быть по строена следующим образом. Возьмем функцию
/(х)=Щ\-ЩХ)
и ее логарифм
i o g / c * ) = ; s logo
Дифференцирование этой последней функции дает искомую про изводящую функцию
ѴЛ / |
2 |
3 3 |
\ |
--2,{—а.1 — а1х — о.іх — ...)--
108 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы |
3.5. Функции Шура
Различные соотношения, выражающие функции а,-, Іг,- через функции Sr, можно получить, оперируя с разными формулами для производящих функций [29]. Для нас особенно важны два типа соотношений, которые выражают a,-, hr через S,-. Чтобыописать их, рассмотрим матрицу
'Su |
1, |
0, |
0, . . |
|
о |
|
52 , |
5,, |
2, |
0, . . |
|
о |
|
53 , |
S.2) |
S,, |
3, 0, |
|
о |
(32) |
|
|
|
. So, |
Si, |
-1 |
|
L A , |
sr_ |
|
• S3, |
S2, |
S, |
|
построенную из степенных сумм. Как легко показать, для этой мат рицы имеют место соотношения
г! ar=\Zr\ |
(33) |
r\h,=\Z,\ |
(34) |
в которые входят два частного вида пммананта матрицы |
[ZT]\ мо |
жно ожидать, что и другие имманаиты этой матрицы не менее
важны. Так мы приходим к так называемым функциям |
Шура |
(со |
||||
кращенно S-функции). |
|
|
|
|
|
|
Пусть (X) = |
(ki, X;, ..., |
Кр)—некоторое |
разбиение |
/• на |
убы |
|
вающие целые числа. Тогда S-функция, связанная с этим разбие |
||||||
нием и обозначаемая символом |
|
|
|
|
||
|
{А}^{,\,, |
Х2, |
Ір], |
|
|
|
или, более точно, соответствующая S-функция веса г, определяется |
||||||
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
г! [k} = |
\Zr |
|
|
(35) |
Вес S-функции |
совпадает |
с весом соответствующего |
разбиения |
|||
(Л) . Согласно (33) и (34), имеем (как частные случаи последнего
соотношения) |
|
[г) = А, и [Ѵ\^аГ. |
(36) |
Пусть, далее, р обозначает класс (1а 2Р ... ) порядка /ір симмет рической группы S,. порядка г! и пусть по определению Sp = = S^SP ..., где Si, S2, . . . — симметрические функции, являющиеся
степенными суммами; тогда легко выразить суммы произведений
Гл. 3. Функции Шура |
109 |
типа
р
жение (18)], через величины Sp (индекс при Р обозначает символ перестановки класса р), просто используя известные соотноше ния [29]
и |
ar=^(±hfS9) |
|
|
(37) |
|
|
|
|
|
что дает |
ar=Z(±Ps), |
|
|
(38) |
|
|
|
|
|
|
%Ps=hfSt. |
|
|
(39) |
|
р |
|
|
|
Знак плюс надо брать для четных и знак |
минус — для |
нечетных |
||
перестановок. Суммирование в (39) производится |
по всем |
переста |
||
новкам класса р. |
|
|
|
|
Сравнивая |
(17), (35) и (39), сразу получаем |
очень |
важную |
|
формулу для рассматриваемых функций Шура |
|
|
||
|
r!{4=2x( P%Sp, |
|
|
(40) |
которая иллюстрирует неразрывную связь, |
существующую между |
|||
5-функциями |
и характерами симметрической группы. |
|
||
3.6. Формула Фробениуса для вычисления характеров
симметрической группы
Широкоизвестная формула Фробениуса, которую можно исполь зовать при вычислении характеров симметрической группы, непо средственно следует из формулы (40). Если умножить обе части равенства на %W и просуммировать по всем разбиениям (Я) с ис пользованием соотношений ортогональности групповых характе ров, то получим формулу
Заменяя далее о на р и умножая на знакопеременную функцию
А (а,, |
. . . а„) = П |
(аг-а3) |
= Ж |
± ^ Г |
2 |
. . . *„_,). |
|
получаем окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
SÏSlSl . . . |
. . ., а„)=2(±Х ( Р Ѵ + |
П - 1 а ^ + " - 2 |
. . . аХ„в). |
(41) |
|||
Это и есть |
известная |
формула |
Фробениуса |
[30]. Суммирование |
|||
в правой части ведется по всем перестановкам |
нижних |
индексов |
|||||
при а со знаком минус для нечетных перестановок. |
|
||||||
по |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы |
При использовании формулы Фробениуса (41) для вычисления характеров надо приравнивать в правой и левой ее части коэффи циенты при a* i + n - 1 ak + n - 2 .. . crV Практически, однако, такое при равнивание (хотя оно и дает возможность построения всех харак теров) оказывается довольно громоздким, кроме самых простых случаев. В настоящее время имеется довольно обширная литера тура по описанию различных процедур вычисления характеров симметрической группы [10—13, 20, 30—35], однако здесь мы не будем останавливаться на этом вопросе.
3.7. Внутренние и внешние произведения для группы Sn
Введение в теорию симметрической группы понятий внутреннего и внешнего произведении неприводимых представлений исключи
тельно важно |
как для самой теории симметрической группы, так |
и для теории |
полной линейной группы. Ввиду тесной связи, су |
ществующей между этими двумя группами [6, 11], основные ре зультаты теории полной линейной группы и ее подгрупп можно вывести из соответствующих результатов, полученных для симмет рической группы. Кроме того, существует изоморфизм между муль типликативными свойствами 5-функций, или функций Шура, и мультипликативными свойствами групповых характеров симметри ческой группы и полной линейной группы, использование которого приводит к существенным упрощениям всей теории характеров этих групп.
3.8. Внутреннее произведение
Пусть (Si)P и (Si)a обозначают матрицы, представляющие эле менты Si в двух неприводимых представлениях р и о группы Я; тогда кронекеровские произведения этих матриц
№ ) Р Х ( 5 , - Г дают матрицы некоторого другого представления Я, называемого
внутренним произведением указанных неприводимых представле ний; это представление обозначается символом о ° а. Исследование
внутренних |
произведений |
неприводимых |
представлений |
связано |
||
с изучением |
структуры разложений произведений характеров |
|||||
|
|
Х Ѵ = 2 £ Р , , Х " . |
|
(42) |
||
|
|
|
|
3.9. |
Внешние произведения |
|
Составим теперь кронекеровские произведения матриц |
(S;)0 и |
|||||
(S'.)a |
двух представлений |
разных |
групп Я и Я' . Эти матрицы да |
|||
дут |
нам некоторое представление |
группы, являющейся |
прямым |
|||
