Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 119

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

Гл. 11. Смешанные

конфигурации

 

219

 

 

11.2.

Кулоновское взаимодействие в случае

 

 

 

 

 

конфигураций {d

+ s)n

Оператор

кулоновского

взаимодействия

для

конфигураций

{h + k)n

можно выразить

через

скалярные

произведения

одно-

электронных

тензорных операторов (см. табл.

I ) , которые преобра­

зуются

по представлениям

*[2] и 1[0]

группы

SU2XR2(l&l^y

В точ­

ности

так же, как в разобранном

в

гл. 10

случае

конфигураций

эквивалентных электронов, мы можем построить набор симметризованных скалярных двухэлектронных операторов, соответствую­ щих симметрийным типам, возникающим при разложении основ­ ного плетизма

 

([2] +

[0|) ® (2} =

|2] ®

{2} +

I0J ®

[2} +

[2j

 

|0|

=

 

 

 

 

 

=

[4] +

[ 2 2 ] + 2 [ 2 J + 2 [ 0 ] .

 

 

 

 

(277)

Представления

группы

•fotf.+z.+i),

появляющиеся

в

правой

части

(277),

можно

разложить

по

представлениям

группы

Rii,+iX

XRn2+i

с помощью методов, изложенных в разд.

7.6,

а

также

ис­

пользуя

то обстоятельство,

что

при

сужении

R„„

,

, —>R„,

, X

Х Р 2 / + 1

мы

имеем

[!]->• [1] [ 0 ] ' + [0] [1]',

где

представления

группы

Rzi2+i (в отличие от представлений

группы

R21

+і)

обозна­

чены штрихами. Поступая таким образом, мы получаем разло­ жения

[ 0 ] - [ 0 ] [ 0 1 \

 

 

 

 

 

 

 

[21->[2]

[ 0 | ' + [ 0 1

[2]' + [1]

[ 1 ] ' + [ 0 ] [01',

 

 

 

[22 ]-+[22 ]

[ 0 | ' + [ 0 ]

[ 2 2 ] ' + [ 2 1 ] [ 1 ] ' + [ 1 ]

[21]' +

[1*1 [ 1 + + [ 2 ]

[2]' +

 

 

 

 

 

 

 

+ [ 1 ] [ 1 ] ' + [ 0 ]

[ 2 ] ' + [ 2 ] [0]',

[41 -

[41 |0|' + [0]

[4]' + [3]

[1]' + [1] [3]' + [2]

[2]' +

[1] [1]'

+

 

 

 

 

 

 

+ [01 [ 0 ] ' + [ 2 ] [ 0 ] ' + [ 0 ] [2]'.

Каждое

представление

группы і?гг,+іX/?2za+i можно разложить,

по представлениям

группы

R3XR3,

замечая,

что

при сужении

Rzi,+i--^-Rs мы имеем

[1]-> [k] и при

сужении /?2г2+і->• R3

имеем

[I]' - > - [k]'.

Наконец,

каждое представление группы

R3XR3

можно

разложить по представлениям группы R3. Симметрийные типы опе­

раторов находятся

как 5-состояния, которые получаются в

конце

описанной

процедуры.

 

 

 

 

 

Проблема построения симметрийных типов операторов для кон­

фигураций

(d + s)n

оказывается особенно простой, поскольку ну­

жно

рассмотреть

только разложения

при сужении

 

R6->R5R3.

Таблица I

Трансформационные свойства одноэлектроііных тензорных операторов для конфигураций {l\ + k)n

У 4(/, + /2 +1)

{2І4 ('• + '=) +

{0}

 

+

+

+

Ol

+

о;

to

taX<м

to

2 } <12)

3[13]

 

42]

<2>

1[12]

 

3[2]

 

з[0]

<о>

40]

+

Ol

О;

X

+

Ol

о;

[I 2 ] X [0]

[1]X [1]

[0]X [I 2 ]

[2]X [0]

[1]X [1]

[0]X [2]

[01 X [0]

[I2 ] X [0]

[1]X [1]

[0]X [I 2 ]

[2]X [0]

5Ü, X R,

w ( U 0 (

' i . '1). 1 < £ < 2/1 — I (/г нечетное)

w + ( l f t )

(/1, / 2 ) , 1 /і -

/ 2 1 < k < /, + h (ft

четное)

w ( l f t ) ( ' 2 .

k), 1 < £ <

2/2—I (/г нечетное)

 

w ( o f t ) ( / i ,

/ , ) , 2 < A<2/T (ft четное)

 

w + ( 0 A )

(/1, / 2 ) , 1 /1 - / 2 ' | < ft<

h + h (A четное)

w ( W i > (/ 2 ,

h), 2<FT<2/2 (ft четное)

 

[(2/2 +l)'/--w<0 C Vi.

