Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

некоторой другой конечной группы Н", то мы будем называть

Они показали, также, что существует изоморфизм между обыч­

ниях 5-функций в (43), и теми разбиениями, которые нумеруют не­ приводимые представления симметрической группы, возникающие при разложении внешнего произведения рХо\

Приведем теперь несколько конкретных примеров на составле­ ние произведений 5-функций, а затем сформулируем общее пра­ вило.

Рассмотрим сначала произведение {1}{1}. Согласно (24), (29) и (36), мы получаем

и, поскольку

{ 1 2 } = 2 « і « 2,

заключаем, что

{1}{1} = {2} + {12}

или на диаграммах:

Рассмотрим теперь произведение {2}{1 2 } . Для него получаем

(2) = Л 2 = ^ <4-f-Tj °Ча2,

поэтому

{ 2 } ; { i 2 } = ( E « i + S « ^ ) ( 2 ^ 2 ) =

Как следует из вышесказанного, это произведение можно выра­ зить в виде суммы 5-функций веса 4 с целочисленными коэффи­ циентами. Действительно, используя формулу (40) и таблицу ха­ рактеров группы 54, легко получить

4! {31 ) =3S?+65?52 - 654 - 3SÎ,

4! {21 2 }=35f - 65?52 + 6 5 2 + 6 5 4 - 3522,

откуда

{31) + {21}2 =

Рассмотрев такого рода примеры, можно сформулировать об­

появляются 5-функции, соответствующие всем тем диаграммам, которые можно построить, добавляя всеми возможными способами

же столбце.

114 5. Вайборн. Теоретико-групповые методы

з д е с ь / 1 Р ' , / ' и / І Ѵ ' — р а з м е р н о с т и представлений {р}, {о} и {ѵ} соответственно. Размерности представлений можно легко вычис­ лить, используя формул)' (9), по соответствующим угловым графам. Так, например, в вышерассмотренном случае (44) мы имеем

( 5 5 | 5 ^ ) ! 5 • 5 = 2 8 8 + 5 6 7 + 4 5 0 + 5 2 5 + 7 6 8 + 3 0 0 + 5 6 7 + +252+30 0 + 768+525+450+252 + 288.

Обе части этого выражения действительно равны; следовательно, формула (44) выдерживает проверку на размерность. Следует под­ черкнуть, однако, что указанная проверка не абсолютная: она за­ трагивает лишь размерности представлений, и всегда существует возможность случайных ошибок при наличии в разложении оши­ бочных неприводимых представлений той же размерности, что и истинные, или же неправильных линейных комбинаций неприводи­ мых представлений с суммой их размерностей, идентичной сумме размерностей правильной линейной комбинации.

3.11. Внутренние произведения ^-функций

Разложение по неприводимым представлениям внутренних про­ изведений {р} ° {о} неприводимых представлений симметрической группы является значительно более сложной задачей; к настоя­ щему времени было предпринято с большим пли меньшим успехом немало попыток [37—45] как-то упростить процедуру разложения внутренних произведений.

Так, Литтлвуд [42] пытался решить эту проблему, используя следующее определение внутреннего произведения 5-функцин. Если

считается внутренним произведением 5-функций {р} и {а}. Проб­ лема представления кронекеровских произведений пар неприводи­ мых представлений симметрической группы Sn в виде прямых сумм неприводимых представлений оказывается тогда эквивалентной проблеме составления внутренних произведений {р} °{о} функций Шура.

Литтлвуд доказал далее интересную теорему, которая позво­ ляет вычислять внутренние произведения S-функций, не прибегая