ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 144
Скачиваний: 0
158 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы |
Разложим характер {1"} группы Uu+2 по характерам подгруппы SU2XR2U1. Согласно формулам (126) и (132), имеем
{ і " } - Ч 7 2 ] ' Ш ® { П |
|
- 1 1 П 1 ) ® ( И ; |
033) |
здесь учитывается, что группы SU2 и GL (2) изоморфны. Возникаю щий плетизм можно разложить, используя формулу (96):
|
|
|
( і л } - 2 ^ ( , " ) ( { і ) ' ® Ы)«і}® Н); |
(ізза) |
|||
здесь ^цѴ (іл ) |
|
коэффициент перед {1 п } во внутреннем произведении |
|||||
{ц.} о {ѵ}. |
Однако |
внутреннее |
произведение |
{ц.} ° {ѵ} будет содер |
|||
|
— |
|
|
|
|
|
|
жать 5-функцию |
{1 п } только |
в том случае, |
если (ѵ) = |
(р.), и при |
|||
том только один раз. Поэтому имеем |
|
|
|||||
|
|
|
|
( і п } - 2 М ' М , |
|
(134) |
|
где суммирование ведется по всем разбиениям чисел п, для которых (1П ) появляется в разложении внутреннего произведения {р,} °
°Поскольку для GL (2) 5-функция {ц.}' не может иметь более
двух составляющих, то разбиения (д.) числа п на более чем два чи
сла не надо рассматривать. В случаях когда разбиение {р,} имеет
точно две составляющие, т. е. в случае {ц} = {(Хі, |Яг}, мы имеем
{і-іі, Р-г} = {|-іі — (-І2}. Учитывая изоморфизм SU2 и GL(2), получаем
M - s k f c - d ] ы . |
(135) |
Таким образом, разложение фактически закончено, так как те перь остается только найти 5-функции, соответствующие разбие ниям не более чем на / составляющих, и выразить их через харак теры группы R21+L Так, например, при сужении £/і4->5£/2Х-#7 имеем
{ 1 8 } - [ 8 / 2 ] ' { Ш } + Ш'{210], |
|
Ж3 /2 П111Ж72]'([210] + [000]), |
(136) |
- ^ [ Ш ] + 2 ( [ 2 1 0 ] + [000]); |
|
здесь размерности представлений [%]' группы StA, равные 2Â.+ 1, выписаны левыми верхними индексами при символах представле ний группы /?7 в соответствии с обычными спектроскопическими обозначениями.
В качестве еще одного примера разложим характер [200] груп пы R i по характерам группы R3. Из формул (129), (132) видим, что
|
Гл. |
7. Плетизмы для |
характеров |
подгрупп |
|
159 |
|
нужные нам характеры R3 появляются в плетизме |
[3]® |
[200]. Да |
|||||
лее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 3 ] - { 3 } - { 1 } , |
[200] - { 2 0 0 } - ( 0 ) ; |
|
||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
[3] ® [200] = ( { 3 ] - |
{1}) ® ((200} - |
{0})=({3} - {1}) ® |
(200} - | { 0 } = |
||||
= |
{3} ® |
{2] + |
(1} ® ( 1 2 } - { 3 ) ( 1 ) - { 0 } = |
[6} + |
{42] + |
||
+ |
[ I2 } - |
{4} - |
{31} - |
{0} = [6] + |
[ 4 ] + [2]. |
|
|
Наконец, в качестве последнего примера рассмотрим разложе ние характера [111] группы Ros по характерам группы SL^XSpu. Из формул (127) и (132) находим, что соответствующие характеры группы SUzXSpu имеются в плетизме
Ш Ч О ® [ I 3 ] . Для этого плетизма выполняется соотношение
[ ' / 2 ] ' < 0 ® ' [13 ] = {1)'{1)®> ( I 3 ) . что с учетом формулы (133а) равно
Разлагая характеры {111} и {210} по характерам группы Spu по формулам (80), (81), окончательно получим формулу
[ 1 3 ] - ^ « 1 1 1 > + |
< 1 0 0 » + 2 « 2 1 0 > + |
<100», |
(137) |
справедливую при сужении |
R2s-+SUoXSpu. |
|
|
7.8. Правила ветвления и трехмерная ортогональная группа |
|||
Проблема разложения характеров унитарной группы п измере |
|||
ний по характерам трехмерной ортогональной |
группы 0(3) |
часто |
|
встречается в теоретической атомной спектроскопии. Когда изве
стны правила ветвления U(n) —>-0(3), то |
соответствующие пра |
||
вила ветвления Sp (п) |
О (3), R(n) ->-0(3) легко найти |
методом |
|
разностей. Нахождение |
исходных правил |
ветвления |
U(n)-+0(3) |
очень упрощается, если сначала найти правила ветвления к группе GL (2) и потом использовать то, что неприводимые представления группы GL (2) остаются неприводимыми для ее подгруппы U (2), а также то, что группа 0(3) изоморфна группе GL (2).
