ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 0
144 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы
Хотя в основном мы будем заниматься плетизмами в приложе нии к линейной группе и ее подгруппам, стоит отметить, что сама операция плетизма очень естественно интерпретируется как опера ция составления симметризованных внешних произведений непри
водимых представлений симметрической группы Smn, |
индуцирован |
||
ных |
неприводимыми представлениями {i-i} X {^} X ••• |
(п множите |
|
лей) |
подгруппы SmXSmX |
(п множителей) [61,62]. |
|
|
|
6.3. Правила составления |
плетизмов |
Операция плетизма дистрибутивна по правой компоненте в от ношении сложения, вычитания и умножения. Предполагая, что опе рация плетизма всегда выполняется прежде обычного умножения, которое всегда выполняется раньше сложения, можно записать сле дующие формулы, выражающие правила оперирования с плетиз
мами:
1. |
А ® ( £ С ) = ( А |
® В) (А ® С ) = А ® £ А ® С; |
(91) |
2. |
А ® (В ± С)=А |
®В ± А ® С; |
(92) |
3. |
(А ® В) ® С=А |
® (В ® С). |
(93) |
Операция плетизма не дистрибутивна в отношении сложения, вы читания или умножения по левой компоненте.
Литтлвуд [13, 27] вывел другие, приводимые ниже правила опе рирования с плетизмами, позволяющие построить полную алгебру плетизмов:
4. |
|
— |
|
|
(М = ѵ г м ( А |
® Ы ) ( 5 |
® Ы); |
(94) |
здесь |
Гцѵх |
коэффициенты перед Ш |
в разложении |
произведения |
||||
W W ; |
|
|
|
|
|
|
||
5. |
( А - Я ) ® { Х ) = 2 ( - 1 ) г І Ѵ ѵ х ( А ® |
M ) ( ß ® р } ) ; |
(95) |
|||||
здесь |
{ѵ} соответствует разбиению числа г, сопряженному разбие |
|||||||
нию |
{ѵ}; |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
(AB) |
® |
|
{ M = S ^ v * ( A ® |
M) (В ® {ѵ}); |
(96) |
||
здесь |
^цѵя. |
|
|
коэффициенты |
перед {к} |
в разложении |
внутреннего |
|
произведения |
{ц.} ° {ѵ}. |
|
|
|
||||
Подчеркнем,— |
что в последних формулах символы, стоящие в ле |
|||||||
вых частях, не обязательно должны быть 5-функциями; они могут быть любыми функциями соответствующих переменных. Например, это могут быть функции, преобразующиеся по любому представле нию какой-либо подгруппы группы GL (п).
Гл. 6. Плетизмы S-функций |
145 |
6.4. Вычисление плетизмов .S-функций
Зиа-ад-Дин [64] и Ибрагим [65—67] составили таблицы для разложений плетизмов {м-}® {ѵ} для всех разбиений вплоть до по рядка 18. Много примеров плетизмов можно найти также в статьях Литтлвуда [63]. Вообще было предпринято немало попыток разра ботки методов эффективного вычисления плетизмов S-функций [68—84а]. Здесь мы кратко остановимся только на самых важных.
Приведем четыре теоремы, которые позволяют получать явные выражения для разложений рассматриваемых плетизмов.
Теорема I [63]. Пусть имеется явное выражение для плетизма
W ® W = S { v } .
тогда имеет место формула
(97)
В предположении, что разбиение (я) —это разбиение на однуединственную составляющую, выражение (97) существенно упро щается и мы получаем
2 r K v { c ] = w ® і * - і ) Г 2 г 1 7 х { Т ] |
(98) |
С, V |
|
Сформулированную теорему обычно называют «третьим мето дом Литтлвуда». Теорема дает возможность определять S-функции {ѵ}, появляющиеся в разложении рассматриваемого плетизма, пу тем отыскания в сумме 2]Гі£Ѵ {£} S-функций, которые получаются при удалении всеми возможными способами по одной ячейке из диа грамм, соответствующих S-функциям, появляющимся в этом раз
ложении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правые части формул |
(97), |
(98) обычно очень |
легко |
раскрыть |
|||||||||||
в явном виде; нужно только знать |
соответствующие {ѵ}, |
входящие |
|||||||||||||
в левые части этих формул. Отыскивать такие |
{ѵ} помогает |
тео |
|||||||||||||
рема I I , доказанная Ибрагимом |
[84]. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема I I . Определим |
главную |
часть |
произведения |
|
двух |
S- |
|||||||||
функций |
{а} |
и {ß} как S-функцию |
{cci + ßi, |
a2 + ß2, cc3 +ß3, . . . } . |
То |
||||||||||
гда |
можно утверждать, что главные |
части произведений |
|
S-функций, |
|||||||||||
встречающихся |
при |
раскрытии |
произведения |
плетизмов |
( {À} 0 |
||||||||||
® {ш})({(.і} ® {и}), |
те же самые, |
что возникают |
при |
разложении |
|||||||||||
плетизма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{*l + |
t*l. |
*2+14. |
^з+^з . • • •) ® |
М . |
|
|
|
(99) |
||||
если |
только х ^ х 0 1 1 ^ Х(ѵ). |
где |
%^\ %(ѵ) — характеры |
симметриче |
|||||||||||
ской |
группы |
порядка |
ni, |
|
соответствующие |
разбиениям |
(и), |
(ц) |
и |
||||||
(ѵ) |
числа |
п, а |
(І) и (и.) могут быть любыми |
разбиениями. |
|
|
|
||||||||
Ю |
За к. .Y» 279 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
146 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы |
Ибрагим [68] указал на три важных частных случая сформу лированной теоремы.
