Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 132

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

186

Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

Этих примеров, по-видимому, достаточно, чтобы проиллюстри­ ровать те преимущества, которые связаны с переходом от исходных операторов к операторам, представляемым квазиспиновыми тен­ зорными операторами определенного ранга К. Когда рассматри­ ваемый оператор не является квазиспиновым тензорным операто­ ром определенного ранга, его необходимо разложить по таким опе­ раторам.

10.4. Правила отбора для матричных элементов одноэлектронных тензорных операторов

Мы показали в предыдущем разделе, как формализм квази­ спина позволяет легко учитывать свойства симплектической сим­ метрии и устанавливать без длинных вычислении условия появле­ ния нулевых значений многих матричных элементов. Покажем те­ перь, как общая теорема Вигнера—Эккарта позволяет получить другие правила отбора для матричных элементов тензорных опе­ раторов и соотношения между различными матричными элемен­ тами.

Отметим, что всегда возможно разложить любой тензорный оператор W по таким операторам О, которые имеют хорошие транс­ формационные свойства при действии операций какой-то группы G, используемой также при описании трансформационных свойств на­ бора состояний, на которые действуют операторы О. Предположим,

что оператор 0(у2 Г2 р2 ) преобразуется как р2 -компонента

неприво­

димого представления Г 2 группы G; обозначение уг вводится

для

различения случаев повторений индекса представления Г2 ,

если

Г 2

встречается более одного раза при нумерации указанных операто­

ров. Положим, подобным образом, что состояние (т|)|

является

со­

стоянием

(уіГірі I и состояние

— состоянием

| узГ3рз). Тогда,

со­

гласно

теореме

Вигнера—Эккарта,

матричный

элемент

(уіГірі I О (угГгрг) I узГзрз) можно представить в

виде

суммы произ­

ведений двух множителей. Один множитель, Аа,

не зависит от pi, р2

и рз;

другой

является

коэффициентом

пересвязывания

{ГЧГзосГірі I Г2 р2 , Гзрз)- Таким

образом,

имеем

общую

формулу

[II2—115]

 

 

 

 

 

 

 

<Т.Г іР/|0(т2 Г2 р2 )|тзГзРз> =

2 ^с [ <Г 2 ГзаГ 1 р 1 |Г 2 р 2 )

Г з Р з > ;

(195)

 

 

 

а

 

 

 

 

 

число слагаемых в сумме по а показывает, сколько раз, с (ГіГ2 Гз),

единичное представление Го встречается в тройном

кронекеровском

произведении Г\ X Г 2 Х Г3 , или же, что то же самое, сколько раз пред­

ставление Г 2 появляется в кронекеровском

произведении

Г і Х Г 3 .

Если

с ( Г І Г О Г З ) = 0 , то мы с уверенностью можем

утверждать, что

при

любых у и р матричный элемент (195)

равен

нулю. Кронеке-

ровские произведения представлений групп Sp (п)

и R (п)

легко

рассчитать, используя методы, изложенные

в разд.

5.13 и 7.3—7.6.

Гл. 10. Конфигурация эквивалентных электронов

187

Рассмотрим теперь, например, тензорный оператор W(12>, кото­ рый встречается при исследовании магнитного сверхтонкого взаи­ модействия [15] и который, как мы видели выше (см. разд. 10.1), преобразуется по представлениям [200] и (20) групп R7 и G2 в слу­ чае f-электронов. Значения чисел с ( [X] [X'] [200]) и с (UU' (20)) представлены в приводимых ниже таблицах.

Значения чисел с([ХР'][200])

[000]

[100]

[ПО]

[200]

[111]

J 2101

[211] [2201

[221]

[222]

[000]

[100]1 —

[ПО]

 

 

1

1

 

 

 

 

 

[200]

1

—

1

1

 

 

 

 

 

[111]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[210]

—

1

 

 

 

 

 

1

—

[211]

 

 

 

 

 

 

 

1

—

[220]

 

 

 

1

—

—

 

—

1

[221]

 

 

 

 

 

 

 

2

1

[222]

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

Значения чисел с(£/(/'(20))

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

и

(00)

(10)

(11)

(20)

(21)

(30)

(22)

(31)

(40)

 

(00)

 

 

 

1

 

 

—

—

—

( П )

—

1

1

1

1

1

(10)

—

 

—

 

—

1

1

1

1

1

1

 

 

 

(20)

1

1

1

2

2

1

1

1

1

(21)

—

1

1

2

2

2

1

2

1

(30)

—

1

1

1

2

2

1

2

1

(22)

—

—

—

1

1

1

1

3

1

(31)

—

—

1

 

2

2

 

 

2

(40)

—

1

1

1

1

2

2

—

—

 

Приведенные таблицы составил Джадд [115]. Другие подобные таблицы можно найти в работах Рака [1], Мак-Леллана [116], Джадда [15, 85] и Наттера [117].

