ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 0
134 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы |
5.10. Правило ветвления U (я) —*• Sp (п)
Согласно Литтлвуду [50], 5-функцип, представляющие собой простые характеры группы U (я), можно разложить по характерам группы Sp (п), используя формулу
{Х) = <Х>+2.Г^<1->- |
(80) |
где суммирование ведется по характерам (ц) и по всем характерам типа (ß); последние соответствуют таким разбиениям числа п на целые числа, при которых повторяющиеся числа в каждом разбие нии встречаются обязательно по четному числу раз, т. е. это раз биения
|
|
(I2 ), |
(22), |
(I4 ), (2212), |
(З2) и т. |
д. |
(81) |
|||
|
В качестве примера рассмотрим характер |
{321} |
группы U(8), |
|||||||
для которого имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
<Р> = |
< 12>, |
2ІѴ<ц> = |
<212> + |
<31> + <22>; |
|||||
|
<ß> = |
<22 >, |
ЕГр^<|^> = |
<2> + <12> |
|
|
||||
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{321} = |
<321> + <31.> + <22> + |
<212> + |
<2> + |
<12 >. |
|||||
|
5.11. Нестандартные |
символы и правила преобразования |
||||||||
|
Формулы (64) |
и |
(74) |
позволяют |
характеры |
ортогональной |
||||
и |
симплектической |
групп выразить |
через |
5-функцни; и наоборот, |
формулы (69) и (80) позволяют 5-функцнн выразить через харак
теры ортогональной и симплектической групп. |
Символы |
характе |
|||
ров, формально |
появляющиеся |
в формулах |
для |
U{n)-+0(n) |
|
и U (п)Sр |
(п), |
где п = 2 ѵ или |
п = 2ѵ+1, часто оказываются свя |
занными с разбиениями, характеризуемыми более чем ѵ целыми чи слами, и поэтому не являются стандартными символами характеров
групп |
О (п) |
и Sp(n). |
В этих |
случаях |
при использовании формул |
(69) и |
(80) |
требуется, |
либо |
чтобы 5- |
функции с числом отдельных |
составляющих > ѵ были преобразованы в 5-функцми с числом со ставляющих <л>, либо чтобы сначала 5-функции были разложены по характерам групп О (п) или Sp(n), а потом эти разложения были преобразованы с использованием правил преобразования не
стандартных |
символов характеров |
с числом |
составляющих |
>ѵ |
|
в стандартные символы с числом составляющих ^ ѵ . |
|
|
|||
Мурнаган |
[55] сформулировал некоторые |
правила |
преобразо |
||
вания к стандартным символам для |
ортогональной |
группы, |
хотя |
общего правила найти, к сожалению, не смог. Поэтому этих пра вил Мурнагана оказалось недостаточно при рассмотрении всех встречающихся на практике случаев. Позже Мурнаган [55а] отме-
|
Гл. 5. Подгруппы полной линейной |
группы. |
|
|
135 |
||||
тил, что Ньюэлл |
[556, в] нашел такое общее |
правило, |
применимое |
||||||
как к ортогональной, так и симплектической |
группам. |
|
|
||||||
Результаты Ньюэлла для ортогональной группы |
можно пред |
||||||||
ставить двумя теоремами: одной для случая |
п = 2\> |
и |
другой |
для |
|||||
случая /г = 2ѵ + 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем формулировки этих теорем. |
|
|
|
|
|
||||
Теорема |
I . Для |
ортогональной |
