Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 218
Скачиваний: 2
значим |
|
высоту, |
длину |
и ширину стены |
в метрах соответственно |
h,l |
и а. Удельный |
|||||||||||||||||
вес кладки |
2 |
Г/см3, |
|
или, что то же, 2 |
Т/м", |
следовательно, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G = 2hla |
Т; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
давление |
Р земляной насыпи, приложенное на |
1/3 |
высоты |
стены, направ |
|||||||||||||||||||
ленное |
горизонтально |
от насыпи к стенке |
и равное (в |
Т) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = |
6/; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
реакция |
R |
опоры. При решении |
подобных |
задач, |
называемых |
задачами |
на |
||||||||||||||||
опрокидывание, |
нужно |
иметь в виду, что реакция связи |
бывает только |
в той опоре, |
||||||||||||||||||||
вокруг |
|
которой |
опрокидывается |
тело, |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
реакции же связей |
в опорах, |
в которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
связь |
нарушится при |
опрокидывании |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
тела, |
равны |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определив |
|
точку |
|
приложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
реакции |
опоры, |
найдем |
направление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
реакции. Стена |
находится |
|
в равнове |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сии под действием трех |
сил, а следова |
|
H» I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
тельно, линии действия всех трех сил |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
должны |
|
пересекаться |
в одной |
точке, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
поэтому реакция опоры направлена под |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
углом а |
к горизонтальной |
оси, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
a |
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t g a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
T - : |
|
За' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проецируя |
все приложенные к стене силы |
на |
горизонтальную |
и на верти |
||||||||||||||||||||
кальную |
оси (рис. 19, в) и приравнивая |
нулю |
суммы |
проекций, |
найдем |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2* |
= |
0; |
Я cos a.— 6/ = |
0; |
P c o s a = |
6/; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2^ |
= 0; |
Я sin a — 2Wa = 0; |
|
Rs\na |
= 2hla. |
|
|
|
|
|||||||||
Легко |
находим, что |
наименьшая |
толщина |
стены |
а=У~2 |
.« = |
1,41 м. |
Чем |
толще стена, тем устойчивее ее равновесие. При значении а, меньшем найденного
нами, силы |
не |
пересекутся в одной |
точке |
и |
равновесие |
невозможно, стена |
опро |
||||||||||||
кинется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В условии задачи использованы различные единицы измерений (тонна, грамм, |
|||||||||||||||||||
метр, сантиметр). При решении мы |
выразили |
все величины в тоннах.и |
метрах. |
||||||||||||||||
Решим эту же задачу в |
СИ или МКС (м, |
кг, |
сек), |
для чего |
выразим |
в этих еди |
|||||||||||||
ницах все величины, заданные в условии задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Давление |
земли на |
один |
метр длины |
стены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
6 |
Г/ж = 6000 кГ/м |
|
= 6000-9,81 |
н/м. |
|
|
|
|
|
||||||
Если |
длина стены / |
м, то давление |
на |
всю стену |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Удельный |
вес |
кладки |
Р = |
6000-9,81 •/«. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
Г/см3 |
= 2000 кГ/м3 |
= 2000 -9,81 |
н/м9. |
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
вес стены |
|
G = 2000-9,81 -Ыа н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Составляя |
и решая |
уравнения |
равновесия |
всех |
сил, приложенных |
к |
стене, |
||||||||||||
получим |
тот же ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
