ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 147
Скачиваний: 0
148 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы |
6.6. Примеры плетизмов «S-функций
Рассмотрим теперь несколько примеров, показывающих, как ис пользовать сформулированные в предыдущем разделе теоремы.
Для того чтобы рассчитать плетизм
(31}®{2}=2М,
применим сначала теорему I и рассчитаем величину
2 Г К ѵ ( С } = |
({31)® {1})(2Г1 ( 8 1) { т })=={31}(|3} + |
{21})= |
||||
= |
{61}+2 (52}+2 (51 2 }+2 (43}+3 (421} |
+ |
||||
+ |
{413 }+2{32 1} + {322} + |
(3212}. |
|
|
||
Найдем теперь S-функции |
{ѵ}, которые |
появляются |
в |
разложений |
||
Используя теорему I I |
[выражения |
(101), (102)], |
легко видеть, |
|||
что плетизм {31}® {2} должен включать S-функции, |
появляющиеся |
|||||
как главные части в разложениях произведений |
|
|
||||
({2)® {2})((12 }® (2)) и ([2}® (12 ))((12 )® |
[2)), |
|||||
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
(31) ® {2} = [ 2 + 1 , 0 + 1 } ® {2}. |
|
|
|||
Теперь, используя |
формулы |
(106) и (ПО), находим, |
что |
произведе |
||
ниям |
|
|
|
|
|
|
({2} ® |
{2})({12 } ® |
{2})=({4} + |
{22 })({1<] + |
{22 }) |
||
соответствуют главные части {62}, {513 }, {42 } и {32 12 }. Используя формулы (107) и (111), мы находим, далее, что
((2}®{12 })((12 }® {12 })={212 } {31};
главная часть появляющегося |
в правой части произведения равна |
|||||
{521}. |
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, плетизм |
{31} ® {2} обязательно |
содержит |
|||
S-функции |
{62}, {513 }, {4 2 }, {32 12 } |
и |
{521}. Определим |
теперь раз |
||
биения (£), появляющиеся в сумме £ Г і £ ѵ { и , |
из вида приведенных |
|||||
S-функций. Для этого надо удалить всеми возможными |
способами |
|||||
по одной ячейке из соответствующих |
этим |
функциям |
диаграмм |
|||
Юнга; таким образом мы получим, что |
|
|
||||
|
{62}-Ч61} + |
{52}( |
|
|
||
|
{513} — {512} + |
(413 }, |
|
|
||
|
( 4 2 } - ( 4 3 ) , |
|
|
|
|
|
Гл. 6. Плетизмы S-функций |
149 |
||
{32 12 } — {321} + |
{32121, |
|
|
{521}-Ч52) + |
{512} + |
{421}. |
|
Так можно получить все 5-функции в вычисленном |
выражении |
||
для суммы 2] Гі£Ѵ{С}, кроме S-функций |
|
|
|
(43}+2{421} + |
{32 l} + |
(322 ). |
|
Однако очевидно, что имеют место соотношения |
|
||
(422) - { 4 2 1 Ж 3 2 2 ] , |
|
|
|
{431)-{421} + |
{43) + |
{32 1), |
|
которые позволяют понять происхождение остающихся |
S-функций. |
||
Окончательно будем иметь |
|
|
|
(31) ® (2} = (62) + {5211 + {513 )4-{42 ) + (431} + {422 ! + {32 12 );
последнюю формулу можно проверить, если использовать формулу (113), согласно которой получим
/ Ü 3 1 } ® (21) = 3 1 5 = 2 0 + 6 4 + 3 5 + 1 4 + 7 0 + 5 6 + 5 6 .
Пользуясь формулой (104), из полученного разложения для плетизма {31} ® {2} сразу получаем разложение другого плетизма
{212} ® {2) = {22 14 ) + {3213) + {414) + {241 + {3221) + {32 12 ] + {422 }.
