Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

Гл. 3. Функции

Шура

115

к таблицам характеров. Приведем формулировку этой

теоремы

(без доказательства).

Теорема

[42]. Для смешанного

произведения

функций

Шура

имеет место

соотношение

( ( М { ^ ) ° ( Ч = Е ^ ( { ѵ } о { р } ) ( { , л ] о { а } ) ,

(47)

в котором

| p ) H = S r , , [ v ) .

((5}|l})o[321} =

2 r W W { 3 2 l ) ( { 5 } o { p J ) ( [ l } o [ a } ) .

Отметим, далее, что

{1} о {а} =

{1},

поскольку

а

может быть раз­

биением только единицы, и {5}°{р} = {р}, поскольку

{5}

соответ­

ствует

симметричному

представлению группы

Ss. Таким

обрезом,

(і5}о|1})с|321} =

ѵ г Ы { і

} ( з 2 і } ( р } { 1 }

=

=({32] +

{312) +

{ 2 2 l ) ) { l }

=

=

І42} +

(412} +

(32 }+3[321} +

{313} +

{23 } +

(22 12 }.

Однако, с другой стороны,

({5} [1})о {321} = {51} о {321} +

{6] ° (321) = {51} ° [321} +

{321|.

Следовательно,

{51} о (321} = {42} +

{412} +

{32 }+2{321)-|-{313 ) +

{23} +

{22 12 ].

Полученный результат

легко

проверить,

заметив,

что из

соотно­

шения

следует соотношение для

размерностей

fW-W

=/{')/{•)

^Sg^/H.

(48)

Отметим, наконец, что существует ряд специальных формул,

справедливых в отдельных простых

случаях. В частности,

имеем

{ я - 1 ,

1 } ° { я - 1 ,

1} =

{л) +

{ я - 1 ,

\\ + {п-2,

2) + { я - 2 ,

I 2 ) ,

[п-\,

1} о (д —2,

2 } = = | л - 1 ,

1} +

{ я - 2 ,

2) +

{ я - 2 ,

12}

+

S*

+

( « - 3 , 2 ,

1}.

116

Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

( л - 1 , 1 } о { , г - 2 , 12) = ( / г - 1 , 1} + { л - 2 , 2} + { л - 2 , 12} +

+ [ л - 3 , 2, 1} + [ л - 3 , I 3 ) ,

{п-2,

2 } о { / г - 2 , 2} =

{л} +

{ л - 1 ,

1 } + 2 { / і - 2 ,

2)

+

+ [п-2,

12) + ( д - 3 , 3 } + 2 { / г - 3 , 2, 1} +

+ { « - 3 ,

13) +

{ « - 4 ,

4} + { л - 4 ,

3,

1} + {/г-4, 22 }.

рода

преобразований:

1. В любой 5-функции две последовательные составляющие мо­

жно

переставить

при условии, что предшествующая

составляющая

уменьшается

на

единицу, а последующая

увеличивается

на

еди­

ницу, отчего 5-функция

изменит только свой знак, т. е.

{>.,,

. . ., X;,

+

>ч + 2 ,

. • -,

^р}

=

=

- { *

. . .

. .,

Ѵ ы - 1 . №

. ^ + а ,

• •

Ю-

(49)

+ {04} + {031} + {022}.

Для него имеем

{121} = - { 1 2 1 } = 0

(по

правилу

1).

(022)= - { 1 1 2 } = 0

(по

правилу

2),

(04] = - { 3 1 )

(по

правилу

1).

(031) = - {211)

(по

правилу

1).

{13} = - { 2 2 }

(по

правилу

1)

Гл. 3. Функции Шура

117

4.1. ^-функции и полная линейная

группа

Матрицы бесконечного множества всех несингулярных

матриц/1

порядка

я 2 образуют

непрерывную

группу, которую

называют пол­

ной линейной

группой

GL (я) п переменных. Теория характеров

этой группы тесно связана с теорией характеров

симметрической

группы

[6,

11, 13]. Исследование

неприводимых

представлений

группы GL (п) и ее подгрупп исключительно важно для интересую­

щих здесь нас приложений теории групп к проблемам

квантовой

механики многоэлектронных атомов. В этой главе, однако,

мы да­

дим лишь сжатое изложение теории представлений

группы

GL(n),

отсылая читателя за подробностями к соответствующей

литера­

туре.