О т в |
е т . |
|
1,41 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача № 7. На катеты |
равнобедренного прямоугольного треугольника |
ABC, |
|||||||||||||||||
сделанного |
из |
проволоки и установленного |
в |
вертикальной |
плоскости |
так, что |
|||||||||||||
гипотенуза |
АВ |
горизонтальна |
(рис. 20, а), нанизаны два шарика: Р весом G1 |
= 3 н |
|||||||||||||||
и Q весом G2 = 4 н, связанные нерастяжимой |
нитью. Найти |
положение |
равновесия |
||||||||||||||||
(угол /_ CPQ = OL), |
реакции |
катетов |
и |
натяжение |
нити, |
считая, что |
проволока |
||||||||||||
не прогибается |
и трение |
отсутствует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Равновесие |
какого |
объекта |
надо |
рассмотреть, |
чтобы |
определить |
|||||||||||
угол а, |
натяжение |
нити Т |
|
и две реакции катетов? Если рассматривать равновесие |
||||||||||||||
шарика |
Р, |
получим |
два |
уравнения равновесия ('£1Х |
= 0 и |
|
— 0) |
Д л я |
т Р е х |
|||||||||
неизвестных |
(угол |
а, |
натяжение Т нити и реакция RA |
катета АС). |
Если |
|
рассмат |
|||||||||||
ривать |
равновесие |
шарика |
Q, |
то |
получим |
два |
других |
уравнения |
с |
тремя |
неиз |
|||||||
вестными (угол ос, натяжение Т нити и реакция Л?д катета ВС), |
но |
две |
|
из |
этих |
|||||||||||||
неизвестных величин входят в уравнения равновесия шарика |
Р. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Для |
решения |
задачи |
надо: 1) рассмотреть равновесие шарика |
Р |
и |
составить |
||||||||||||
уравнения равновесия; |
2) |
рассмотреть равновесие шарика Q и составить |
|
уравне |
||||||||||||||
ния равновесия; 3) решить совместно все четыре уравнения |
и |
найти |
из |
них |
||||||||||||||
четыре |
неизвестных |
а, |
Т, |
|
RA |
и |
Rg. |
|
|
силы: его вес |
3 я, |
направ |
||||||
1) Равновесие |
шарика |
|
Р. На шарик Р действуют |
|||||||||||||||
ленный |
вниз, натяжение |
Т |
нити, |
направленное |
к Q, |
и реакция |
RA |
катета |
АС. |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Катет (проволока АС) |
осуществляет |
связь |
шарика |
Р. |
Эта |
связь |
допускает |
пере |
||||||||
мещение шарика лишь по АС. |
Реакция |
направлена |
перпендикулярно |
виртуальным |
||||||||||||
перемещениям, |
т. е. перпендикулярно |
АС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Построим |
систему |
координат |
с |
началом в центре шарика |
Р , |
направив |
ось |
|||||||||
Ох по катету к точке С (рис. 20, б). |
Заметим, что мы впра'ве выбирать направ |
|||||||||||||||
ления осей так, как |
это представляется |
целесообразным для упрощения выкладок. |
||||||||||||||
Мы свободны также |
в |
выборе |
начала |
координат. |
|
|
|
|
|
|
Р: |
|||||
Составляем |
уравнения |
равновесия |
системы сил, |
приложенных |
к шарику |
|||||||||||
|
|
2* |
= |
0; |
Г cos |
к — 3 c o s 4 5 ° = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2^ |
= 0; |
— Т 8іпа — 3 sin 45° + |
= |
0. |
|
|
|
|
||||||
2) Равновесие шарика |
Q. |
На |
шарик Q действуют, вес 4 я, направленный |
вниз, |
сила Т натяжения нити, направленная к шарику Р (по принципу равенства дей
ствия и противодействия), |
и реакция |
Rn |
катета |
ВС, |
направленная перпендику |
||||
лярно виртуальному перемещению шарика Q. |
|
|
|
||||||
Нет необходимости строить |
новую |
систему координат, и |
мы можем проеци |
||||||
ровать силы, |
приложенные |
к шарику Q, на уже |
имеющиеся |
координатные оси. |
|||||
Получаем два |
новых уравнения: |
|
|
|
|
|
|
||
|
2-Х |
= 0; |
RB |
—T |
COS a—4 cos |
45° = |
0; |
||
|
2^ = °; T s i n a — 4 s i n 4 5 ° = 0. |
|
|
||||||
3) Решая |
совместно четыре |
уравнения, |
находим четыре |
неизвестных. |
|||||
О т в е т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t g a = - | - ; |
(a = 53°); |
Г = 3 , 5 4 я ; |
R A = R B = |
5H. |
Задача № 8. |
К шарниру |
кронштейна |
A BCD |
(рис. |
21, а) приложена |
сила |
||||||||||
Р = 6000 н. Кронштейн |
состоит |
из трех |
стержней АВ, |
АС |
и AD |
равной |
длины; |
|||||||||