7
ПЛЕТИЗМЫ ДЛЯ ХАРАКТЕРОВ ПОДГРУПП ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ
До сих пор мы рассматривали только плетизмы 5-функций, от носящихся к полной линейной группе GL(ti). Теперь можно легко определить . плетизм характера какой-либо подгруппы группы GL (п) с некоторой 5-функцией, выражая этот характер через «S-функцию и затем используя формулы (94), (95).
Так, например, возьмем плетизм
[31]® {2},
вкотором [31] — характер группы 0(5). Используя формулу (64), находим для этого плетизма выражение
[31] ® [ 2 ) = [((31} + [ 0 } ) - ( [ 2 } + [12 })] ® [2], |
|
|
|
||||||
которое после применения формулы |
(95) приводится к виду |
|
|
||||||
(|31] + {0))® |
{2}+((2} + {Р])® |
(Г-)_((31} + [0})({2] + |
|
!12 }). |
|
||||
Пользуясь формулой (94), отсюда легко получить следующее |
|||||||||
развернутое выражение: |
|
|
|
|
|
|
|||
[31) ® (2) + |
{0} + |
[31) + {2) ®{l2 )-f-{l2 } ® [12 ) + {2) (I2 ) - |
|
||||||
|
- |
[31} {2} - |
{31 ] [Г-) - |
(2} - {Г-] = [ 6 2 Ж 5 2 1 |
) + |
|
|||
|
+ 5 1 3 ) + {42 ] + {431 ) + |
{422 )-4-{32 12 ] + 3 { 3 1 ) |
+ |
|
|
||||
|
+ 2 {2Г-) + {0] - {51) - |
2 {42 ) - 2 |
{412} - {З2) |
- |
|
|
|||
|
- 2 { 3 2 1 ) - { 3 1 3 ) - { 2 ) - { 1 2 ] . |
|
|
|
|
||||
Разлагая появляющиеся здесь 5-функции |
по характерам груп |
||||||||
пы 0(5) с использованием |
формулы |
(69) и преобразуя нестандарт |
|||||||
ные символы к стандартным, получим окончательно |
|
|
|
||||||
[31 ] ® {2} = [62] + |
[6] + |
[52] + [51 ] + [5] + |
[42 ] + [43] + |
3 [42] |
+ |
||||
+ |
[41 ] + 2 |
[4] + 2 [32] + |
[31 ] + [3] + 3 [22 ] + [21 ] |
+ |
|
||||
+ 2 [ 2 ] + [1] + |
[0]. |
|
|
|
|
|
|||
Подобным образом можно найти плетизмы с характерами симп- |
|||||||||
лектической группы. Например, для группы Sp/t имеем плетизм |
|
||||||||
<22> ® { 2 ] = ( { 2 2 ) - { 1 2 ) ) ® |
(2) = {22 ) ® (2) + {12) ® ( 2 ) - { 2 2 ) |
(12) |
= |
||||||
= |
{42 ) + {422) + |
{32 12 ) + {24 )-4-{212 ) - |
{З2) - {321} |
- |
|
||||
- |
{ 2 2 1 2 } = = < 4 2 > + |
<4> + <22> + <0>. |
|
|
|
|
|||
Гл. 7. Плетизмы для характеров подгрупп |
151 |
Вообще говоря, расчеты плетизмов с характерами |
|
подгрупп |
||||||||||||
группы |
GL (ri) очень трудоемки. |
|
Их |
можно, однако, |
значительно |
|||||||||
упростить, если использовать теоремы, доказанные |
Литтлвудом |
|||||||||||||
[45], для плетизмов |
[А,]® {р,} и |
(А)® {ц.}, где (ц) |
—разбиения |
чи |
||||||||||
сла 2. Эти теоремы позволяют быстро разлагать |
кронекеровские |
|||||||||||||
квадраты характеров ортогональной и симплектической |
групп на |
|||||||||||||
их симметричные и антисимметричные компоненты. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема I . Если |
(и.) — разбиение |
числа |
2, то имеет |
