Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 216
Скачиваний: 2
выражения является существенно положительной величиной. В даль нейшем мы не всегда будем ставить эти вертикальные черточки,
помня, |
что знаменатель |
в выражении |
направляющего косинуса яв |
|||||||||||||
ляется |
положительным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По |
этой |
формуле можно определять не только направляющие |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
косинусы вектора силы, но и направляющие |
|||||||||||
|
|
|
|
|
косинусы всякого другого вектора (скорости, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ускорения и пр.). Во всех |
отделах |
нашего |
|||||||||
|
|
|
|
|
курса направляющим косинусам отведена зна |
|||||||||||
|
|
|
|
|
чительная роль. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Углы, составляемые каким-либо |
|
вектором |
||||||||
|
|
|
|
|
с |
осями х, у и г, |
мы будем |
обозначать |
соот- |
|||||||
|
|
Рис. |
15 |
ветственно буквами а , |
Р и у |
с индексом век |
||||||||||
|
|
|
|
|
тора. Например, углы, составляемые векто |
|||||||||||
ром F с осями координат, будем обозначать aF, |
Р ґ , |
yF. Если проек |
||||||||||||||
ции |
силы |
F на оси координат обозначать через X , Y и Z, то |
|
|
||||||||||||
|
|
|
cosa f = y j q - ; |
cospV = " p y ; |
cosvf |
= |
. |
|
|
(3') |
||||||
|
Практически |
при решении |
|
задач для определения проекции |
силы |
|||||||||||
на |
ось |
обычно |
умножают |
модуль |
силы на |
косинус |
о с т р о г о |
|||||||||
угла между осью (ее положительным |
или отрицательным |
направле |
||||||||||||||
нием) |
и линией |
действия |
силы |
и приписывают |
проекции |
знак |
«+» |
|||||||||
или |
«—» в зависимости от того, «направлена» |
ли проекция |
в сторону |
|||||||||||||
положительного |
или в сторону |
отрицательного направления оси. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Проекция силы |
на |
плоскость. |
В |
отличие |
||||||
Проекция вектора на пло- |
от проекции |
силы |
на |
ось проекция |
силы |
|||||||||||
скость |
является вектором |
на |
плоскость является вектором |
и |
имеет |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
собственное |
направление |
на плоскости. |
||||||||
Чтобы спроецировать силу АВ на плоскость, надо опустить на плоскость перпендикуляры Ab и ВЬ (рис. 15) из начала Л и из
конца В вектора силы; полученный вектор ab, лежащий в плоскости, является проекцией силы на плоскость:
ab = п р . АВ.
Модуль проекции равен произведению модуля .силы на косинус угла наклона вектора силы к плоскости:
|
ab=AB |
cos a. |
|
|
|
|
Проекция равнодействующей |
Теорема |
о |
проекции |
равнодействующей. |
||
Покажем, |
что проекция |
|
равнодействующей |
|||
равна сумме проекции со- |
н а плоскость |
r |
r |
„ J |
сумме |
|
ставляющих сил |
равна геометрической |
|||||
|
проекций |
составляющих. |
|
OAEKL, |
||
Дан пучок сил, представленный силовым многоугольником |
||||||
и дана некоторая плоскость (рис. 16). Опуская перпендикуляры Оо,
Аа, Ее, Kk и Ы |
на плоскость |
из вершин силового многоугольника, |
найдем проекции |
составляющих |
сил на-плоскость: проекция ОА=оа; |
проекция АЕ = ае; проекция ЁК — ek; проекция KL — kl. Складывая
все проекции, получим oa-\-ae-\-ek-\-kl |
= ol. |
Но вектор о/ |
является |
проекцией равнодействующей OL на |
ту же |
плоскость: |
проекция |
ОІ = о/.
Сопоставляя между собой два последних равенства, найдем, что проекция равнодействующей на плоскость равна сумме проекций составляющих на ту же плоскость. Проекция сил на плоскость — вектор, поэтому сумма геометрическая.
