Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

Скачать файл (32,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гл. 4. Полная линейная группа

121

корнями уравнения g(x)=0. Обозначая через л характеристиче ские корни матрицы А, получаем соотношение

е - ( Х ) = | Л - Х / | = л « - а 1 Х " - 1 + а 2 ^ - 2 + . . . + ( - 1 ) » а „ = 0 . (56)

Как отмечалось выше, коэффициенты ai, аг, ..., ап являются элементарными симметрическими функциями характеристических корней матрицы Л, равных суммам главных /--строчных миноров матрицы А. В рассмотренном выше примере матриц А порядка З2 мы можем рассмотреть симметрическую функцию а2:

	ап	а12	+	+
	а2Х	а.22	I	^32	а 33
как видим, это просто след соответствующей					составной	матрицы
А* '. Итак, приходим к выводу, что				S-функция { I 2 } корней			мат
риц А задает простой характер группы GL(ii).					Вообще, как		легко
видеть, справедливо следующее утверждение:
S-фунщии	{1Т} характеристических			корней	матриц А	группы
GL(n) являются простыми		характерами		этой группы.

Поскольку S-функция п переменных не может соответствовать разбиениям, содержащим более п составляющих, то можно сразу заключить, что S-функция {1™} матрицы А является скаляром, ко

торый просто	равен	детерминанту	т. е. {1™} =	{0}, где	{0} —
идентичное представление группы GL (п).
		4.3. Индуцированные матрицы
Для того	чтобы	построить другие	характеры	группы	GL(n),

нужно рассмотреть подробнее свойства индуцированных, матриц.

Возьмем

совокупность п неизвестных переменных Хі, х2,

. •., хп,

которые

преобразуются с помощью

матрицы A==[ast],

так

что

Х'=АХ.

Из

этих

неизвестных

переменных мы

можем

составить

п(п+\)/2

одночленов порядка 2, т. е. образовать

функции

' 2

Х\,

х2,

. . ., хп,

Х\Х2,

х^х^,

. . .,

хп_іХ„;

они преобразуются матрицей А в линейные комбинации

преобра

зованных одночленов

степени

2 по

преобразованным

переменным

х[,

х'г,

..., х'

. Элементами

матрицы

преобразования

этих

/г(д+1)/2 величин будут полиномы степени 2, составленные из элементов матрицы А. Эта матрица преобразования называется

второй индуцированной матрицей, составленной для матрицы А, и

обозначается символом А .

122	Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы
	Подобным образом одночлены степени г по х\,	Хг, .. ., хп	будут
преобразовываться с помощью матрицы, имеющей		по	строк

и столбцов; элементами этой матрицы будут полиномы степени г,


составленные из элементов матрицы А. Такая					матрица		называется
г-й индуцированной			матрицей, образованной		для	матрицы		А.
Проводя рассуждения, подобные приведенным выше в отноше
нии составных матриц, мы можем утверждать следующее:
S-функции	{г}	характеристических		корней	матриц		А	группы
GL(ti) являются		простыми характерами		этой	группы.
			4.4. Инвариантные				матрицы
S-функции	{1г }		и {/'}, являющиеся следами			соответственно

г-х составных и г-х индуцированных матриц, построенных для мат риц А, являются простыми характерами группы GL(n). При изло жении теории симметрической группы Sn мы убедились в пользе введения понятия имманантов матриц (промежуточных образова ний между детерминантом и перманентом), с помощью которых, как было показано, можно построить все групповые характеры группы Sn. Для того чтобы построить все характеры группы GL (/г), необходимо ввести аналогичное имманантам понятие инвариантных матриц; впервые в теорию представлений групп оно было введено Шуром [14].

Итак, определим инвариантные матрицы следующим образом. Пусть А — квадратные матрицы порядка п2 и пусть Т(А) — неко торые матрицы, элементами которых являются произвольные по

линомы,	построенные	из элементов	соответствующих матриц	А.
Если для	каждой пары	матриц А и В, порядка пг каждая, выпол
няется равенство
		Т{А) Г ( 5 ) =	Т(АВ),	(57)

то матрицы Т(А) называются инвариантными матрицами, образо ванными для матриц А. Очевидно, каждая совокупность инвари антных матриц задает некоторое матричное представление группы

GL(n). Матрицы А^х ^ и А^т\ составные и индуцированные мат рицы, рассмотренные в разд. 4.2 и 4.3, — это частные случаи ин вариантных матриц.

