ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 0
1S2 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы
электронов. Однако, несмотря на это наблюдение, общее и простое доказательство указанных соотношений отсутствовало.
Поскольку вид этих соотношений зависит от значения полного числа электронов, их объяснение, по-видимому, надо искать в свой ствах какой-то более высокой группы, которая связана с преобра
зованиями всех 24 , + 2 состояний /-оболочки. Ясно, что |
эти 24 , + 2 состоя |
||
ний /-оболочки несут |
представление {1} унитарной |
группы |
24 / + 2 из |
мерений; однако эта |
группа является, очевидно, слишком |
широкой |
|
и надо искать какую-то ее подгруппу, которая в свою очередь со держала бы унитарную группу Üu+2, и в особенности ее подгруппу Spu+% в качестве своих подгрупп.
Джадд [85, 87, 88] сумел найти такую подгруппу, рассматривая коммутационные соотношения, которым удовлетворяют электрон ные операторы уничтожения и рождения, и комбинируя эти опера торы таким образом, чтобы набор новых операторов был замкнут
относительно операции |
коммутации. Построенные |
таким образом |
||||
•операторы были |
затем |
им |
идентифицированы |
как |
генераторы |
|
группы вращений |
8/+ 5 |
измерений, т. е. группы Rsi+ь- |
Подробности |
|||
читатель |
может найти |
в статье Джадда [88]. Джадд |
показал, да |
|||
лее, что |
состояния |
/-оболочки |
составляют базис |
для спииорного |
||
представления |
[V2V2 • • • 7г] этой группы. При сужении |
группы Rsi+ь |
|
до ее подгруппы RSM имеем очевидное правило |
ветвления |
||
[ 7 2 7 2 |
••• 7 2 ] - [ 7 2 7 2 . . . 72 ] + [72 72 |
••• - 7 2 ] - |
084) |
Джадд показал, что состояния конфигураций /" при четном п обра
зуют базис представления [У^/г-.-Ѵг] |
группы RSM, а |
состояния |
||||
конфигурации |
I й при нечетном |
п образуют базис |
представления |
|||
[ѴгѴг • • • —72 ] этой группы. |
|
|
представлений |
|||
Нумеруя состояния конфигураций /" символами |
||||||
(184), мы, конечно, мало чего добиваемся. Но, как заметил |
Джадд, |
|||||
из операторов, |
генерирующих |
группу |
RBM, можно |
точно |
так же |
|
•отобрать операторы, которые генерируют группу |
SU2XSpu+2, |
яв |
||||
ляющуюся подгруппой этой группы Rsi+i. Таким образом, |
возникает |
|||||
связь между симплектической группой Spu+2 и более высокой груп
пой R&i+à. Окончательно |
мы имеем в своем распоряжении |
цепочку |
групп |
|
|
Rai+5 — R8l+4 — 5 U 2 X |
(Sp4l+2 — SU2 X Я а +1 — SU2 XR3-+ |
/?3), |
|
|
(185) |
в которую, конечно, в случае f-электронов надо включить также ис ключительную группу G2 .
Группа SU2, возникающая при сужении Spi,i+2-+SU2XR21+1, хо рошо известна: как раз ее символами нумеруются спиновые собст венные функции многоэлектронной системы. Спиновые собственные функции нумеруются спиновыми квантовыми числами 5 и Ms, при-
Гл. 10. Конфигурация |
эквивалентных |
электронов |
183 |
||||
чем спиновые операторы |
моментов S+, S- и Sz |
удовлетворяют |
изве |
||||
стным коммутационным |
соотношениям |
|
|
|
|
|
|
[S+, S_]=2SZ |
и [Sg, |
S±] |
= |
±S±. |
|
(186) |
|
Группа Silz, которая появляется при сужении |
RSM-*-SUzXSpu+2, |
||||||
может быть использована подобным образом для получения симво
лов для нумерации собственных |
функций состояний |
конфигура |
||
ций Іп. Джадд |
[88], |
развивая |
более раннюю работу |
Флауэрса |
и Шпиковского |
[ПО] |
и работу |
Лоусона и Макфарлэна |
[111], по |
строил из связанных произведений электронных операторов унич
тожения и рождения новые операторы |
Q + |
и Qz, |
являющиеся ком |
||||||||
понентами так называемого оператора |
квазиспина |
Q. Эти |
компо |
||||||||
ненты |
оператора |
Q |
удовлетворяют |
таким же |
коммутационным |
||||||
соотношениям (186), каким удовлетворяют спиновые |
операторы |
||||||||||
моментов. Собственные значения |
Q и MQ операторов |
Q и QZ |
можно |
||||||||
использовать как квантовые числа при классификации |
состояний |
||||||||||
конфигураций Iй. При фиксированном |
полном числе |
электронов п |
|||||||||
и при фиксированном квантовом числе |
/ квантовые |
числа |
Q и MQ. |
||||||||
просто даются выражениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ч = - |
^ |
И |
M |
Q = |
|
' - J |
, |
|
|
(187) |
в которых и — квантовое число |
сеньорита. |
Читатель, |
интересую |
||||||||
щийся |
подробностями, |
может |
обратиться |
к цитированной |
работе |
||||||
Джадда. Среди других авторов Фенейль [96—99] отметил, что кон цепция квазиспина легко обобщается на случай смешанных конфи гураций.