1) Главные части произведений 5-функций, появляющиеся в произведении плетизмов
|
|
( W ® N ) ( M ® |
(іп1). |
ООО) |
||
— это |
слагаемые |
в разложении плетизма {Яі + рі, Яг+рг, Яз + рз, |
••• |
|||
. . . } ® { I ' 1 } , где |
(я)—тривиальное |
разбиение на единственную |
со |
|||
ставляющую. |
|
|
|
|
|
|
2) |
Главные части произведений |
5-функций, появляющиеся в про |
||||
изведении плетизмов |
|
|
|
|
||
|
|
(IM® И К Ы ® |
M ) , |
(loi) |
||
— это |
слагаемые |
в разложении плетизма {Яі + ц.і, Яа+рг, Яз+рз, . . . |
||||
...}® |
{п}. |
|
|
|
|
|
3) Главные части произведений 5-функций в произведении пле |
||||||
тизмов |
|
|
|
|
|
|
|
|
( М ® { 1 " ) ) ( Ы ® |
{!"}). |
002) |
||
•—это |
слагаемые |
в разложении плетизма {Яі + рі, Я2 +р,2 , Я3 + р3 , . . . |
||||
. . . } ® |
{ " } . |
|
|
|
|
|
Приведенные |
формулы позволяют найти те 5-функции, |
которые |
||||
могут появиться при раскрытии плетизмов, однако они не позво ляют точно сказать, появляется ли данная 5-функция (и сколько раз) в разложении плетизма. Однако приведенных формул обычно достаточно для однозначного определения всей совокупности 5- функций {ѵ}.
Теорема I I I |
[68]. Главные |
части |
произведений |
S-функций, |
воз |
|||
никающие |
при раскрытии произведения |
|
плетизмов |
|
||||
|
|
|
( W ® N ) ( W ® |
W). |
|
(ЮЗ) |
||
появляются |
как |
отдельные слагаемые |
в |
плетизме |
|
|
||
|
|
[Ц |
® К + Ѵ , , |
Сі>2 + Ѵ2 , |
ш 3 + ѵ3 , . . |
. ] . |
|
|
Теорема IV |
[61, 63]. Пусть |
{Я} —разбиение числа г и пусть |
име |
|||||
ет место |
формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M® |
W = S W ; |
|
|
||
тогда при |
четном г |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р } ® |
М = 2 { ѵ } |
|
(104) |
||
и при нечетном |
г |
|
|
|
|
|
|
|
{ Î } ® H = 2 R - |
(105> |
Гл. 6. Плетизмы S-функций |
147 |
Литтлвуд [63] получил две формулы, помогающие при вычисле нии некоторых простейших плетизмов. Если л — целое число, то
{«} ® {2) = {2л} + |
[ 2 я - 2 , |
2) + { 2 л - 4 , |
4 } + . . . , |
|
(106) |
||||||||||||||
причем разложение в правой части кончается на |
( л + 1 ) / 2 |
или (л + |
|||||||||||||||||
+ 2) /2 слагаемом. Если л — целое число, то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(л) ® |
[12 } = |
( 2 л - 1 , |
1} + |
|
[ 2 л - 3 , |
3 ) + |
. . ., |
|
(107) |
|||||||||
где разложение оканчивается |
на |
( л + 1 ) / 2 |
или |
л/2 слагаемом. |
|||||||||||||||
Если использовать формулы (106), (107) |
и теорему |
IV, то легко |
|||||||||||||||||
заключить, что при нечетном |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
{1"} ® |
(2) = |
{2, |
12 «-2 ] + |
|
{23 , |
1 2 " - 6 ) + . . . |
|
|
(108) |
|||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{1«} ® (12) = |
{12"} + {22 , |
1 2 " - 4 |
| + |
(2", |
l 2 " - s } + |
. . .; |
(109) |
||||||||||||
причем оба |
разложения |
оканчиваются |
( л + 1 ) / 2 слагаемым; |
при л |
|||||||||||||||
четном |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{1«} ® {2} = |
{1-"} + {22 , |
12 "-4 } + |
{24 , |
1 2 |
" - 8 } + |
. . ., |
(НО) |
||||||||||||
причем разложение оканчивается |
( л + 2 ) / 2 слагаемым, и |
|
|
||||||||||||||||
{ I я } ® |
{12} = |
{2, 12 "-2 } + |
|
(23, |
12 "-6 } + |
{25 , |
1 2 |
" - 1 0 ] + . . ., |
(111) |
||||||||||
где разложение кончается на л/2 слагаемом* |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.5. |
Размерность плетизма |
|||||||
Правильность получаемого разложения |
плетизма |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ІМ® М=2М |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
легко проверить, вычисляя размерность /Ѵ 1 |
' |
1 |
данного |
плетизма. |
|||||||||||||||
Робинсон |
[11, 61], |
используя |
|
интерпретацию |
операции |
плетизма |
|||||||||||||
в рамках симметрической группы, показал, что |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
/ |
m |
e |
w |
) _ _ ^ ( |
/ |
w ) |
v i . 1 ; |
|
|
( 1 1 2 ) |
||||||||
здесь m и л — веса разбиений |
(À) |
и |
(\х) |
соответственно, или |
просто |
||||||||||||||
те числа, которые разбиваются на убывающие положительные чи
сла |
этими разбиениями, f ^ ' и |
—размерности |
представлений |
|
{X} |
и {р.} симметрических групп порядка ml и л! |
соответственно. |
||
В |
правильности |
разложения |
плетизма убедимся, |
устанавливая |
справедливость |
равенства |
|
|
|
/ { 4 * W > = 2 / { , , } . |
(ИЗ) |