188

 

Б. Вайборн.

Теоретико-групповые

методы

 

 

Рассмотрение таблицы

значений

чисел

с ( [К]

[К'] [200])

показы­

вает, что для матричных

элементов

рассматриваемого

тензорного

оператора W'1 2 ' не существует никаких других правил отбора, тре­

бующих обращения в нуль матричных

элементов, кроме

обычных

правил

отбора по v,

S

и

L .

Однако

таблица

значений чисел

с (UW

(20))

выявляет

наличие таких

дополнительных

правил от­

бора.

Так,

например,

из

того,

что

 

имеется

нулевое

 

значение

с((11) (22) (20)):

= 0,

следует,

что

нулю равен весь

набор

матрич­

ных элементов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< / 4

(211)

(11) 3L I W/c-'ll/1 1 (220)

(22) Ч У > = 0

 

 

 

при

L = P #

и L ' =SDGHIJLN,

что

действительно

можно

 

видеть

из таблиц

Юциса и др. [118]. Другие

примеры необычных

правил

отбора, возникающих для матричных элементов

одноэлектронных

тензорных операторов \Ѵ<0Й> (четное

k),

рассматривались Джаддом

[115] и Мак-Лелланом

[116]

для

тензорного

оператора

W 1 1 ',

кото­

рый

встречается

при

рассмотрении

спин-орбитального

взаимодей­

ствия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оказывается,

что

исследование

структуры тройных

произведе­

ний

ГіХГгХГз

не обязательно

выявляет

все

возможные

слу­

чаи

появления

 

нулевых матричных элементов, которые можно

таким образом

предсказать до проведения

непосредственных вычис­

лений. Джадд

и Вадзинский

[119] показали,

что

могут

иногда по­

являться совсем

новые

правила

отбора

даже

в случаях,

 

когда

с (ГіГгГз)^ 1. Эти авторы рассматривали

разложение

кронекеров-

ских

квадратов

неприводимых

представлений

на

симметричные

и антисимметричные составляющие. Смит и Вайборн

[120] провели

подробное исследование проблемы с использованием алгебры пле­ тизмов. Их результат заключается в следующем.

Рассмотрим снова матричный

элемент

(195),

и пусть индекс

р нумерует представления подгруппы g

группы

G, представле­

нием Г которой мы интересуемся. Мы имеем тогда

равенство

<ТіГіРі|О(т2 Г2 р2 )|т2Г2 р2 >=0

 

всегда, когда не выполняется одно из двух:

 

 

Г , ® {2}=) Г,,

р 2 ® { 2 ) ^ Р і

(196а)

или

 

 

 

Г 2 ® [ 1 2 ) = > Г Ь

р 2 ® { 1 2 } ; Z D P ! .

(1966)

Это эквивалентно утверждению, что функции, которые преобра­ зуются по представлению Гі группы G, должны иметь ту же симметрийную классификацию, что и функции, которые несут пред­ ставление рі подгруппы g.

Матричные элементы вида

< / 6 [ 2 П ] (30)3Z, II IF<1 5 )||/6 [110] (11) 3 //ч

(197)

Гл. 10. Конфигурация эквивалентных

электронов

189

при L = PFGHIKM дают интересный пример на применение сфор­ мулированных правил отбора. Компонента тензорного оператора W(15> преобразуется так же, как состояния | [110](11)3 #), и мы сразу находим, что

 

[ПО] ®

{12 ) = [110] + [211[

и

(11)® {12} =

(11) +

(30).