Характеры группы GL (2) даются S-функциями, имеющими не более двух составляющих, и поскольку S-функции, имеющие ровно по две составляющие, можно свести к S-функциям, имеющим лишь одну составляющую, в силу наличия соотношения эквивалентности {ці, цг} = {і^і — р.2}, то вообще можно ограничиться рассмотрением
160 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые |
методы |
5-функций, состоящих из одной-единственной составляющей. Как показал Мурнаган [55а, 79], это в свою очередь приводит к так на зываемому эрмитову принципу взаимности, согласно которому для группы GL (2) можно утверждать, что
[m] ® [k) = {k] ® [m],
где m и k — положительные целые числа. Этот результат можно ис пользовать, чтобы установить следующую рекуррентную формулу:
[m] ® {k} = {m-2} ® {£} + М ® { А - 2 } + ( { о т - 1 } ® { А - 1 } ) Х
Х ( { / Я + А — 1 } — { i r e + Ä — 3 } ) .
Кроме того, выполняются следующие соотношения: |
|
|
||||||||
1) |
при p^m |
+ k |
|
1 |
(р — любое положительное целое число) |
|||||
{ p } ( [ |
m |
|
|
[ r n + k - 3 } ) = { p - [ - m + k - \ ) + |
[ p - m - k + l } ] |
|||||
|
+ k - l } -— |
|
|
|
|
|
||||
2) |
при p = m-r-k — 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
[p)Um+k-\)-[m+k-3})=[p |
+ |
ni+k-l); |
|
||||
3) |
при p^m |
+ k — 3 |
|
|
|
|
||||
[p}({m+k |
|
|
— \} |
— [m+k — 3})=[p+m-\-k-l}-[m-{-k |
— |
3 - p } . |
||||
|
Приведенные формулы очень легко использовать, чтобы разло |
|||||||||
жить характеры |
{k} |
группы GL(n) |
по характерам |
группы |
GL(2), |
|||||
при условии, что известно разложение характера {1}. Правила вет вления для разложения характеров группы GL(ri), соответствую щих разбиениям на пары составляющих, можно вывести, замечая, что
А ® (ВС)=А |
® ВА |
® С |
|
|
и что |
|
|
|
|
[р\®{\т-\)[\\)={р\ |
|
® ( И |
+ { / / г - 1 , |
1]); |
последняя формула приводит к общему результату |
|
|||
[р] ® [m — k, k) = [p) |
®([m-k) |
\ k ) - [ m - k + l ) |
[k — \))= |
|
= |
|
(\p}®{m-k})({p)®{k))- |
|
|
-({/?} |
® {m-k+l))({p} |
® {k-1}); |
(138) |
|
в правую часть входят плетизмы однокомпонентных разбиений, ко
торые можно рассчитывать по приведенным в раздс 6.4 |
рекуррент |
|
ным формулам. |
|
|
В качестве примера найдем разложение характера |
{22} группы |
|
GL(5) по характерам группы GL{2), |
учитывая, что {1}->-{4} при |
|
GL (5) -»- GL (2). Характеры группы |
GL (2), появляющиеся в раз- |
|
|
|
|
|
Гл. 7. Плетизмы |
для |
характеров |
подгрупп |
|
|
|
161 |
|||||
ложении |
характера |
{22} группы |
GL (5), |
это |
просто |
слагаемые |
||||||||||
в формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4} ® |
{22) = |
{4) ® ({2} { 2 ) - { 3 } {1))=({4} |
® |
{ 2 } ) 2 - ( { 4 } ® |
{3}){4} |
= |
||||||||||
|
|
= |
({8) + (4) + {0}) 2 - ({12} + |
{81 + |
(6} + |
{4) + |
{0)){4} |
= |
|
|||||||
|
|
= 2 { 0 } + 2 { 4 ) + { 6 ] + 2 { 8 } + |
{12). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Учитывая изоморфизм, существующий между группами 0(3) |
и |
|||||||||||||||
GL (2), окончательно |
имеем при |
сужении |
U(5)->R(3) |
разложение |
||||||||||||
|
|
|
|
{ 2 2 ] - * 2 [ 0 ] + 2 [ 2 ] |
+ |
[ 3 ] + 2 [ 4 ] + |
[6]. |
|
|
|
|
|||||
Правила ветвления для разбиений более чем на две составляю |
||||||||||||||||
щие можно легко найти аналогичным |
образом. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Разложение характера { 1 т |
} группы U(n) |
по характерам группы |
||||||||||||||
0(3) |
исключительно важно в теории спектров. Это разложение |
мо |
||||||||||||||
жно легко найти, замечая, что |
[55а] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
[р] |
® {1ш ) = |
[/7 + |
1-//г] |
® |
[m], |
|
|
|
(139) |
|||