Матрицы, получаемые как прямые произведения двух сово купностей инвариантных матриц, опять являются некоторыми ин вариантными матрицами. Все совокупности инвариантных матриц, элементы которых являются однородными полиномами степени г по элементам матриц А, или просто все совокупности матриц сте

пени /•	можно получить, разлагая на неприводимые компоненты
прямые	произведения, составляемые из г	идентичных множите
лей А, т. е. разлагая матрицы, являющиеся		прямыми произведени
ями Ах	Ах. • - ХА (г сомножителей).

			Гл.	4. Полная	линейная		группа				123
	Как показал		Шур [14], если		А—матрицы			порядка	/г2,	то	для
них	существует		ровно	столько	неприводимых			совокупностей			инва
риантных матриц степени г, сколько						существует разбиений				числа г
на	не более	чем	п составляющих, и			что следы		этих	инвариантных
матриц являются			S-функциями		веса	г	от характеристических				кор
ней	матриц	А.
	Подробные рецепты			построения инвариантных матриц для							каж

дого данного фиксированного разбиения молено найти у Литтлвуда [47—49]. Заметим, что изложенный выше метод Литтлвуда и Ри чардсона [12] построения характеров симметрической группы мо жно рассматривать как частный случай использования этих рецеп

тов, когда в качестве		матриц А берутся	перестановочные матрицы
и когда	саму группу	Sn рассматривают	как подгруппу полной ли
нейной	группы.

4.5. Разложение прямых произведений представлений группы GL(n)

Процедура разложения прямых произведений представлений на неприводимые представления встречается во многих проблемах теоретической атомной спектроскопии. Прямое произведение двух

инвариантных матриц	А^	и	степеней m и п	соответственно
можно разложить в	прямую		сумму инвариантных	матриц А ,
т. е. можно записать
А И Х Л ( 1 ) = І І Г ^ ( ' } ;				(58)

здесь знак умножения означает обычное прямое произведение мат

риц и 2] — прямую			сумму.		Очевидно,			что	размерность	суммы
'ÈXV,\VA	' V j	равна inn.
Следы		матриц Л І	Ѵ ' ,	А^	и А^		являются соответствующими
S-функциями характеристических корней исходных матриц А, и
поэтому	разложение		прямого			произведения			характеров	группы
GL (п)	сводится к разложению					обычного произведения S-функций
по этим S-функциям,			т. е. к составлению					соотношений
			M	• М = 2 і Ѵ Х ѵ М ;						(59)

с этими соотношениями мы уже сталкивались выше при рассмот рении внешних произведений неприводимых представлений симмет рической группы S„. Разбиения (ц) и (К) — это разбиения чисел m и п; разбиение (ѵ) —это разбиение числа т + п. Поэтому правиль ность разбиений (59) можно проверить, используя соотношения

124

Б. Вайборн. Теоретико-групповые

методы

(45) и рассматривая разложение, появляющееся в правой части (59), просто как соответствующее разложение для симметрической группы.

4.6. Размерности неприводимых представлений группы GL (ri) Соотношение (59) можно также проверить, рассчитывая раз

мерности		представлений группы			GL (п)		по	известной		формуле
		£ > { х } = П h — j				+	\j-				(60а)
				à>j
Удобнее,		правда, использовать			другую		формулу,		эквивалентную
ей, которую Робинсон			[11]	получил		с	помощью		теории		угловых
графов:
			п	-	°<«>'						(606)
здесь	Я	j —произведение		угловых		длин		всех	ячеек		углового
графа,	составленного		для данной диаграммы Юнга							[см.	(8)], и
			o f i 1 = n ( ' l - T - ' ' - A								(бов)
				j
где п — порядок группы, а целые числа							i, j	характеризуют			отдель

ную ячейку диаграммы Юнга, находящуюся в і-м столбце и /-й строке.

Рассмотрим, например, разбиение (421), связанное с представ

лением	{421} группы GL(5). Согласно формуле (8), мы			имеем
		1421]	:144.
		1421]
Нумеруя	каждую	ячейку диаграммы Юнга парой целых		чисел
(i, j), мы получаем		граф