Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

называется

инвариантом

веса

а. Если а = 0, эта

функция

назы­

вается

абсолютным

инвариантом.

Функции можно

строить

также

для данных основных форм и по-другому: они могут

содержать

переменную

х

(коварианты)

или контрагредиентные переменные

(контраварианты),

или те и другие переменные (смешанные

конко-

митанты).

Все такие функции,

построенные для взятых

основных

форм,

называются конкомитантами.

Понятие конкомитантов мо­

жно обобщить и строить

конкомитанты от конкомитантов.

группы 0(7). Соответственно разбиениям

Фробениуса (65) мы

имеем

(т! =

(2}, 2 І Ѵ М =

(31) +

{22} +

(2121,

'1

(т} =

|31},2Г„х{^) =

(2} +

(12 ).

,1

Таким образом, согласно (64), получаем

[321] = { 3 2 1 ) - ( 2 2 | - { 3 1 } - { 2 1 2 ) + {2) +

{12 ).

ность £>[?1 неприводимого представления группы

О ( п ) при /г = 2ѵ

можно рассчитать по формуле [13]

л

_ 9 ѵ

r r

[ßr — К — r

+ S) (К + К + П — r — S)]

( C 7 ,

U \ x \ — L

1 1

(n —2)

! in — 4) ! . . . (2) !

>

при КѴФ0

и по этой же формуле, но с введением

дополнительного

множителя

У2 при Яѵ = 0. При я = 2ѵ+1

надо пользоваться

форму­

лой [13]

D m = П ( X , - X , - r + s ) ( X r + V - H - r - s ) X

r<s

гі(2Ѵ+л-2г)

Л (л —2) ! (л —4)

! . . . (1) !

• \ ° '

Размерности представлений D, ,

группы

GL (я) можно рассчитать

по формулам (60).

5.6. Правила

ветвления

U(n)-*0(n)

• {M = [ M + S r ^ N .

(69)

Гл. 5.

Подгруппы

полной

линейной

группы

131

где

суммировать

надо

по

характерам

типа

[г\] и

по

характерам

типа

[б]; последние'

соответствуют всевозможным

разбиениям

на

четные числа, т. е.

разбиениям

[2],

[4], [2% [61, [42], [23],

[8], . . . .

(70)

Рассмотрим пример 5-функции

{321}; для

нужных

нам разбие­

ний, появляющихся в (70), имеем

[8] =

[2],

2Га „.[7,] =

[31] +

[212] + [22 ];

[ § Н [ П 2 Г ц х

Ы =

[2] +

[і 2 ],

и поэтому окончательно

(321} =

[321] +

[31] + [212] +

[22 ] +

[2] +

[12 1.

5.7.

Сопряженные характеры группы О (п)

Характер [0] группы О(п)

составлен

из единиц,

сопоставляемых

каждому элементу этой группы. Знакопеременный

тензор,

од­

нако, не является

абсолютным инвариантом, но

он

инвариантен

лен

из + 1 для преобразований с положительным

детерминантом

и из

—1 для преобразований с отрицательным

детерминантом.

Если

[К] обозначает любой характер группы О (л), то произведение

[Х]* = [Х][0]*

(71)

5.8. Характеры группы вращений R

(п)

При /г = 2ѵ+1

характерами

ортогональной

группы

О (я)

будут

либо

[Я], либо [К]*, так

как при

сужении О (п) -+R(n)

представле­

ния

[Я] и

[Я]* становятся эквивалентными. В этом случае простые

характеры группы О(л) будут также простыми

характерами

группы R(n)

или группы

SO(n).

характеры группы О(п)

При л = 2 ѵ и Хѵ = 0 простые

также

бу­

дут простыми характерами группы R(n).