крепления А, |
В, С и D шарнирные, плоскость ABC |
горизонтальна |
и |
В С = Л О = |
||||||||||||
= 2 OD. Найти усилия в |
стержнях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
Рассматриваем |
равновесие |
точки Л, |
в которой |
сходятся |
все неиз |
||||||||||
вестные силы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
сил: вес Р = 6000 н, |
|
|
|||||
На точку Л действует пространственный пучок |
направ |
|||||||||||||||
ленный вниз, усилия в стержнях |
АВ, |
АС |
и AD. Усилием |
в |
стержне |
называют |
||||||||||
силу, действующую вдоль стержня |
и растягивающую |
или |
сжимающую |
его; |
если |
|||||||||||
стержень растянут, то на шарнир |
действует сила, направленная к стержню, |
если |
||||||||||||||
сжат, то от |
стержня. |
Не |
всегда |
бывает просто без предварительных расчетов |
||||||||||||
определить, сжат |
данный стержень |
или растянут. Иногда этому |
помогает |
следую- |
|
|
|
|
Рис. 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щий прием: если от замены стержня нитью равновесие не нарушается, |
то стержень |
|||||||||||||
растянут, а если нарушается, то сжат. В данной задаче стержень |
AD, |
очевидно, |
||||||||||||
можно |
заменить |
нитью, следовательно, |
он |
растянут |
и |
сила |
FQ, |
приложенная |
||||||
к шарниру |
А, направлена так, как тянула |
бы |
его нить, |
т. е. |
к |
D. Стержни |
АВ |
|||||||
и АС нитями заменить нельзя, так как кронштейн, потеряет |
жесткость, следова |
|||||||||||||
тельно, |
силы, приложенные к |
шарниру |
А, направлены от В |
и от С. Существует |
||||||||||
и другой |
способ, |
требующий |
предварительных |
расчетов: |
силы, действующие |
на |
||||||||
шарнир |
со |
стороны стержней, |
при предварительном |
расчете |
считать |
растягива |
||||||||
ющими |
и всегда |
направлять от шарнира |
к стержням, |
составлять |
и |
решать урав |
нения равновесия, и если в результате решения этих уравнений для сил получа
ются положительные значения, то стержни |
растянуты, |
а если отрицательные, |
то |
||||||||||||
сжаты. Этот способ мы |
применим |
в |
данной |
задаче |
и |
будем считать, что, кроме |
|||||||||
вертикальной нагрузки |
Р, |
на |
шарнир А |
действуют |
усилия |
в стержнях |
АВ, |
АС |
|||||||
и AD, направленные условно |
от Л к В, С и D. |
|
|
|
в точке О (рис. 21, б), |
||||||||||
Построим пространственную систему координат с началом |
|||||||||||||||
направив |
оси, как показано на чертеже. Из условия задачи следует, что |
АВО= |
|||||||||||||
— £АСО |
= 60°, |
ОАВ= |
/ |
OAD = 30°. Составляем |
уравнения равновесия про |
||||||||||
странственного пучка сил: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2^ = 0; F s c o s 6 0 ° — F c c o s 6 0 ° = 0; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
У = 0; |
— F B |
cos 30а—Fс |
cos 30° — F 0 |
cos 30° = 0; |
|
|
|||||||
|
2^ = 0; f D c o s 6 0 ° — P = 0. " |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решая эти уравнения, |
находим |
ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
О т . в е т . Стержень |
АВ |
сжат, |
F B |
= — |
6000 и; стержень АС сжат, FC=—6000 |
к; |
|||||||||
стержень |
AD растянут, |
F 0 |
= - f - 1 2 000 н (рис. 21,в). |
|
(в |
некоторых |
задачах) |
||||||||
Для |
отличия |
сжимающую силу |
условимся |
писать |
|||||||||||
с отрицательным |
знаком. Этот |
знак |
сжимающим |
силам приписывают условно.. |
|
Г Л А В А IV
МОМЕНТ СИЛЫ. ТЕОРИЯ ПАР
§7. ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
КРАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
Две параллельные силы, направленные в одну сторону, всегда имеют равнодеиствующую, направленную в ту же сторону и по модулю равную сумме модулей елагаемых сил. Линия действия равнодеиствующей делит
расстояние между линиями
действия слагаемых сил
Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону. Если векторы сил параллельны между собой, то линии дей- с т в и я и х н е пересекаются и их нельзя
г
складывать по правилу сложения сил,
изложенному в § 3. Для приведения |