(198)

Рассматривая разложения этих плетизмов, видим,

что

представле­

ния

[211] и

(30), нумерующие

правое

состояние

матричного

эле­

мента (197),

встречаются в антисимметричных частях

кронекеров-

ских

квадратов представлений

[ПО]

и

(11); поэтому

требования

(196а), (1966) удовлетворяются и матричный элемент не равен нулю; фактически мы проверяем правило отбора по числу сеньо­

рита. Однако, так как

оператор \У<15> преобразуется

как

состояние

3Н группы SÜ2XR3,

нам необходимо рассмотреть

также

кронеке-

ровский квадрат

{3 Я}2 . Антисимметричные части

его появляются

в разложении плетизма

 

 

 

( І Ѵ г Г

[5]) ®

[\2] = 1{SDGILN)+\PFHKM),

 

(199)

это как раз разрешенные термы конфигурации h1. Из полученного результата можно сразу заключить без каких бы то ни было вычис­ лений, что

< / 6 [211] ( 3 0 ) 3 І I V7<15>||/6[110] ( 1 1 ) 3 # > = 0

при L = G и /. Совершенно аналогично можно показать, что

< / 6 [2201 (22) 'ЯII Г<1 5 >||/6 [110] ( 1 1 ) 3 Я > = 0 .

10.5. Теорема Вигнера — Эккарта и изоскалярные факторы

Мы все еще не исчерпали возможностей использования тео­ ремы Вигнера—Эккарта. Прежде всего несколько детализируем запись теоремы, данную выше [см. (195)]. Предположим, что Г обозначает (как и прежде) неприводимые представления группы G, но р обозначает теперь неприводимые представления некоторой подгруппы g группы G. Введем, кроме того, специальный индекс со для обозначения компонент представления р. Тогда зависимость матричных элементов оператора О от индексов со, согласно (198), можно найти по формуле

< T i r i ^ i P i ° J i J O (ТзГз^оРоШо) |х3 Гз-с3 р3 Шз>==^ Аа ( а р , ^ | р , w 2 - f р3 <о3 >, (200) a

в которой дополнительно введены специальные индексы ті, т2 , тз, обеспечивающие полную классификацию состояний. Коэффициенты Аа не зависят от индексов со, нумерующих компоненты неприводи-

190 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

мых представлений р, и их можно считать редуцированными

мат­

ричными элементами

 

А в = < Т і Г , - с і Р і J О в (т 2 Г 2 т 2 р 2 ) | | Т з Г 3 т 3 р 3 > .

(201)

Теперь используем еще раз теорему Вигнера—Эккарта, чтобы выделить специальным множителем из величины Аа ее зависимость от индексов неприводимых представлений, нумерующих компо­ ненты неприводимых представлений Г, т. е. от индексов р. Так можно прийти к формуле

 

А. = 2 Л ° 8

<РГ і^іРі I Г о ^ Р з + Г з ^ Р з Х

(202)

 

 

ß

 

 

 

 

в которой

 

 

 

 

 

 

 

 

> и = < 7 . 1 > , |0«р

(т2 Г2 -:2 ) | | т 3 Г 3 т 3 > .

(203)

Таким образом, выражение (200) окончательно принимает

сле­

дующий вид:

 

 

 

 

 

 

<ТіГ,-с1 р1 ш1 1 О (т 2 Г 2 ? 2 р 2 ю 2 )

I Тз г з' г зРз ш з>

=

 

= 2

А«Ѵ

< а Р і ш і

I P2t ü 2+P3 w 3> ( f ^ V i P i I Г з ^ Р г + Г з ^ Р з ) ;

(204)

«, ß

 

 

 

 

 

 

появляющиеся

в

правых

частях

коэффициенты Аа$ называются

изо скалярными,

 

факторами.

 

 

Теорему Вигнера—Эккарта

можно применять

повторно,

если

у нас имеется цепочка вложенных друг в друга групп; каждый

раз

будут получаться произведения

редуцированных

матричных

эле­

ментов на изоскалярные

факторы.

 

 

Рассмотрим пример

такого использования теоремы Вигнера—

Эккарта в случае конфигураций fn , состояния которых классифици­ руются с использованием цепочки групп

 

S/7,4

SU2 X ( # 7

— 0 2 -

/?з) — #2 X

Ro .

Возьмем

матричный элемент

одноэлектронного

тензорного опе­

ратора W("fc)

 

 

 

 

< / " <а>> M

Ur^L^M^W^

 

« а 2 >

[Х2 ] Uwkvq)

X

 

 

 

Х І / " < о 3 > [ Х з 1

U3^S3L3MsJVlL).

Дважды используя теорему Вигнера—Эккарта, чтобы раскрыть за­

висимость

этого матричного элемента от Ms и ML, и замечая,

что

при сужении до группы R3 кронекеровскне произведения

D^XD^L">

и D^XD®')

не содержат повторяющихся представлений,

легко

по-

Смотрите также файлы