группы |
0(2Ѵ ) все характеры |
[Ц, |
||||
имеющие в |
своих |
символах |
более |
чем ѵ |
составляющих, |
обраща |
|||
ются в нуль, |
за исключением |
характеров |
с символами |
вида |
... |
..., |
Ä V |
, (р)], где |
|
(р) — любое |
разбиение, |
представляемое |
|
|
одним |
|||||||||||
из символов |
|
Фробениуса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
а + 1 \ |
|
/ а + 1 6 + 1 \ |
/ а + 1 6 + 1 с + 1 |
и т. д. |
|
|||||||||||||
|
|
|
а |
) ' \ a |
|
b ) ' \ |
a |
b |
|
с |
|
|
|
|
||||||
т. е. |
|
разбиение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(2), (31), (412), (3s), (513), (431) |
и т. д. |
|
|
|
|
||||||||||
Если |
г — ранг |
разбиения |
(р) |
и а>— его |
вес, |
то имеет место |
соотно |
|||||||||||||
шение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ V . . . . К, ( p ) ] = ( - i ) w / 2 s r № . . . . . |
Kl |
|
|
|
|
|||||||||||
в котором |
е = ± 1 |
|
является |
значением |
детерминанта |
элемента |
||||||||||||||
группы. |
Другими |
словами, |
можно сказать, что в этой формуле |
надо |
||||||||||||||||
брать сопряженный |
|
характер |
группы |
Орѵ), если г |
нечетное |
число. |
||||||||||||||
Теорема |
I I . Если |
п = 2ѵ+1, |
то все характеры |
[X], имеющие та |
||||||||||||||||
кие |
символы, |
которые |
содержат более |
чем ѵ составляющих,— |
|
обра |
||||||||||||||
щаются в нуль, |
за |
исключением |
тех характеров, |
символы |
|
которых |
||||||||||||||
имеют |
вид |
[Кі, ..., |
Яѵ, |
(г))], где |
(г|) —любое |
самосопряженное |
раз |
|||||||||||||
биение, |
т. е. разбиение |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
— |
|
|
(1), (21), (22), (312), (321), (413) |
а т. д. |
|
|
|
|
||||||||||
Если |
г |
ранг |
разбиения |
(т)) и |
ш — его |
вес, |
то имеет место |
|
соотно |
|||||||||||
шение |
|
[К |
|
. . . . |
К, |
|
|
ft)]=(-ir/2-'se№. |
. . . . X , ] . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При использовании этих теорем имеется одно неудобство: соста вляющие разбиений [Хі, ..., К, (р)] и [Кі, ..., Хѵ (т))] не обязательно расположены в их стандартном порядке, т. е. это могут быть не упорядоченные разбиения. Разумеется, мы всегда можем записать составляющие символов этих разбиений в другом порядке, исполь зуя нужное число раз формулу
[К, • • -, К+і~^> ^ І + І . \ н - 2 > • • •> ^ / ï = — I ^ i . • - •> К' |
К+и |
К + 2, |
• • •> К\- |
136 |
Б. |
Вайборн. |
Теоретико-групповые |
методы |
|
|
|||||
Так, |
например, |
при |
применении |
теоремы |
I |
возникающее раз |
|||||
биение [%и ..., К-І, |
I 2 ] можно записать также в виде |
|
|
||||||||
[X,, |
. . ., \ _ ѵ |
Г-] = |
- |
[Х„ |
. . ., |
К_и |
02] = |
[ХЬ |
. . ., Х ѵ _ ,] . |
||
Еще один пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Х„ . . ., |
Хч _„ |
3«] = |
- [Хь |
. . ., |
Х ѵ _ ь |
3324] |
= |
|||
|
|
|
|
= |
[ХЬ |
Хч _,, |
3144] |
= |
|
||
|
|
|
|
= |
- І Х „ |
. . . . |
Хѵ _„ |
0444] |
= |
||
|
|
|
|
= - f X , |
|
X v _ , ] * ; |
|
|
здесь звездочка обозначает сопряженный характер.
