Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

и Sp (я) очень важно знать в приложениях теории групп в теорети­ ческой атомной спектроскопии. При этом существуют следующие

характерам ортогональной или симплектической группы по форму­ лам (69) и (80).

= [41] + [312] + [3] + [21].

Для произведения (3)(12) группы Sp (6) следует использовать фор­

В рассматриваемом методе, однако, вычисления становятся чрезвычайно трудоемкими, когда приходится рассматривать раз­ биения на большое число составляющих, так что примеры произве­ дений [3] [ I 2 ] и (3)(12) совсем не показательны.

Перейдем ко второму методу. Литтлвуд [45] доказал теорему, которая позволяет быстро рассчитывать разложения произведений как для ортогональной, так и для симплектической групп.

Теорема.

Если имеет место соотношение

Формулы (866) и (86в) показывают полную эквивалентность про­ изведений характеров ортогональной и симплектической групп.

140 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

выражения характеров группы G2 через 5-функции весьма жела­ тельно.

6

ПЛЕТИЗМЫ 5-ФУНКЦИИ

До сих пор мы рассматривали произведения 5-функций двух видов, соответствующие внутренним и внешним произведениям ха­ рактеров симметрической группы. Обратимся теперь к произведе­ ниям третьего типа, так называемым плетизмам S-фунщий. Это особое произведение 5-функций было открыто Литтлвудом [47]. Математическая операция составления плетизмов, которую мы формально опишем ниже, играет исключительно важную, можно сказать, фундаментальную роль во всех приложениях теории групп в теоретической физике, позволяя существенно упростить теорию сложных атомных и ядерных спектров. Довольно странно, однако, что исключительно мощная техника плетизмов, за исключением, очевидно, двух имеющихся работ [9, 60], практически совершенно не привлекла внимания физиков-теоретиков. В этой главе мы сна­ чала кратко изложим основы теории плетизмов и затем в после­ дующих главах опишем применение ее к конкретным проблемам атомной спектроскопии.

6.1. Базисные функции и полная линейная группа GL(n)

Во всех приложениях теории групп к проблемам теоретической физики приходится рассматривать набор базисных функций ф<р,

которые преобразуются как а-строки некоторого неприводимого представления Г какой-то группы G. Из этих базисных функций Ф<Г) можно, составляя линейные комбинации, построить другие ба­ зисные функции ц>У^ представления {1} полной линейной группы CL (и), где п — размерность представления Г. Так, например, мо­ жно образовать такие базисные функции •фр1' из 41+2 собственных функций отдельного электрона; эти функции несут представление

Составляя произведения кратности г из базисных функций фЫ,

мы можем строить базисы для других неприводимых представле­ ний {К} группы GL(n), представлений, которые содержатся в раз­ ложении г-кратного кронекеровского произведения

здесь (X) —разбиения числа г, — число появлений в разложении данного неприводимого представления { к } . Как следует из (36) и

142 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

(40), целые числа fx равны степеням неприводимых представлений {X} симметрической группы 5Г порядка г\.

Неприводимое представление {X} группы GL (л) обычно ока­ зывается приводимым при сужении ее до группы G. На практике мы бываем заинтересованы в построении функций-произведений определенного типа симметрии и, следовательно, в отборе таких функций-произведений, которые образуют базис неприводимого представления группы GL(n), появляющегося в сумме 22fL{X}

в (87). После этого легко изучить разложение этого представления {ѵ} группы GL (я) при сужении GL (л) ->- G.

Поясним это более конкретно. Предположим, что Г — неприво­ димое представление {ц} группы GL(in), и пусть функции хр^ об­ разуют базис этого представления. Пусть л—размерность представ­ ления {|.і} (т^п при {uj Ф {0}). Тогда функции ср]11-} можно считать также базисом представления {1} группы GL(n). Составим теперь из функций <pj V-} произведения кратности /- и из этих функций-про­ изведений отберем базисные функции для представления {ѵ} груп­ пы GL(n), где (ѵ) —разбиение числа г. Вообще говоря, функциипроизведения являются базисом некоторого приводимого предста­ вления группы GL (я). Обозначим теперь через <р^ функции, об­ разующие базис представления {X} группы GL (m), и через |<р^'|^' функции, образующие базис представления {ѵ} группы GL (я). То­ гда, очевидно, можно написать

Этот результат можно выразить в эквивалентной форме с по­ мощью инвариантных матриц. Функции <р ^ можно представить в виде линейных комбинаций функций-произведений, составленных

из функций ф которые являются базисными функциями для пред­ ставления {1} группы GL (m). Матрица, преобразующая функции

для инвариантных матриц А^'К Инвариантная матрица для инва­ риантной матрицы, вообще говоря, приводима к прямой сумме дру­ гих инвариантных матриц А ^ , каждая из которых является ма­ трицей преобразования неприводимого представления {X} базисных

6.2. Операция составления плетизмов для S-функций

Формулу (89) можно понимать как определяющую специаль­ ную линейную комбинацию S-функций. Переходя к следам соответ­ ствующих инвариантных матриц, мы получаем соотношение

которое будем рассматривать как формальное определение опера­ ции плетизма соответствующих S-функций. Символ ® как раз обо­ значает операцию плетизма. Выражение {р,} ® {ѵ} следует читать

В качестве поясняющего примера рассмотрим случай двух ква­ дратичных форм dijxtxi и Ьцх*х1, обе симметрийного типа {2}. Если мы составим билинейные произведения этих двух форм, то получим новые формы, имеющие симметрийный тип, содержащийся в произ­ ведении

которые имеют соответственно симметрию {4} и {22 }. Одна форма будет ансисимметричной; это форма

ацЬктх1кх>хт,

которая имеет симметрию {31}. Обе симметричные формы содер­ жатся в плетизме

|2}®{2} = {4} + {22 };

антисимметричная форма — в плетизме (2)® {12) = {31}.