1\)-&11

+ \),,%*т{1г.

k ) \ [(2/i + l) + ( 2 / 2 + l ) ] - ' A -

w( 0 f t ) (/,,

/ j ) , 1 < ft< 2lx — 1

(/г нечетное)

 

W-(0FE)( / j

_ ; 2 ) _ jl x _ /2 | < A < /! + /2 (A нечетное)

\ ѵ ( а д ( / 2 .

'г). 1 < * С 2 / 2 - 1

(A нечетное)

 

w'1 *^/,,

/ , ) , 2 < A < 2/j (ft четное)

 

[1] X [1]

w ~ ( l

f t ) ( / i , / 2 ) . | / i — / 2 К

/ г <; i + '2 (A нечетное)

 

 

[0] X [2]

w ( l é )

( ' 2 . /2). 2 < FT< 2/2

(fe четное)

 

 

 

[0] X

[0]

[(2/2 + l ) v * w ( 0 0 ) (/i,

/,) -

(2/, +

1)'/'- vv(°°> (/2 ,

/2 )] [(2/i + 1) + (2/2

+

1)]-''»

[0] X

[0]

[(2/, + 1)''* w( 0 0 > (/ b

/,) + (2/2

+

I ) 1 ' ' w<00> (/2 , /2 )] [(2/i + 1) + (2/2

+

1)1-''»

[0] X [0]

[(2/, + 1)'/' w<00> (llt

/,) + (2/2

+ 1)'/Г w m (/,_,

h ) \ [{21, -f 1) + (2/2 + l ) ] - ' / !

Гл. И. Смешанные

конфигурации

221

Таблица II

Трансформационные свойства одноэлектронных тензорных операторов для конфигураций (d+s)n

SP,2

5tV2 X Ra

Rs

(12>

3[12]

[1]

 

 

[12]

 

42]

[0]

 

 

[1]

 

 

[2]

<2>

412]

[1]

 

 

[ I 2 ]

 

3[2]

[0]

 

 

[1]

 

 

[2]

 

3[0]

[0]

<о>

40]

[0]

•S£/2 X Rz

w+( 1 2 ) (ds)

w ( I 1 ) ( û W ) ,

w(

1 3 ) (rfd)

{ w ( 0 0 ) ( r f

d ) _ 5

' / 2 w(00) ( M ) } / 6 V ,

w+<02> (ds)

w<02>(rfd), w<0 4 >(^)

W - ( ° 2 )

(ds)

vjW(dd),

w<03>(dd)

[w<10> (<M) -5'/= w<10> (ss)}/6'/« w-('2 > (ds)

w<12>(drf), w<14>(<W)

{5'Чг<1 0 ) (* 0 + W<'°> ( м ) } / б ' ' * {5V4v<0 0 >(dd)+w<0 0 >(S S ))/6, / 2

Так получается приведенная ниже таблица симметрийных типов операторов:

[000] ® {2}

[000] [00] 5

е0,

[200] [000]

[200] [00] 5

е2,

[200] ® [2]

[000] [00] 5

еи

 

[200]

[00] 5

е3,

 

[220]

[22] 5

е4,

 

[400]

[00] 5

е5,

 

[400]

[30] 5

е6.

Симметрийные свойства операторов во, е.і, .. ., ее можно

уточ­

нить, если учесть, что представление

'[000] группы

SU2XRe

свя­

зано с симплектической симметрией

(0) группы Spi2

и что пред­

ставление *[200] появляется как слагаемое в разложении представ­

ления (I2 ) при сужении 5 p i 2 - > 5 f / 2 X ^ 6 .

Поскольку имеют место

разложения

 

 

<0> ® {2} =

<0>,

 

<12 ><0> =

<12 >,

 

<12> ® (2} =

<14> + <22> +

<12> + <0>,

222

Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

то можно заключить, что представления 1 [ООО], 1 [200], *[220], 4 [400], которые появляются при классификации симметризованиых опера­ торов кулоновского взаимодействия, должны появляться в разло­ жениях симплектических представлении (0), (I2 ), (22), (I4 ) при су­ жении Spі2->-SUzXRn- Отыскивая соответствующие разложения, мы находим

<0> — 1

[ООО],

 

 

 

 

 

<12 >-*1

[200]+8 [110],

 

 

 

 

 

<l">-^1 [220]-f3 ([211] +

[ 2 1 - l ] ) + s [ 1 1 0 ]

+

 

 

<22> -

\[400\ + [220] +

[200] + [000j)+3 (|2111 + [21 -

1 ] +

 

 

+ [310] -4- [110] +

[200]) + 5 ([220] +

[2001 +

[000 j ).