Подобным образом можно преобразовать любой нестандартный
символ, составленный из более чем ѵ составляющих, в |
стандартный |
|||||||||||||||||
символ группы О (п), |
имеющий не более чем ѵ составляющих. |
|
||||||||||||||||
Соответствующие правила преобразования к стандартным сим |
||||||||||||||||||
волам |
для |
симплектической |
группы |
Sp (2ѵ) |
даны |
Ныоэллом |
[55в] |
|||||||||||
в виде следующей теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема |
I I I . Все |
характеры |
(К), |
символы |
разбиений |
которых |
||||||||||||
содержат более |
чем ѵ составляющих, |
исчезают, |
кроме |
тех, |
символы |
|||||||||||||
разбиений |
которых имеют вид (klt |
..., |
К, (а)) |
или |
же |
эквивалентный |
||||||||||||
вид (—l)ö / 2 (A,i, |
..., |
Хѵ). |
Здесь разбиение |
(а) |
задается |
одним из |
||||||||||||
символов |
Фробениуса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I |
а |
\ |
/ |
а |
' b |
\ |
i' |
a |
|
b |
|
|
с |
\ |
|
|
|
|
U + 1/ |
U + 1 *+ |
|
U + 1 |
|
|
c + lj "Т" д " |
|
|||||||||||
т. е. это разбиения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(I2 ), |
(212), |
(31»), (23 ), (414), |
(3221) |
и |
т. д. |
|
|
|
||||||||
Вместо |
того |
чтобы |
использовать |
сформулированные |
правила |
|||||||||||||
преобразований |
к |
стандартным |
символам |
для |
характеров |
групп |
||||||||||||
О (п) и Sp |
(п), |
можно при желании для группы U (п) |
преобразовы |
|||||||||||||||
вать 5-функции, изображаемые |
символами, |
составленными |
более |
|||||||||||||||
чем из V составляющих, |
в 5-функции, |
имеющие |
в своих |
символах |
||||||||||||||
не более чем ѵ составляющих, и затем использовать правила |
ветв |
|||||||||||||||||
ления |
U (п) |
О (п) |
или |
U (п) -»- 5р (п). |
Отметим |
при этом сначала |
||||||||||||
[7], что для |
5-функций п неизвестных переменных всегда можно |
|||||||||||||||||
использовать соотношения эквивалентности |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ІК |
х2, |
|
ю^^-к, |
|
|
х 2 - х „ , |
|
|
о) |
|
|
|
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{Х„ Х2, |
. . |
|
Х„} = {Х,-ХЯ І |
-)>„_,. |
. . . Х,-Х2 , 0). |
|
К сожалению, хотя эти соотношения применимы во многих прак тических случаях, они не исчерпывающие.
|
|
|
Гл. |
5. Подгруппы |
полной |
линейной |
|
группы |
|
|
|
|
|
|
137 |
||||||||
Мы изложим теперь общий метод для преобразования |
5-функ- |
||||||||||||||||||||||
цин, который разработал Литтлвуд |
[50]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
При |
/г = 2ѵ |
5-функцию |
надо |
представить |
в |
следующем виде: |
|||||||||||||||||
{г-{-К |
г+Х2, . . ., г + Х „ |
г |
— |
[х„ |
r - j i , _ „ |
. . ., |
г |
— |
ji,} |
(82а) |
|||||||||||||
и при n = 2v+ 1 в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
[г+Х„ |
г + Х 2 ) |
|
. . ., |
г + Х „ |
г, |
г-!*,, |
г |
|
н.,_„ |
. . ., |
г - р , } . (826) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразований с |
отрица |
|||||||||
Пренебрегая изменением знака для — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
тельными |
детерминантами, |
можно |
сказать, |
что |
значение этой |
||||||||||||||||||
5-функции не зависит |
от г; его |
|
можно |
обозначить |
через |
{К; р,}. |
|||||||||||||||||
Тогда можно написать формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
{к ѵ-) = |
[Ц Ы + 2 ( - і ) * г . г х Г Р Е , { « } |
m, |
|
|
|
|
(83) |
|||||||||||||
в которой суммирование ведется по |
всем |
|
5-функциям |
|
{а} |
и {ß} |
|||||||||||||||||
H по всем разбиениям |
(б) веса р, причем |
(е) = ( б ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В качестве примера рассмотрим разложение 5-функции |
{3212} |
||||||||||||||||||||||
при сужении U(5) -*-R (5). Прежде всего по методу Мурнагана, ис |
|||||||||||||||||||||||
пользуя формулу |
(69), |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
