ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 149
Скачиваний: 0
154 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы |
После отбрасывания 5-функций, имеющих более двух символов, с учетом эквивалентности 5-функций {ai, сг2} и —а2 } получаем, что
{3}® {4) = {12) + {8} + {6] + {4} + {0), •и, следовательно,
[ 3 / 2 ]® [4} = [6] + [4] + [31 + [2] + [0].
Подобным образом можно рассчитать другой приводимый ниже ллетизм:
Ш ® U4} = {3} ® (14} = |
|913} + |
(831} + |
{741} + |
!7312} + |
(62} |
+ |
+ |
[642} + |
(632) + |
(5312} + |
[5321} + |
[З4} |
= |
={0} = [0].
7.4.Четырехмерные ортогональная группа 0(4) и группа
вращений /?(4)
Базисный спинор для полной ортогональной группы четырех пе ременных имеет размерность 4; обозначим его [7г, 7г]'. Характеры кг]' четномерной полной ортогональной группы разлагаются на пары сопряженных характеров соответствующей группы вращений,
•если только À 2 ^ 0 . Таким образом,
[Х„ |
Х2 ]' = |
[Х„ |
Х2] + [Х1; |
- Х 2 ] |
|
(118) |
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
Vk V 2 ] ' = Ï V 2 . |
ѴгІ + ІѴг, - Ѵ 2 ] . |
|
||||
Как показал Литтлвуд [52], существует изоморфизм 2: 1 между |
||||||
•четырехмерной группой вращений и сдвоенной |
двумерной |
полной |
||||
.линейной группой и, в частности, |
|
|
|
|
||
[72 , 7г] ® If) [72 , |
- 7 2 ] |
® |
\q) = Vh(p |
+ q), |
Ч2{Р-9)]. |
(119) |
Пусть теперь {к} обозначает 5-функцию от корней двухрядных •спиновых матриц, соответствующих представлению с характером {7г, 7г}, и пусть {р,}' обозначает такую 5-функцию, соответствую щую характеру [7з, —7г]. Характеры сдвоенной бинарной группы будут тогда даваться произведениями {к} {р.}'.
Мы можем, таким образом, установить взаимно однозначное со ответствие между характерами сдвоенной двумерной полной линей ной группы и четырехмерной группы вращений, полагая
[a, |
b]-»{a+b){a-b)', |
(120) |
[а\{Ь\'-^[Ц2{а |
+ Ь), |
Ц2{а-Ь)\. |
(121) |
Гл. 7. Плетизмы для характеров подгрупп |
155 |
Формулы (120), (121) можно взять за основные при расчетах кронекеровских произведений и плетизмов характеров четырехмер ной группы вращений. Так, например, для кронекеровского произ ведения [21] [2,—1] имеем
{ 3 } { l } ' { l ) { 3 ) ' = ( { 4 } + (31})({31j'+{4}') = ({4} + {2})({2}' + {4}') = = (4) [2)' + {4) {4}' + { 2 } { 4 } ' + | 2 } {2}';
следовательно, [21] [2, _ 1 ] = [31] + [4] + [3, - 1 ] + [2].
Используя формулы (120), (121), можно легко получить общее правило для разложения кронекеровских произведений четырех мерной группы вращений [84а]:
t и
|
[а, |
Ь\\с, |
d] = 2 |
2 [ а + с - а - р , |
ô + û f - a + p ] , |
|
(122) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
а =0 |
ß = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем |
здесь |
t означает наименьшее |
из чисел а + Ь и c+d |
и м — |
||||||||||||||
наименьшее из чисел а — b и с — d. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рассуждая аналогично, можно рассчитать плетизм |
[21]-® |
{ I 2 } , |
||||||||||||||||
полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[21] ® |
{ 1 2 |
} - { 3 ] |
{1}'® |
(1 2 }=({3) |
® |
{ 1 2 ) ) ( 2 ) ' + ( { 3 } ® |
(2))(12 } |
= |
||||||||||
|
|
|
=((51) + |
{3 2 })(2}'+({6} + {42} + |
{23}){12 }' |
= |
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
((4} + |
(0)){2}' + |
((6} + |
{2)){12 )' |
= |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
(4) |
{2)' + { 0 } { 2 } ' + [ 6 } |
{0}' + |
|
{2} (0}'; |
|
|
|
|||||||
здесь для |
преобразований |
использовались формулы (106) и (107). |
||||||||||||||||
С помощью формулы |
(121) |
окончательно получаем, что |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
[21]® {12} = |
[31] + |
[1, |
_ і ] + |
[33] + |
[11]. |
|
|
|
|||||||
Подобным образом можно получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
. |
[2, - 1 ] ® { 1 2 ) |
= [3, - 1 ] |
+ |
[1, |
- 1 ] |
+ |
[3, |
- 3 ] + |
[11]. |
|
||||||||
Полезно |
отметить, |
что |
если |
[21]' — характер |
полной четырех |
|||||||||||||
мерной ортогональной группы, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
[21]'® |
(12 )=([21] + [2, - 1 ] ) ® { 1 2 |
] = |
[21]®(1 2 } + [21][2, |
- 1 ] |
+ |
|||||||||||||
|
|
+ |
[2, - 1 ] ® { 1 2 |
} = [ 4 ] + 2 [ 3 1 ] + 2 [ 3 , |
- 1 ] + |
[33] |
+ |
|
||||||||||
|
|
+ |
[3, _ 3 ] + 2 [ 1 1 ] + 2 [ 1 , |
- 1 ] = |
|
[ 4 ] ' + 2 [ 3 1 1 ' |
+ |
|
|
|||||||||
+[33]'+2[11]' .
