Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5

ПОДГРУППЫ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ GL(n)

5.1. Подгруппы группы GL(n)

Процедура построения неприводимых представлений полной линейной группы с помощью наборов инвариантных матриц Т(А), элементы которых являются однородными полиномами от матрич­ ных элементов матриц А некоторой фиксированной степени, дает все неприводимые представления группы GL (л). С учетом допол­ нительных ограничений, которые можно наложить на выбор эле­ ментов группы GL(n), чтобы выделить определенную ее собствен­ ную подгруппу, эти представления, вообще говоря, оказываются приводимыми; и на этой подгруппе из них можно выделить соот­ ветствующие неприводимые части. Получаемыми таким образом

неприводимыми

представлениями

данной

подгруппы

группы

GL(n)

не

исчерпываются

все

неприводимые

представления

этой подгруппы;

однако так

можно

получить

все

представления

подгрупп группы

GL (л),

которые

являются

компактными

 

груп­

пами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полная линейная группа имеет очень много подгрупп, которые

можно

строить,

просто

 

накладывая

 

определенные

ограничения

на матрицы

полной

линейной

группы

GL (л),

или,

другими

сло­

вами,

рассматривая

только

такие преобразования л-мерных

векторов,

которые

оставляют

определенную функциональную

форму,

составленную

из

компонент

этих векторов, инвариант­

ной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так,

например,

если

ограничиться рассмотрением

матриц

группы

GL(n),

детерминанты

которых равны единице, то мы полу­

чим так называемую унимодулярную линейную группу SL{ii),

яв­

ляющуюся, очевидно, подгруппой полной группы GL (л).

 

 

Ниже нам достаточно будет рассмотреть только унитарную

подгруппу

U (л)

группы

GL(n),

являющуюся группой бесконечного

множества унитарных матриц А порядка л2 , а также важнейшие подгруппы этой группы U(n). Унитарное преобразование оставляет инвариантным норму любого комплексного вектора, который эта матрица преобразует. Другими словами, если [ast] — унитарная матрица, то при преобразовании

М = [я„] \х,]

квадратичная форма

И[xs]=H>xlXi

126 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

остается инвариантной; черта сверху обозначает комплексное со­

пряжение. Необходимое и достаточное условие

того, чтобы мат­

рица Л==5[а8<] была унитарной,

заключается в том, что

 

k J

[aS,]=I=[bs,\,

 

т. е. АА=І;

тильда обозначает матричное

транспонирование.

Это условие,

накладываемое на

матрицу [ast],

означает, что мат­

ричные элементы унитарной матрицы удовлетворяют соотноше­ ниям

 

r

ClrpClrq= = ^pq

 

 

П Л И , П О С К О Л Ь К У [Cist] [ û ! ( s ] = / ,

С О О Т Н О Ш в Н И Я М

 

V

~

 

r

apraqr~bpq-

 

 

Оба

типа соотношений показывают, что элементы ast любой уни­

тарной

матрицы ограничены,

так что | a s < l 2 < ^ l ; поэтому группа

унитарных матриц оказывается по определению компактной груп­ пой.

Важно отметить,

что неприводимые

представления полной ли­

нейной группы GL(n)

остаются

неприводимыми при сужении

этой

группы до группы U(я). При этом

легко показать [13], что полная

система

неприводимых

представлений

группы

U (я)

задается

на­

бором независимых

инвариантных

матриц,

составляемых

по

уни­

тарным

матрицам А; кроме

того,

простые характеры

группы

U (я)

являются

S-функциями

характеристических

корней унитарных

мат­

риц А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому ниже мы будем использовать символы разбиений {Я},

связанные с соответствующими S-функциями,

для обозначения не­

приводимых представлений унитарной группы

U(n).

 

 

 

Прямые произведения

и

размерности

 

представлений

груп­

пы U(n)

определяются в точности по тем же формулам, что и для

группы

GL(n).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2. Ортогональная

группа

Группа преобразований, оставляющих инвариантной произволь­

ную несингулярную квадратичную

форму

 

 

 

 

 

 

 

 

^gljXlXj,

 

 

 

 

(61)

называется общей ортогональной группой п измерений. Она обо­ значается как О (я). Элементами этой бесконечной группы явля-

Гл. 5. Подгруппы полной линейной группы

127

іотся ортогональные матрицы А; ортогональная группа является, очевидно, подгруппой группы U(n).

Поскольку, по самому определению ортогональных матриц,

АА = 1, то

 

 

 

\ А \ = ± \ .

 

(62)

Таким

образом, совокупность ортогональных матриц, из которых

построена

группа

О(п),

распадается

на

две совокупности: матриц

с детерминантом

+ 1

и матриц с

детерминантом

— 1 . Ортого­

нальные матрицы

с детерминантом

+ 1

образуют некоторую под­

группу группы О(п), которую называют

специальной

ортогональ­

ной группой и обозначают как SO(n) или 0+(п). Специальная ортогональная группа составлена из преобразований n перемен­

ных, которые оставляют инвариантной квадратичную

форму

 

 

. • •

 

(63)

Эта группа

ничем не отличается от /г-мерной группы

вращений

R(n).

 

 

 

Для ортогональной группы инвариантная форма

(61), очевидно,

принадлежит

к типу {2}; для специальной ортогональной

группы,

кроме того, требуется, чтобы детерминант, составленный из пре­ образуемых переменных, тоже оставался инвариантным, а он со­ ответствует форме типа {1"} .

 

 

 

 

 

5.3. Характеры группы

О(п)

Рассмотрим

трехмерную

квадратичную форму

21%ёих&з> где

gij — симметричный тензор

типа {2}. Эта форма

 

остается

непри­

водимой

при

действии

преобразований

полной

линейной

группы

GL(3).