Концепция квазиспина имеет значение не только для классифи
кации |
состояний многоэлектронных |
конфигураций, |
но, |
что |
более |
||||
важно, также и для описания симметрийных |
свойств |
операторов,, |
|||||||
действующих на состояния, |
классифицированные |
по |
квазиспину. |
||||||
Поскольку |
состояния отдельной |
конфигурации |
Іп |
преобразу |
|||||
ются |
либо |
по представлению |
[V2V2 • - • Ѵз] (при |
четном |
п) |
группы |
|||
RSM, |
либо |
по представлению |
[ѴгѴг--.—Ѵг] |
(при |
нечетном п) этой |
||||
группы, то операторы, действующие на эти состояния, должны пре образовываться по неприводимым представлениям группы Ru+ь.* появляющимся в кронекеровских квадратах этих представлений, т. е. эти операторы должны преобразовываться по представлениям, появляющимся в разложениях
[72 72 |
- . . ± 1 / 2 І Х [ 1 / 2 , / 2 |
••• ± 7 2 ] = |
= |
[0 . . . 0] +[110 . . . |
0] +[11110 . . . 0] + [11 . . . 1 ± 1]; (188) |
здесь надо брать либо везде верхние, либо везде нижние знаки. Формула (188) тривиально следует из того, что было сказано в от ношении спиновых представлений в гл. 7.
184 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы |
Неприводимые представления, появляющиеся в разложении (188), можно легко разложить дальше по представлениям группы SUzXSpu+i, если воспользоваться формулами (127) и (132). Так, например, получаем в простейших случаях (при / ^ 2 )
|
Ru+i-*SU*XSpM+2, |
|
(189а) |
||
[О . . . |
0 ] - * Ч 0 > , |
|
|
|
|
[ПО |
. . . 0 ] - Ч 2 > + 3 |
« 0 > + |
< 1 2 » , |
(1896) |
|
[НПО |
. . . |
0 ] - 1 ( < 0 > + |
<12> + |
< 2 2 » + 3 « Г - > + |
< 2 > 4 - < 2 Р » + |
|
|
+ 5 « 0 > + <12> + < 1 4 » ; |
(189в) |
||
здесь квазиспиновая мультиплетность (2/С+1) указывается левым
верхним индексом при символах представлений |
группы Spu+z- |
|||||||||||||
Джадд [85] показал, что в квазиспиновом |
формализме |
любой |
||||||||||||
7Ѵ-электронный оператор |
можно представить |
суммой |
2/Ѵ-кратных |
|||||||||||
произведений электронных |
тройных |
тензорных |
операторов |
|||||||||||
Следовательно, |
при рассмотрении |
симметрийных |
свойств jV-элек- |
|||||||||||
тронных операторов по отношению к группе RSM |
можно |
ограни |
||||||||||||
читься |
рассмотрением |
представлений |
группы |
Rm+i |
вида |
|||||||||
[11.. .10.. .0], имеющих не более 2N символов 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
10.3. |
Квазиспиновые свойства матричных элементов |
||||||||||||
|
|
|
|
одноэлектронных тензорных операторов |
||||||||||
Результаты предыдущего разд. 10.2 можно |
теперь |
использовать |
||||||||||||
для исследования |
квазиспиновых |
свойств |
матричных |
элементов |
||||||||||
одноэлектронных |
тензорных |
операторов |
ѴѴ<К^. Как это непосредст |
|||||||||||
венно ясно из (1896), тензорные операторы |
W<xft) при нечетных зна |
|||||||||||||
чениях |
суммы индексов |
% + k, имеющие |
симплектическую |
симмет |
||||||||||
рию (2), преобразуются |
как тензоры |
квазиспинового |
ранга |
/<"=0. |
||||||||||
Тензорные операторы W<xft) при четных значениях |
суммы |
индексов |
||||||||||||
•x + k, |
имеющие |
симплектическую |
симметрию |
(I2 ), преобразуются |
||||||||||
как тензоры квазиспинового ранга К= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если какой-либо оператор преобразуется как тензорный опера тор квазиспинового ранга К, то зависимость матричных элементов этого оператора между квазиспиновыми состояниями (QMQ\ ІІ I Q'MQ) ОТ числа электронов п дается выражением
( - ! ) * - * * ( Q K Q ' ) ; |
(190) |
этот результат является непосредственным следствием известной теоремы Вигиера—Эккарта [15].