156 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы |
7.5. Шестимерная группа вращений /?(6)
Эта группа важна при теоретико-групповом исследовании кон фигурации (d+s)n. Как заметил Литтлвуд [52], группа R (6) изо морфна четырехмерной полной линейной группе, и в частности
1 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ] ® { ^ г ) = [Ѵа(/» + ^ - г ) , |
1Ш-Я-г)\. |
|
(123) |
Поэтому, учитывая выражение (91), мы можем использовать соот ветствие [84а]
[abc] |
{a+b, |
а —с, Ь — с], |
(124) |
[аЬс\-~Ша+Ь-с), |
' / 2 ( a - ô + c), %{a-b-c)\, |
(125) |
|
для того чтобы рассчитывать кронекеровские произведения и плетизмы характеров группы R(6). Например, используя (124) и (125), легко получить, что
[111] [111] = [222] + [211] + [200],
[11, — I I [11, - 1 ] = [22, - 2 ] + [21, - 1J + I200], [111] [11, - 1 ] = [000] + [220] + [110];
поэтому для полной ортогональной группы 0(6) имеем
[ Ш ] ' [ Ш ] ' = [ 1 П ] [111] + [П, - 1 1 111. —11-1-2 [111] [11, - 1 ] = = [222]' + [211]'+2 [220J+2 [200J+2 [1101+2 [0001.
Соответствие (124), (125) очень ценно для расчетов плетизмов группы R{Q). Так, например,
[211] ® |
(2) —[210] ® {2! = |
{421 + |
(3131 + |
{221 + (321] = |
|
|
= |
[311] + |
[111] + |
[200] + |
[210]. |
|
7.6. |
Правила ветвления и плетизмы |
|||
Выше было описано, как рассчитывать разложения |
характеров |
||||
при сужениях |
групп U(n)-*-0(n), |
U(n) |
-*-Sp(n) |
и 0(7) |
->-G2 . Од |
нако в приложениях теории групп к проблемам теоретической атом ной спектроскопии часто оказывается необходимым знать также и другие разложения характеров неприводимых представлений груп пы п измерений при сужении ее до подгруппы меньшего числа измерений или при сужении ее до подгруппы, являющейся прямым
произведением групп, действующих |
на независимые переменные. |
|||
Так, например, |
нужно знать разложения при |
сужениях групп |
||
Uu+i-^SUzXRzi+u |
R&M-^-SUzXSpki+z, |
Spu+2-y SUzXRzi+u |
#2ш->-/?з, |
|
Re—>-Rs, G2 ->-i?3, |
которые широко используются |
в теории |
сложных |
|
спектров. |
|
|
|
|
Гл. |
7. Плетизмы для |
характеров подгрупп |
157 |
Д ж а дд [15, 85, |
86] рассчитал |
результаты многих |
разложений, |
опираясь главным образом на соображения размерности; он начи нал с тривиальных разложений и переходил ко все более и более сложным. При таком способе действий, однако, вычисления часто оказываются очень громоздкими и не всегда однозначными. Алге бра плетизмов Литтлвуда позволяет дать простое и полное решение всей этой проблемы в самом общем виде.
Рассмотрим группу G, имеющую собственную подгруппу Я. Ха рактер неприводимого представления группы G, соответствующего разбиению (1),'всегда тривиально разлагается по характерам ее подгруппы Я . Например, очень легко установить следующие резуль таты:
£ / « + 2 - З Д Х Я и - и |
{!} — [ Ѵ 2 Г [1], |
(126) |
|
R8l+4->SU2XSp«+2 |
|
Ш - Ч Ѵ з Г О ) , |
(127) |
Spil+2-~SU2XRu |
+ i |
< 1 > - Ч Ѵ 2 ] ' [ 1 ] , |
(128) |
# 2 ( + і - Я з |
|
[ l ] - * f f l . |
(129) |
Я б - Я б |
|
[ 1 ] - [ 1 ] + [0], |
(130) |
02 -*/?3 |
|
( Ю ) - [ 3 ] . |
(131) |
Обозначим теперь символами -fcX} характеры группы G и сим волами -(р> характеры ее подгруппы Я . Тогда оказывается спра ведливой следующая теорема.
Теорема. Если |
при сужении |
G - ѵ Я |
характер |
{1} разлагается |
по формуле |
|
|
|
|
|
тіт— «аЭ- + |
-(Р)-+ . • . +<<»h |
|
|
то характер -Щ- |
группы G разлагается |
по тем |
характерам -(р> |
|
группы Я, которые встречаются |
в плетизме |
|
||
|
K « ) - + « ß ) - + |
• • • +«<»)-] ® №. |
(132) |
|
Плетизм, появляющийся в (132), можно рассчитать обычным способом, выражая сначала характеры групп G и Я через 5-функ- ции и рассчитывая плетизмы 5-функций, связанных с этими харак терами группы Я . Доказательство теоремы вытекает из рассужде ний на стр. 141 —143.
7.7. Примеры правил ветвления
Проиллюстрируем теперь применения теоремы из предыдущего раздела на нескольких примерах.