место |
фор |
|||||||||
мула |
|
|
|
[Ц ® Ы = 2 і Ѵ М , |
|
|
|
(И4> |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
по которой может быть составлена |
другая |
формула: |
|
|
|
|
||||||||
£іѴ, |
[V} = 2 ( i w h ) ) ® и |
+2 г^Дс, ы |
[ц |
|
|
(ѵ)) ф (с); |
||||||||
суммирование |
ведется |
по всем |
соответствующим |
S-функциям |
{g}r |
|||||||||
Ш , |
в последней |
|
сумме учитывается только одно |
слагаемое |
из |
|||||||||
пар слагаемых |
с переставленными |
|
{ц} |
и {£}. |
|
|
|
|
|
|||||
Теорема |
I I . Если |
(JA) —разбиение числа 2, то имеет место фор |
||||||||||||
мула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
<Х>® М=2І Ѵ , < ѵ > , |
|
|
|
(115) |
||||||
2 г*, {v)=S(r№ Ы) ® ( Ы ° {eD+SiWiVhl |
|
{ С ] , |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
причем |
( е ) = ( 2 ) , если |
(£) четного |
веса, и |
(е) = (12 ), |
если |
(\)~не |
||||||||
четного |
веса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При использовании этих двух теорем важно иметь в виду, что |
||||||||||||||
если коэффициент Ть^ |
= п, то |
V^{r\) |
= {rj} + {г)} + |
. . . + |
(г)} (п |
сла- |
||||||||
лаемых). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1. Интранзитивные группы |
|||||||
Интранзитивной |
группой |
[13, 50] называется группа |
преобразо |
|||||||||||
ваний двух наборов независимых переменных в том случае, когда каждый набор преобразуется своей собственной базисной группой. Таким образом, интранзитивная группа — это прямое произведение двух групп и характеры и представления этой группы являются произведениями отдельных характеров и представлений базисных групп. Характер интранзитивной группы поэтому можно записать в виде AB', где А и В' —характеры базисных групп.
Плетизмы характеров интранзитивной группы можно легко по строить, используя формулу (96) для произведения функций неза висимых переменных, т. е. записывая
(AB1) ® м=2^рДЛ ® {«})(£' ® IP})- |
(116) |
152 |
Б. Вайборн. |
Теоретико-групповые методы |
|
|
||||
Так, например, для приводимых ниже плетизмов имеем |
|
|||||||
({1} (1)')® |
[3) = |
{31 (3}' + {21) (21}'+{1 3 ) |
{ I 3 } ' , |
|||||
({2} {2}') ® { 2 } = ( | 2 } |
® |
{2})(|2}' ® |
{2}) + ({2} ® |
(12 })((2}' |
® { 1 2 } ) = |
|||
= |
({4} + |
{22 })({4]' + |
{22 }')+{31} |
(31}' = |
{4) |
{4)' + |
||
+ |
{4) {22 }'-f-(22 } {4)' + {22} {22 )' + |
{31} |
{31}'. |
|||||
Ниже мы покажем, что исследовать интранзитивные группы преобразовании важно в тех случаях, возникающих в физических приложениях, когда система распадается на независимые части, как в случае спиновых и пространственных координат частицы, и когда мы легко видим результат применения независимых группо вых операции для каждой составной части системы.