При

действии преобразований специальной

ортогональной

группы

50(3),

которые

оставляют инвариантной

квадратичную

форму 2]?*?>

и з

квадратичной формы

J^gijXiXj

естественным об­

разом выделяется линейный

инвариант

 

 

 

 

Указанная квадратнчая форма будет простой при действии пре­ образований ортогональной группы 50(3), только если удалить из нее вышеприведенный инвариант. Поэтому форма J^gijXiXj при­ водима при преобразованиях ортогональной группы 50(3); она распадается на две простые формы [2] и [0], где [0] соответствует инварианту. Таким образом, характеры рассматриваемых пред­ ставлений групп GL(3) и 50(3) можно связать соотношением

{2}==[2] + [0І;

128

Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

 

это

означает, что инвариантные матрицы А

можно

выразить

как

соответствующие прямые суммы простых

матриц, т.

е.

Каждое представление полной линейной группы обязательно является некоторым представлением ортогональной группы, про­

стым

или

составным. Поэтому

каждая 5-функция, возникающая

в теории

представлений

группы

GL(n), будет простым или состав­

ным

характером группы

О (л).

Следовательно, каждую такую S-

функцию можно выразить в виде линейной комбинации характе­

ров

группы 0(п),

и, наоборот, каждый характер группы

О (л)

мо­

жно

представить

в

виде

линейной

комбинации

соответствующих

5-функций.

 

 

 

 

 

 

если

число

независимых

пере­

Литтлвуд

[13,

50] показал, что

менных,

на

которые

действуют

преобразования

 

данной

ортогональ­

ной

группы,

 

равно

п = 2ѵ или

л = 2ѵ+1, то для

каждого

 

разбиения

(К)

числа

п

на не более

чем

ѵ целочисленных

 

положительных

со­

ставляющих

 

имеется

соответствующее

ему

представление

ортого­

нальной

группы

О(п).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характер

группы

0{п)

для

ее представления,

задаваемого

раз­

биением

 

 

мы

будем

обозначать, заключая

 

индекс

 

разбиения

в квадратные скобки, т. е. будем обозначать

символом

[К]. Литтл­

вуд сумел выразить все эти характеры через 5-функции путем раз­ ложения соответствующих производящих функций, составленных для конкомитантов квадратичной формы. Для того чтобы сформу­ лировать его результат, нам нужно, однако, сначала коротко оста­ новиться на обозначениях, или символах, Фробениуса отдельных разбиений [30].

5.4. Символы Фробениуса для разбиений

Мы видели в разд. 2.1, что каждое разбиение

можно

пред­

ставить своей диаграммой Юнга. Теперь, для того

чтобы

ввести

символы Фробениуса, заменим каждую ячейку диаграммы

Юнга

светлой или темной точкой и получим таким образом фробениусовский граф. Диагональ из светлых точек, начинающуюся в левом

верхнем углу,

будем

называть главной диагональю.

Число

свет­

лых точек, стоящих на главной диагонали, называют

рангом

рас­

сматриваемого

графа,

или разбиения. Пусть теперь

г — ранг

раз­

биения и пусть всего имеется ÛJ темных точек, стоящих справа от главной диагонали в і-и строке, и Ь,- темных точек, стоящих снизу от главной диагонали в і-м столбце. Тогда в обозначениях Фробениуса рассматриваемое разбиение представляется символом

/ахаг

. . . аГ\

U A

•••br)

Гл. 5. Подгруппы полной линейной группы

129

Так, например, разбиение (75312) представляется графом Фробениуса

Мы видим, что разбиение имеет ранг 3 и что в обозначениях Фробениуса оно представляется символом

6 3 0

41 0

5.5.Характеры группы 0(п) (продолжение)

Теперь мы можем сформулировать результат Литтлвуда в от­ ношении выражения характеров группы О(п) через S-функции. Соответствующая формула имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

М = (Ч+2( - і) р / 2 і Ѵ Ы,

 

 

 

(64)

где

 

сумма

распространяется

на все S-функции

типа

{ц}

и S-функ-

ции

типа

{у},

причем

они

таковы,

что представление

{к}

обяза­

тельно появляется

в

произведении

представлений

{у}{г\}

с некото­

рым

 

коэффициентом

ГѴ Т 1 А,;

по

р — вес

разбиения

 

{у}.

Совокупность

S-функций

 

{у}

содержит

 

определению

все

S-функции,

которые

соответствуют разбиениям,

 

обозначаемым

символами

Фробениуса

 

 

 

 

 

 

 

/ а + 1

* +

1\

(а+1

Ь +

\

с+\\

 

 

 

 

 

 

 

а . ) • [

а

 

Ь ) ' { a

 

b

 

с

) ' » ' -

( 6 ö )

т. е.

 

разбиениям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{2}, (31), {4P}, {З2},

{513 },

(431}

и

т. д.

 

(66)

 

Отметим здесь, что /г переменных хи

...,

хп

преобразуются про­

извольной матрицей А группы G в п переменных х'ѵ

х'.

Если

существует

алгебраическая

форма

g (a;

x)=g(ai,

 

...,

am;

Xi, ...

..

.,

Хп),

где ai — коэффициенты формы, такая, что после преобра­

зования она остается формой g (а';

х'),

то

она

называется

основ­

ной

 

формой.

Всякая

функция <р(а,

Ь,

...,

d)

от

коэффициентов

а,

6,

... ,

d,

связанная

с

некоторым

набором основных

форм

g (а;

х),

g{b\

х),

...,

g(d;

х),

которая преобразуется так, что

 

 

 

 

 

 

с? (а',

Ъ\

. . .,

 

d')=|A|«<p(a,

b, . . . .

d),

 

 

9 3 a к. № 279

Смотрите также файлы