Гл. 10. Конфигурация эквивалентных электронов |
185 |
Величины Q, К и Q' должны удовлетворять обычному условию' треугольника, чтобы соответствующие 3/-символы не обращались в нуль, т. е. должно выполняться условие
Q+Q'>K>\Q-Q'\- |
(191) |
Из этого условия мы сразу можем заключить, что матричные эле менты оператора, преобразующегося как квазиспиновый тензор ранга К = 0, диагональны по симплектической симметрии или, что то же самое, по квантовому числу сеньорита ѵ и не зависят от п. Далее, матричные элементы оператора, преобразующегося как тен зор квазиспинового ранга К = \, равны нулю, если только по кван товому числу сеньорита не выполняется правило отбора
|
|
|
Д я = 0 , |
± 2 . |
|
|
|
|
|
(192) |
В частном случае наполовину заполненной |
оболочки |
п = 2/+1 |
||||||||
и, согласно второй формуле (187), |
имеем |
MQ |
= 0. |
В этом |
случае |
|||||
3/-СИМВОЛ, появляющийся в выражении |
(190), |
обращается |
в нуль, |
|||||||
если только Q + K+Q' |
не будет четным |
числом. Отсюда |
непосред |
|||||||
ственно заключаем, что |
матричные |
элементы |
операторов |
квази |
||||||
спина при К=1 |
обращаются в нуль при п = 21+1, |
если |
|
Аѵ^±2. |
||||||
Поскольку вся зависимость от числа электронов п для матрич |
||||||||||
ных элементов |
тензорных |
операторов |
квазиспинового |
ранга К- |
||||||
определяется выражением |
(190), то очень |
легко |
найти |
|
простые |
|||||
соотношения для матричных элементов тензорных операторов W(xft>
при четном % + k для |
конфигураций |
с разным числом |
эквивалент |
|||||||
ных электронов и, в частности, получить формулу |
|
|
||||||||
(г ѳ I |
I |
ive) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П/2(21 |
+ \ - ѵ ) |
1 |
У2(21+\-ѵ) |
|
|
|
|||
|
Ѵ ' / 2 ( 2 Н - 1 - « ) |
0 |
_ і / 2 ( 2 / + 1 - п ) У _ 21 + l - n |
n |
™ |
|||||
A |
/1 ' 2 (2/ |
+ 1 |
— |
V) |
1 |
i/2{2l + |
l — v)\ |
21+1—V |
' |
Vyö> |
|
\}/t(2l+.\-v) |
|
0 |
_ i / a ( 2 / + l - ü ) |
|
|
|
|||
а также |
формулу |
|
|
|
|
|
|
|
||
</ge||^||/g _ 2 e') |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||
(inve\w*\rv_2e') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I / 2 ( 2 / + 1 - Ü ) |
1 |
i / 2 ( 2 / - l — w ) |
|
||
= ( - 1 ) l.(n-v) |
\ i / 2 ( 2 / + l - n ) |
0 |
— i / a ( 2 f + l —n) |
|
||||||
|
|
|
|
|
i/2(2l+]-v) |
0 |
_ і / 2 ( 2 / + і _ » ) / |
|
||
= i / a [ ( n + 2 - 2 ? f 2 t 4 p " , , " T - |
<1 9 4 > |