7.2. Спинорные представления
Наряду с истинными представлениями ортогональной группы, имеющими ясную геометрическую интерпретацию, имеются сущест венно двузначные представления, известные под названием спинорных представлений [51, 52]. Спинорные представления ортогональ ных групп очень важны в квантовомеханической теории углового момента. Например, в случае трехмерной группы вращений истин ные представления задаются характерами [0], [1], [2], [3] и т. д.; они даются 1-, 3-, 5-, 7- и т. д. строчными представляющими группу матрицами соответственно. Представления матрицами, имеющими
четное число строк, — это спинорные |
представления, |
причем пред |
ставление [1/2] называется базисным |
спинорным |
представлением. |
Прямое произведение спинорного представления самого на себя дает истинное представление; прямое произведение спинорного представления и истинного представления дает спинорное предста вление. Таким образом,
|
|
№ |
[3/2] = |
[і1 + [2], |
|
|
|
|
|
[ 3 Ш і ] = [ 7 2 Ж 3 / 2 ] + [5 /2 ]. |
|
|
|||
Спинорные представления ортогональной группы даются матри |
|||||||
цами преобразования, |
которые |
индуцируют ортогонального типа |
|||||
преобразования |
системы антикоммутирующих |
базисных |
матриц |
||||
с квадратами, равными единичным матрицам. |
|
|
|||||
Рассмотрим |
совокупность |
2ѵ+1 антикоммутирующих |
матриц |
||||
Еі, Ег, |
..., Е2ѵ+і- Они удовлетворяют соотношениям |
антикоммутации |
|||||
|
|
|
\ E h |
£ ; } = ± 2 8 у / . |
|
|
|
Для |
любого ортогонального |
преобразования |
|
|
|||
Гл. 7. Плетизмы для характеров подгрупп |
153 |
всегда можно найти такую матрицу Т, для которой
Всевозможные матрицы Т, обладающие указанным свойством, об разуют базисное спинорное представление группы. Это представле ние двузначно, поскольку матрицы преобразования Т и — Т соот ветствуют одной и той же операции группы, так как
(—Т)~1ЕІ(—Т)= Т~ХЕ{Т.
Матрицы ЕІ, которые образуют базис базисного спинорного представления группы п = 2ѵ или / г = 2 ѵ + 1 переменных, должны иметь по 2ѵ строк для того, чтобы удовлетворять антикоммутацион ным соотношениям. Поэтому матрицы Т, образующие базисное спи норное представление, должны также иметь по 2ѵ строк. Из следов матриц Т мы можем составить базисный спинорныйхарактер, ко торый будем обозначать через [(Ѵг)4']-
Подробности в отношении свойств спинорных представлении чи-, татель найдет в приложении I .
7.3. Трехмерная ортогональная группа 0(3)
Представления этой группы, истинные и спинорные, особенно важны в атомной спектроскопии. Исходя из очевидных формул
Ш ® |2} = |
[1], |
|
|
|
Ш ® { 2 } ® |
{2] = ['/2 ]®({4} + |
{ 2 2 } ) = |
|
|
|
= = [ 7 2 ] ® {4} + |
[0] = |
{2) = [2] + |
[0], |
имеем |
|
|
|
|
и вообще |
Ш ® |
|4} = |
[2] |
|
|
|
|
|
|
|
1'/2 ]®{"} = |
11 /2 «]. |
(117) |
|
Таким образом, существует изоморфизм между трехмерной ор тогональной группой и двумерной полной линейной группой. Пред ставления [п] группы 0(3) соответствуют представлениям {2п} группы GL (2). Следовательно, базисному спинорному представле нию [! /2 ] группы Яз соответствует 5-функция {1} группы GL (2).
Наличие такого изоморфизма делает тривиальной процедуру вычисления произведений и плетизмов спинорных представлений
для трехмерной ортогональной группы. |
|
|
|||||
Рассмотрим, например, плетизм |
[3 /2]®{4}. Соответствующий |
||||||
плетизм |
в двумерной полной линейной |
группе — это |
плетизм |
||||
{3} ® {4}, для которого имеем |
разложение |
{822} + {741} + |
|
||||
{3} ® |
{4} = |
{12} + |
{10 • 2} + |
{93} + |
(84} + |
{62} + |
|
|
+ |
|642} + |
{43 }. |
|
|
|
|