Однако при л = 2 ѵ и

КфО

имеются самосопряженные представления группы 0(гі)

и они

рас­

падаются

на

пары

неприводимых

представлений

группы

R (л)

[50—52]. Таким образом, каждый соответствующий

характер

[Я]

группы О (л)

можно выразить

в виде

суммы

двух

сопряженных

друг другу простых характеров

[Я4] +

[Я2] группы R (л). Оба послед­

них

сопряженных

друг

другу представления преобразуются

одно

в другое

с

помощью

любого

преобразования

с отрицательным

9*

132

Б. Вайборн.'Теоретико-групповые

методы

детерминантом. Обозначать

представления

группы

R (п) в указан­

ных

парах

можно,

разбивая

характеры

[Хі,~

Ао, ...,

К]'

группы

О (л)

при действии

преобразований

группы

R(n)

по

следующей

формуле [52]:

\К К

• • -, К\' = \К

К

• •.. КШК

К

• • -,

-К}-

(72)

Так, например, при сужении U(6)-+R(6)

мы имеем

типичную

ситуацию'

(32) —

[ 3 2 1 ] ' + [ 3 1 1 ' + [ 2 1 2 ] ' + [ 2 2 1 ' + [ 2 ] ' + - [ 1 2 ] '

- [ 3 2 1 ] +

[ 3 2 - 1 ] +

[31] +

[211] +

[ 2 1 - 1 ] +

[22 ] +

[ 2 ] + [ 1 2 ] ;

здесь штрих, как и выше, использован для обозначения

характеров

группы

О (6).

R (п)

Представления

группы

более

подробно

описываются

в приложении I .

5.9. Симплектическая группа

Группа, которая оставляет инвариантным приводимый ниже не­

сингулярный линейный

комплекс

/ г ; ; ^ = ( ^ і У 2 - л ' 2 У і ) + ( - ѵ ' з У 4 - А ' 4 у з )+

. . . +{xn_xya

— xl^a_l),

(73)

называется

симплектической

группой

п независимых

переменных.

Она

обозначается

Sp(n).

Несингулярный

линейный

комплекс от­

носится к типу { I 2

} ,

и требование его несингулярности

накладывает

ограничение на число независимых переменных;

оно должно быть

четным,

т. е. равным я = 2ѵ. Знакопеременный

антисимметричный

тензор

является конкомитантом формы

и поэтому для каждого

симплектического

преобразования

детерминант

равен

+ 1 ; таким

образом, трудности, связанные с необходимостью различать

харак­

Как в случае ортогональной

группы, каждому разбиению (X)

числа п на не более чем ѵ целых

чисел

соответствует

свой харак­

тер (X) симплектической-группы

$р(п).

Характеры

симплектиче­

тической группы через S-функции. Эта формула

имеет вид

• <Х> = {Х) + 2 ( - 1 ) Р / 2 Г а 1 1 х М ,

(74)

бениуса

изображаются

символами

I

а \

I a

b \ / a

b

с \

U + 1 / '

U + i

U + i

* + і

с+\)'

( 7 5 )

Гл. 5. Подгруппы

полной линейной

группы

133

т. е. разбиениям

(I 2 ), {212 }, (31

3 ), (23 }, [414 ],

(3221), . . . .

(76)

В формуле (74) р обозначает вес 5-функции {сг}.

Рассмотрим, например, характер (321). Соответственно

(76) мы

должны рассмотреть случаи

Г) — TT (^+^ —'•+!) ч /

* ( K - \

+ k-i)(Kl

+ \ l l + 2 , - i - k + 2)

k

t

(A — i) (2м -|- 2

/г)

V '

и размерности D ^

>характеров группы

GL(2v)— / по—

формулам (60).

Отметим, что

характеры

симплектической

группы

Sp (2ѵ)

соответствующие формулы были

найдены Литтлвудом

[53], кото­

рый развил более раннюю работу Ибрагима [54]. Так, имеет

место

формула

< х > = Щ + 2 іѴѵ M - s I V м ,

(78)

в которой суммирование ведется

по характерам

[р.] и, кроме

того,

по всем характерам [£], которые

соответствуют

разбиениям

числа

/г=2ѵ на не более чем два четных

целых числа, и по всем харак­

терам [г\], которые соответствуют

разбиениям

числа п — 2ѵ

точно,

на два нечетных целых числа. Обратная формула

имеет вид

[X] = < X > + S r f ^ < | x > - 2 r a p . x < p . > ,

(79)

где суммирование ведется по характерам (ц) и по всем

характерам

(р), соответствующим разбиениям

вида

( 2 2 r l 2 s ) , за исключением та­

кого разбиения, для которого r = sf=0,

и

по всем

характерам (а),

которые соответствуют разбиениям вида

( 2 2 r + 1 i 2 s ) .

Как примеры использования формул (78), (79) можно получить

следующие разложения характеров:

<212> = [ 2 1 2 ] - [2] и [212] =

< 2 1 2 > - К 2 > - < 0 > .