т. е. один простой характер группы GL (я)

задается

5-функцией

{1}. Далее, для тривиального

единичного

представления нашей

группы GL (я) имеем простой

характер, задаваемый

тривиальной

4.2. Составные

матрицы

Пусть X и Y — два вектора-столбца

с компонентами

xi,

х%, ...

..., хп

и г/ь уг, . •., tjn соответственно. Эти векторы-столбцы

можно

перевести, или преобразовать, в новые векторы X' и У

с помощью

любой

несингулярной матрицы

A=[ast],

так что будем

иметь

Х'=АХ

и Y'=AY.

(50)

xU=xly] — xjyi,

(51)

Гл. 4. Полная

линейная

группа

119

видим, что соответствующие

функции,

составленные для преобра­

зованных векторов-столбцов X' и У, имеют вид

л - ' ' / = 2 aipxp S

ajqyq -

V. diqXg У, aJpyp,

(52)

так что здесь

коэффициентом

при xPi=xpyq—

xqyp

будет выра­

жение

««/>«/'</

^Uj^jpz

(53)

Таким

образом,

матрица

преобразования

n(ii—1)/2

знакопе­

ременных

функций

х'і — это

матрица,

элементами

которой явля­

ются двухрядные миноры матрицы А; эта матрица

называется вто­

рой составной

матрицей, образуемой для исходной матрицы А; она

обозначается символом А

) .

Х=(хі,

х% хз) и

В качестве

примера

рассмотрим

два вектора

(Уь У2, Уз) • Тогда, согласно

(50),

имеем

du

сі\2

ß-із

а\\Х\

-\-аі2х2-\-аІЗх3

Х2

-

:

Х-,

o*t)\X\

j а^оХ*) J

a23-^-3

Х3

« 3 1x \ ~\~~азіхч

аззхз

13

Уі

«1іУі +

«12У2+

«1зУз

23

Уг

«2іУі +

«22У2+«2зУз

33

Уз

«зіУі+ « з 2 У 2 +«ззУз

Составим выражения

для соответствующих

преобразованных

знакопеременных

функций. Получим, в частности, что

Хі2=хіу2

— х2уі

= («-IJJCJ -f- а12х2+а13х3)

(а 2 іУі+ а 22Уг+ « 2 3 У 3) —

— (я,,*! +

а.22х2-\- а23х3)

(аиуі+а12у2-\-а13у3)=

=(aM a 2 2 — a2 1 a,2 ) (лг,у2

л' 2 Уі)+(а І 1 а 2 3

— a21al3)

(хху3

—

хъух)-{-

+

(«12«23 -

« 2 2 « 1

3

)

С*2Уз — ^ЗУ2)

=

—

,3

+

«12

«13

,'23

«21

«22

«21

«23

ЛГ

«22

«23

Подобным же образом получаем

Л""3

=

« и

«12

Х І 2

+ «11

«13

%! 3 + «12

«13

«31

«32

«31

«33

«32

«33

120

Б. Вайборн.

Теоретико-групповые

методы.

J C ' 2 3

= #21

^22

Л 1 2

+ # 2 1

а23

G>22

^23 •23

#31

û 32

ß 32

^33 X

Таким образом, вторая составная матрица

для

матрицы /1

может быть представлена в виде

#11

#12

#11

#13

# 1 2

# і з

#91

#22

#21

^23

#22

#23

# u

а13

# 1 2

# і з

(54)

#31 CL:•32

#31

û 33

#32

а 33

*21

а.у

#21

&23

#92

#23

#31

#:32

#31

^33

#32

^33

Эта матрица является матрицей преобразования рассматривае­

мых знакопеременных функций, т. е.

ХП2-

~х>°~

X13

X23

Совершенно

аналогично

знакопеременные

функции

компонент

не двух, а г векторов

Хі,

Х2,

...,

Хт,

каждый

из

которых преобра­

зуется одной и той же матрицей А,

будут преобразовываться с по­

этой

матрицы

являются

все г-строчные миноры исходной мат­

рицы А. Получаемая матрица называется

г-н составной

матрицей

fir )

для матрицы А и обозначается символом Ах

' .

Составные

матрицы Ах

, образованные для матриц А группы

GL(n),

очевидно,

дают

некоторое

представление нашей полной

линейной группы

GL(n),

поскольку

составная матрица

для про­

[ Л 5 ] { 1 Г } = Л ™ к }

(55)

ных функций мы рассматривали функцию g(x)

[см.

выражение

(25)], для которой неизвестные переменные au

а 2 , ...,

а п были