Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

214

Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

[/1®([2] +

[111)®

=

N

2 ( [ 2 ] ® { « ] ) ( [ 1 1 ] ® | А ' - а } )

,

(267)

становится

совершенно

ясным,

что операторы, преобразующиеся

по представлениям, содержащимся в разложении

плетизма

Щ

® [(12] ® И )

([И] ® [М-*])],

(268)

будут

содержать

а. одноэлектронных операторов

с четными k и

N — а

операторов

с нечетными

k; тип такого оператора

задается

символом

( + + ...Н

...

), в который а раз входит

плюс

произведения нечетного числа тензорных

операторов

нечетного

ранга (т. е. JV — а

нечетное),

неэрмитовы

и как

таковые

не могут

появиться в разложении теории возмущений, а

поэтому

их

надо

отбросить.

Симметрийные

символы,

получаемые из плетизма (268),

легко

тоды, /^-частичные операторы

связаны с M (1+ 1)-мерным

про­

странством

и

принадлежат

симметрическому

представлению

{УѴ} унитарной

группы ІІщшу

Симметрийные символы

{а} и

{N—

— а } , появляющиеся в плетизме

(268), обозначают

симметрические

представления {а} группы U^+3)

и {N— а} группы U*n+l)

соот­

ветственно. Поскольку прямое произведение групп

£/^,( + 3 )

и

^w+i) я в л

я е т с я

подгруппой

группы і/щ+і), плетизмы

[2]®{а}

и

разложениями представления

{а} группы Uf{,l+S) и

представления

{N — а} группы L/f( 2 / + 1 ) по представлениям группы

RIM- Схемати­

чески разложение плетизма

можно интерпретировать как отбор

Гл. 10. Конфигурация эквивалентных электронов

215

-RÏXRy

Когда в (268)

имеем а — іг, ^/-частичные

операторы,

которые

можно построить из уѴ-кратных произведений

одноэлектронных

тен­

зорных

операторов

четного

ранга,

можно

снабжать

символами

представлений

[X] группы

R^{,

содержащимися в

разложении

представления {/V} группы

^f ( ,, + 3 )

в согласии

с разложением

пле­

тизма

[2]Х{Л'}. В противном случае, когда a=^=N, операторы

надо

снабжать последовательностями индексов

(\Ц

1^'І)Ы0;

(270)

здесь

[X] — представление

группы Rfl+i

. содержащееся

в разло­

жении

представления [а] группы Uf^l+3)

, описываемом плетизмом

[ U ] cgi {N— a};

[LI] — представление

группы R«i+i,

содержащееся

в разложении

произведения

представлений

[A,][Ä/];

0 — это

тож­

дественное представление

[0] группы

R3, встречающееся

в разло­

жении

плетизма

[/]® [р.].

мулами

| 2 ) ® [ я | = 2 Н

(271)

[ п ] ® М = { і і } ® (я}=2й;

(272>

[ 2 | ® ! я ) = [ 2 } ® ( { я ) - { « - 1 } ) .

(273)

В приводимой ниже таблице описывается классификация эрми­

товых скалярных

//-частичных операторов

(А/^З) для конфигура­

ций dn.

типы операторов ео — е2

Снмметрийные

в точности те же самые,

что и для снмметризованных

операторов кулоновского

взаимодей­

ствия из разд. 10.6, формула

(215) ; снмметрийные типы

операторов

е3 — ві те же, что появляются в (234). Снмметрийные

типы опе­

'216

Б. Вайборн.

Теоретико-групповые

методы

N

Плетизм

Индекс

Классификация

Тип

0

[2] Х ( [ 0 ] Ч5 [0])

fiQ

[010

2

[2] '®

([2] <$4 2 } )

е\

[0]0

( + + )

ß2

[22]

0

[2] '®

([11] ® {2})

е-і

[0] 0

(

)

е4

[22]

0

3

[2] .®

([2] GИ З } )

[0]0

( + + + )

h

[22]

0

h

[42]

0

[6]0

[2] '®

{2}([11] ® {2})

h

([2]

[2])

[0]

0

( +

)

h

([2]

[2]) [22]

0

-

h

([2]

[2])

[22]

0

h

([2]

[1])

[3]

0

4

([2]

[22])

[42]

0

операторов ѵ<й) с нечетными

k и одного с четным k.

Оператор U преобразуется по представлению

[6] группы Rs, и,

поскольку с ( [X] [к'] [6]) = 0

при любых

[X] и [X'],

встречающихся

для конфигураций dn, его

матричные

элементы

равны нулю. Во

жения через радиальные

интегралы,

то мы можем коэффициент

перед U обратить в нуль, так как этот оператор

выражается

через

операторы е0 , еіг

е% Поэтому во втором порядке

нужно

рассматри­

вать только два трехэлектронных оператора t2 и U. Фенейль

[142]

построил в явном виде операторы, преобразующиеся как to

и /3.

Смит и Вайборн

[46] более подробно

исследовали операторы,

пре­

образующиеся

как операторы типа

( + - 1 — ) .

Оказалось,

что

в этом случае нужно вводить только два новых

оператора U и ts,

поскольку операторы U, U и h можно выразить через

остальные

двух- и трехэлектронные

операторы.

Совершенно очевидно,

что подобным образом

легко рассмотреть

построить из тройных

произведений

двойных тензоров Wx f e ). Од­

нако вряд ли это нужно, так как при эмпирическом

использовании

эффективных операторов число параметров будет

очень большим

во всех практических

случаях, кроме

случаев самых

сложных кон­

фигурации /2 аналогично тому, как

это делалось в

разд. 10.10,

и затем дополнять их параметрами

трехэлектронных

скалярных

расщепления для систем,

имеющих три

или более

эквивалентных

d- или /-электронов. Эта

теория была бы

полезной

для предсказа­

(sl\\ww{lu

l2)\sO=*{l,

/,)&(/', /2 )|[-л, k\Y'\

(274)

Полный набор этих одноэлектронных тензорных операторов со­

держит следующие операторы:

w ( x k ) ( l b

4)

(при

х = 0 ,

1;

0 < А < 2 / , ) ;

w(xk)(L2,

/2 )

(при

х = 0 ,

1;

0 < А < 2 У ;

w ( l f c ) (A .

I2)

(при

х = 0 ,

1;

K i - / 2 K Ä < / i + / a ) ;

w ( l f t ) ( / 2 ,

/,)

(при х = 0 ,

1;

| / і - / 2 І < £ < Л + 4 ) .

Операторы w ( x f t ) ( / i , /2)

и w(*ft>(/2,

к) не обязательно

эрмитовы, и

комбинации

[97, 99а]:

w ± ( x f t ) ( / , >

l2)=[w(xll)

(Іъ

Z 2 ) ± ( - l ) I + , i + i ' - ' ' - w ( l f t )

( 4 , А)] 2 - , / 2 . (275)

Состояния конфигураций (k + k)n будем классифицировать, ис­

пользуя цепочку

групп

(276)

Антисимметричные

состояния конфигурации

(/1 + /2)2 находим