и, используя рекуррентное соотношение . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
\Р\ ® |
|
|
|
|
|
|
{\т\=(,{р-Ц®\\т-1\)\р-т+\}-(\р-\)®[\т))[т-2\, |
|||||||||
|
|
|
|
|
m < / ? - j - l . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Например, |
чтобы |
получить разложение |
характера |
{ I 3 } группы |
||||||||||||
Un по характерам группы GL (2), воспользуемся тем, что {1} |
{10} |
|||||||||||||||
при GL (11) —>- GL (2); тогда |
его |
просто |
построить, |
рассматривая |
||||||||||||
отдельные слагаемые в разложении |
плетизма |
|
|
|
|
|
||||||||||
[10] ® |
(13} = |
(8) ® |
{3] = (0} + {4} + |
{ 6 } + 2 { 8 } + {10)4-2{12] |
+ |
|||||||||||
|
|
|
+ |
{14} + |
{16} + {18} + |
{20} + |
[24}. |
|
|
|
|
|
||||
Полученную формулу можно использовать для вывода правила ветвления характера { I 3 } при сужении С/із —»- GL (2), когда { 1 } ^ -
{11}; получаем {11} ® {13} = ({10} ® {12}){9}-({10} ® (13 }){1) = {3} + (5} + {7} +
+ 2 { 9 } + 2 { l l } + {13)+2{15} + {17} + {19} + {21} + {23] + {27}.
Формула (139) иллюстрирует интересное соотношение, сущест вующее между собственными значениями углового момента, соот ветствующими антисимметричным и симметричным состояниям си стемы m эквивалентных частиц. Например, соотношение
{10} ® {13} = {8} ® {3}
показывает, что для состояний максимальной мультиплетности имеется взаимно-однозначное соответствие между собственными значениями углового момента, соответствующими антисимметрич ным орбитальным состояниям h3 и симметричным орбитальным со стояниям g3.
Ц Зак. № 279
8
КЛАССИФИКАЦИЯ АТОМНЫХ с о с т о я н и и КОНФИГУРАЦИЙ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
8.1. Классификация атомных состояний
Обычные теоретико-групповые методы классификации атомных состояний конфигураций эквивалентных электронов хорошо описа ны Джаддом [15]; Джадд [87, 88] недавно рассмотрел также и бо лее элегантный подход, использующий метод вторичного квантова ния.
В этой главе мы будем рассматривать классификацию атомных состояний с помощью алгебры плетизмов Литтлвуда. При этом сна чала остановимся на классификации рассел-саундерсовских, SL- термов конфигураций эквивалентных электронов, а затем рассмот рим случаи //- и LL-связей.
Хотя мы здесь ограничиваемся проблемами атомной спектроско пии, однако все сказанное можно перенести без каких-либо прин ципиальных изменений на проблемы ядерной спектроскопии, в ко торой приходится иметь дело как со спиновыми, так и пзоспиновыми функциями.
Как известно, полную собственную функцию отдельного элек трона можно записать в виде произведения орбитальной и спино вой функций. Когда орбитальная функция преобразуется по пред
ставлению [/] |
группы |
Яз, набор всех |
одноэлектронных |
волновых |
||
функций с орбитальным квантовым числом |
I будет |
базисом для |
||||
представления |
[Ѵг] [I] |
группы Нз, где |
[Ѵг] |
спиновое |
представле |
|
базисом для которого являются две спиновые функции. |
||||||
ние,Волновые |
функции, |
которые описывают—состояния |
/г-электрон- |
|||
ной конфигурации, будут антисимметричными функциями, которые можно просто построить, составляя произведения из одноэлектрон ных функций, каждая из которых зависит от своей из п электрон ных координат. Эти функции будут преобразовываться по предста
влению группы R3, которое содержится |
в разложении |
плетизма |
( [ ' Ш ' П в ф " |
} ; |
(НО) |
это представление, вообще говоря, приводимо. Исследуя разложе ние указанного плетизма, мы получаем классификацию атомных со стояний.
8.2. LS-связь
В этой схеме связи орбитальное и спиновое пространства волно вой функции рассматривают независимо. Поэтому, в частности, го ворят, что одноэлектронные волновые функции преобразуются по