парал- |
|||
лельных |
сил |
к равнодействующей |
суще- |
|
С Т В у Ю Х |
другие |
правила, выводом которых |
||
J |
r J |
„ |
r |
r |
м ы т е п |
е Р ь |
займемся. |
|
внутренним образом на части, |
|
|
Пусть на |
твердое |
тело |
(рис. 22, а) |
дей- |
||||||||||||||||
обратно |
пропорциональные |
|
|
|
|
|
|
|
7? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
модулям |
слагаемых |
сил |
|
ствуют две |
силы: Fx , |
приложенная |
в точ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ке |
А |
этого |
тела, и |
F2, |
приложенная |
в |
|||||||||
точке В того же тела. Линии действия этих сил параллельны, |
и |
обе |
|||||||||||||||||||||
силы направлены в одну и ту |
же |
сторону. На |
рисунке прямая |
|
АВ |
||||||||||||||||||
перпендикулярна линиям действия сил, ко доказательство |
остается |
||||||||||||||||||||||
справедливым |
при |
любом |
угле |
наклона |
прямой |
АВ. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Приложим |
к тому же телу в точках |
А к В две равные силы Р1 |
и |
|||||||||||||||||||
Р2 |
(рис. 22, б), |
направленные |
по прямой АВ в противоположные |
||||||||||||||||||||
стороны. Силы |
Рг |
и |
Р 2 |
взаимно уравновешивают друг друга, |
нали |
||||||||||||||||||
чие |
таких сил |
|
эквивалентно их отсутствию, а следовательно, |
система |
|||||||||||||||||||
четырех действующих на данное тело сил (Flt |
|
Ft, Р1 |
и Рг) |
эквива |
|||||||||||||||||||
лентна двум данным силам Рг |
и F2. |
Сложив |
|
затем |
силы |
Fx |
и |
|
Plt- |
||||||||||||||
приложенные к телу в точке |
А, |
мы заменим |
их |
одной |
силой |
|
Rt, |
||||||||||||||||
приложенной к той же точке А. |
Сложив силы |
F2 |
и |
Р2, |
приложен |
||||||||||||||||||
ные к телу в |
точке |
В, |
мы заменим их |
одной |
силой |
R2. |
Силы |
|
|
и |
|||||||||||||
R2 |
эквивалентны |
системе |
сил |
{Ft, F2, |
Р1 |
и |
Р2 ), а |
следовательно, |
|||||||||||||||
они |
эквивалентны |
двум |
силам |
(Fx и F2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Перенесем |
силы |
Rt |
и |
R2 |
в |
точку |
D пересечения |
|
их |
линий |
дей |
|||||||||||
ствия (рис. 22, е) |
и |
там |
разложим |
каждую |
из них |
на |
две состав |
||||||||||||||||
ляющие, |
параллельные |
силам |
F и Р. Мы получим четыре |
силы |
|||||||||||||||||||
(F[, |
F'2, Р\ и |
Р'г), |
приложенные к |
точке D |
и эквивалентные |
системе |
|||||||||||||||||
сил |
{F1 |
и F2), |
|
причем |
Р[ = Рг, |
F2 |
= F2, |
P[ = Plt |
Р'г = Р2. |
|
Заметим, |
что силы Р[ и Р2 равны между собой по величине и действуют по одной и той же прямой в противоположные стороны, а потому они уравновешивают друг друга, т. е. наличие этих сил эквивалентно
их отсутствию, и мы можем отбросить силы Р'х и Р2. Останутся только две силы, приложен ные в одной и той же точке D, а именно F[, рав ная данной силе F\, и F'2, равная силе F2.
Таким образом, систему двух параллельных
сил (Flt F2), приложенных в разных точках А и В твердого тела, мы заменили эквивалентной системой таких же сил, но приложенных к одной
точке D. Очевидно, |
что |
равнодействующая |
этой |
|||
системы приложена |
в той |
же |
точке D, направ |
|||
лена в ту же сторону, |
|
что |
и |
слагаемые |
си |
|
лы, а по модулю |
равна |
сумме |
модулей |
этих |
||
сил: |
|
|
|
|
|
|
R = Ft |
+ Ft. |
|
|
(10) |
Перенесем равнодействующую R по линии действия в точку С, лежащую на прямой А В (рис. 22, г). Из подобия полученных треуголь ников ACD и BCD, соответственным силовым треугольникам (см. рис. 22, в), можно написать
Fj__CD_ |
F2 |
_ |
CD |
Pt ~~ AC И |
P., |
~ |
ВС • |
Деля первую пропорцию на вторую и при нимая во внимание, что Р1 = Ра, получим
Следовательно (рис. 22, д), две параллельные
силы F1 и F2, направленные в одну сторону, приведены к одной равнодействующей R, на правленной в ту же сторону и по модулю рав ной сумме модулей слагаемых сил. Линия дей-
ствия равнодействующей R лежит между лини ями действия слагаемых сил и делит расстояние АВ на части, обратно пропорциональные мо дулям слагаемых сил.