{3212} = |
[3212] + |
[312] 4- [221 ] 4- [213] + |
[21] + |
[ I 3 ] . |
|
||||||||||||||||
Характеры группы R(5) |
нумеруются разбиениями, в которых 5 раз |
||||||||||||||||||||||
бивается не более чем на две составляющие. |
Используя правила |
||||||||||||||||||||||
Ньюэлла, можно теперь осуществить преобразования |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
[3212 ]—0; |
[ 3 1 2 ] - [ 3 1 ] ; |
[24]— |
Щ; |
|
[212 ]-+[2]; |
|
|
[ 1 3 ] - [ 1 2 ] ; |
|||||||||||||||
поэтому |
при |
сужении |
U (5) -+R(5) |
окончательно |
получаем |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(3212 }-^[31]4-[22 ]4-[21]4-[2] + [12 ]. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Можно, конечно, поступить иначе и использовать метод Литтл- |
|||||||||||||||||||||||
вуда, согласно которому по формуле (826) |
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
{3212} = |
{ 1 + 2 , |
1 + |
1, |
|
1, |
1 - 0, |
|
1 - 1 } |
= |
|
{21; |
|
1); |
|
|||||||
отсюда, |
далее, |
с использованием формулы |
(83) |
|
получаем |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(21; 1 } = , ( 2 1 ) ( 1 ) - { 2 } { 0 } - ( 1 2 } { 0 } = |
' |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
{31) + |
(22] + |
{ 2 1 2 } - { 2 } - { 1 2 |
] . |
|
|
|
|
|
|||||||||
Теперь таким же образом запишем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(212} = |
(1 + |
1, 1 + 0 , |
1, |
1 - 1 , |
1 - 1 ) = |
{1; |
I 2 ) |
|
|
||||||||||||
и, далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{1; |
12) = |
(1) ( 1 2 } - { 1 } |
{0) = {21} + |
( 1 3 ] - { 1 ) = |
|
{21} + |
|
{ 1 2 } - { 1 } . |
138 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые |
методы |
Таким образом, окончательно получаем разложение {32Р) = {31} + {22) + { 2 1 ) - { 2 ) - ( 1 ) = [31]-Ь[22]+[21] + [2]
находящееся в полном согласии с разложением, полученным выше методом Ньюэлла.
5.12. Правила ветвления для группы G2
Ортогональная группа семи измерений 0(7) имеет своей под группой исключительную группу G2 [1, 15, 56—59]. Здесь мы не будем подробно останавливаться на описании свойств этой группы,
а просто дадим формулировку правил |
ветвления 0(7) |
->- G2 ->-/?3. |
Джадд [15] показал, что неприводимые представления группы |
||
G2 можно нумеровать максимальными |
весами (mi, m2 ). |
Веса, для |
которых т г отрицательны, |
не |
рассматриваются. Вместо них |
бе |
|||
рутся максимальные веса |
( и и |
ы2 ), для которых |
|
|
||
(и,, |
и2) |
= |
(іП\-\-т2, |
—m2). |
|
(84) |
Используя такие обозначения, запишем разложение характера |
||||||
[АДоА*] группы 0(7) по простым характерам |
(«і, ы2) группы |
G2: |
||||
[ W 3 ] = 2 ( 0 - ^ |
J+k) |
+ ( J - k - \ , |
i-j)); |
(85) |
здесь суммирование проводится по всем целым числам і, / и k, ко торые удовлетворяют неравенствам
Х , > / > Х 2 , Х 2 > у > Х 3 ) |
X 3 > Ä > - X 3 . |
|
Соотношения |
|
|
(#i«2 )=—(«и — 1 , |
« 1 + |
1), ( « 1 , —1)=0 |
il |
|
|
(й„ - 2 ) = - ( И і - 1 , |
0) |
|
следует использовать для того, чтобы из правой части удалить не стандартные символы характеров группы G2 .
Было бы, конечно, интересно провести специальное исследова
ние и выразить |
характеры группы G2 через S-функции |
и в |
резуль |
|||||
тате |
получить |
соответствующие |
правила |
ветвления и |
выражения |
|||
для |
кронекеровских произведений характеров с использованием |
|||||||
теории |
S-функций. |
|
|
|
|
|||
Ши |
Шэн-мин |
[59] построил |
в явном виде разложения |
отдель |
||||
ных характеров |
группы Gz по |
характерам |
группы R3 и |
составил |
таблицы для весов вплоть до (80). Этих таблиц нам более чем до статочно. Ши Шэн-мин использовал веса (mi, m2 ) для нумерации представлений группы G2, которые при необходимости использовать стандартные обозначения всегда можно преобразовать в таковые, используя соотношения (84).