Таким образом, операторы е5 и

ее, имеющие симметрию

[400]

по группе Re, должны

обладать чистой

симплектической симмет­

рией (22) по группе Spi2. Операторы е2 следует связывать с симп­ лектической симметрией (22) и (I4 ).

Когда представления

[0], [ I 2 ] , [ I 4 ] группы

R2\

разлагаются по

представлениям группы

SUzXSpn,

то видно,

что

симплектпческая

симметрия (22) связана с квазиспиновым

рангом

/С = 0, (I4 ) связана

с рангом К = 2 и (I2 ) связана с рангами

/<" = 0,

1, 2. Поэтому

мат­

ричные элементы операторов е5 и ее

будут диагональными по кван­

товому числу сеньорита,

каждый

оператор е2

и

е3 можно

пред­

ставить как линейную комбинацию операторов, имеющих квази­

спиновые ранги

Д" = 0, 1, 2, а оператор

е/, будет

равен

сумме двух

операторов

с квазиспиновыми

рангами

К = 0 и

К = 2

соответст­

венно.

 

описание процедуры построения операторов во,

Подробное

еі, ..., ев можно

найти в работе

Фенейля [97]. В работе Джадда и

Армстронга

[143] обсуждаются

свойства оператора

Й4 С Т О Ч К И

зрения LL-связи.

 

 

 

 

 

 

11.3. Эффективные двухэлектронные операторы

 

 

 

для смешанных

конфигураций

Введение в рассмотрение эффективных скалярных операторов, которые можно построить из одноэлектронных тензорных опера­ торов w<°W(//) при нечетных k, позволяет существенно упростить

проблему параметрического

описания уровней конфигураций

типа

Іп. Для конфигураций типа (h + l2)n

эффективные двухэлектронные

операторы

надо строить

из

тензорных

операторов w<o f t )(/i,

Ii),

w~(°fe)(li, k),

v/№(k, k),

которые вместе

преобразуются по пред­

ставлению

*[12 ] группы SU2XR2(il+i3+i).

Симметрийные типы для

опи-

Гл. 11. Смешанные

конфигурации

223

сания эффективных скалярных двухэлектронных операторов мо­ жно легко найти, рассматривая разложение плетизма

[12 ]®{2} = [1«] + [2*] + [ 2 Ж 0 ] .

(278)

Снова каждое представление группы Rz(i,+i2+i), появляющееся в пра­ вой части, можно разложить по представлениям группы ^ + і Х Х / ? Щ ч + 1 , заметив, что

[ і 4 ] - [ і " 1 [ 0 ] ' + [ 0 ] [ і - Ч ' + [ і 3 ] l i ] ' + [ i j [ i 3 ] ' + [ i 2 ]

[ i 2 ] ' .

Каждое представление

группы

Rzu+iXRu.+i

можно разложить за­

тем по представлениям

группы R3XR3

 

и затем группы R3.

Искомые

симметрийные

типы эффективных

двухэлектронных

операторов

надо идентифицировать с S-состояниями, получающимися в ре­

зультате всех этих разложений.

 

 

 

 

 

 

 

 

Для конфигураций

(d+s)n

рассмотрение разложений при су­

жениях RS-^RÔ^R3

ведет к следующей

симметрийной

классифи­

кации рассматриваемых

операторов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[I2 ]

®

(2)

[ООО] [00] S

е7,

 

 

 

 

 

 

 

 

[200]

[00] S

ев 1

 

 

 

 

 

 

 

 

[220]

[22] S

е9.

 

 

 

Если эти три оператора добавить

к

семи

симметризованным

кулоновским

операторам, полученным

в

предыдущем

разделе, то

мы придем

к

десяти

независимым

скалярным

двухэлектронным

операторам, пригодным для описания структуры термов конфигу­ раций (d+s)n. Это число операторов равно числу независимых матричных элементов, которые сохраняют S и L хорошими кван­ товыми числами для конфигураций (d + s)2 .

Не представляет труда обобщить рассуждения из разд. 10.9 и

рассмотреть

обобщенные двухэлектронные

операторы

[144] для

конфигураций

(d + s)n.

Подобным

образом

может быть

построена

на основе рассуждений

разд. 10.8

(с незначительными

изменени­

ями) симметрийная классификация различных спиновозависимых операторов двухэлектронных взаимодействий.

11.4. Скалярные трехэлектронные операторы для конфигураций (d -\- s)n

В качестве последнего примера на использование симметрий­ ных соображений в случае смешанных конфигураций рассмотрим симметрийную обработку скалярных трехэлектронных операторов, которые можно построить из одноэлектронных операторов, преоб­ разующихся по представлению 1 [2] группы SU2XRe; при этом бу­ дем игнорировать операторы, преобразующиеся по представлению

Смотрите также файлы