Напротив, проекции силы на ось—скалярные величины, а по тому проекция равнодействующей на ось равна алгебраической сумме проекций составляющих на ту же ось. Пусть дан пучок сил, пред
ав
|
|
Рис. 16 |
|
|
|
|
|
|
|
||
ставленный силовым |
многоугольником OAEKL, |
и дана ось (рис. 17). |
|||||||||
Опуская |
перпендикуляры |
Оо, |
Аа, |
Ее, Kk и |
LI |
на ось из |
вершин |
||||
силового |
многоугольника, |
найдем проекции составляющих сил на |
|||||||||
ось: проекция |
OA = + оа\ проекция АЕ= |
+ ае; проекция ЕК— — ek; |
|||||||||
проекция |
KL—A-kl. |
Складывая все проекции, |
получим оа-\-ае — |
||||||||
— ek + kl — ol. Но ol |
является |
проекцией |
равнодействующей |
0L на |
|||||||
ту же ось: проекция |
OL = ol. |
Остается |
лишь |
сопоставить |
между |
||||||
собой два последних |
равенства1 . |
|
|
|
|
|
|||||
Величину |
и . |
направление |
Если |
угол, составляемый равнодействую |
|||||||
щей с данной осью, известен, то, поделив |
|||||||||||
равнодействующей пучка сил |
|||||||||||
можно определить по суммам |
сумму проекций составляющих на косинус |
||||||||||
проекций |
составляющих |
на |
этого угла, можно определить численную |
||||||||
взаимно |
перпендикулярные |
величину равнодействующей. Если же, как |
|||||||||
|
оси |
|
|
это обычно и бывает, направление равно |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
действующей |
неизвестно, |
то |
для |
определения |
равнодействующей |
||||||
составляют суммы проекций всех составляющих на пересекающиеся (обычно взаимно перпендикулярные) оси.
1 Д л я |
наглядности на рис. 17 изображен плоский |
силовой многоугольник и |
ось взята |
в его плоскости, но теорема справедлива и |
для трехмерного прост |
ранства. |
|
|
Пусть дана система сил, сходящихся в одной точке. Дл я про стоты рассуждений предположим, что все эти силы лежат в одной плоскости. Проведем в этой плоскости декартову систему координат
хОу и спроецируем |
все силы |
на оси Ох и Оу. |
|
|
|
|||
Обозначим проекцию силы Fx |
на ось абсцисс через |
Xlt |
а на ось |
|||||
ординат—через У\; проекции |
силы F.2 обозначим теми |
же буквами |
||||||
с индексом |
2 и т. д. Сумму |
проекций всех |
сил на ось абсцисс обо |
|||||
значим символом 2]Х, а на ось ординат — ^Y . Проекция |
равнодей |
|||||||
ствующей на какую-либо ось равна алгебраической |
сумме |
проекций |
||||||
составляющих на ту же ось, и мы можем написать |
равенства |
|||||||
|
RX |
= xl+xt+x,+ |
...+xa |
= |
|
|
'2x, |
|
|
RY |
= YL + YT + YA+...+YA |
= ^LY, |
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|||||
где RX и RY означают проекции равнодействующей |
на |
оси коорди |
||||||
нат. Теперь |
мы можем найти |
величину равнодействующей: |
|
|||||
или |
|
R = + |
VRI+R*, |
|
|
|
|
|
|
# = + ]/(2*)2 +(2} 02 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(5') |
|||
Направление равнодействующей можно определить по направ |
||||||||
ляющим косинусам: |
|
2* |
|
|
|
|
||
|
cos aR •• Rx_ |
|
\ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
+ j / ( 2 x ) 2 + (2k)2 |
|
|
(6') |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если силы системы не лежат в одной плоскости, |
то, спроециро |
|||||||
вав силы на три координатные оси, получим |
|
|
|
|||||
|
я = + / (2x)2+(2^)2+(2z)2> |
|
|
(5) |
||||
|
cos аг, = |
_ |
|
|
|
|
|
|
cos $ R • |
(6) |
|
cos yR + /(S^), +(S^)4(S2)i
Знак направляющего косинуса определяется знаком числителя. Возведя равенства (6) или (6') в квадрат и сложив, убедимся,
что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:
cos2 a^-fcos2 P^ + cos 2 Y«= !• |
(7) |
Задача №. 4. |
Найти |
равнодействующую |
R двух |
сил Р |
и Q |
по 3 н каждая, |
||||
направленных под углом |
120° друг |
к другу |
(см. рис. 3, в). |
|
|
|
||||
Р е ш е н и е . |
Примем |
точку |
приложения |
сил за |
начало |
координат, |
направим |
|||
ось Ох по силе Q, а |
ось Оу к ней —перпендикулярно. Как видно из |
чертежа, |
||||||||
направляющие косинусы |
складываемых сил таковы: |
|
|
|
|
|||||
|
і |
|
й |
г, |
|
1 |
« |
V I |
" |
|
c o s a Q = l , |
COSPQ = 0, |
c o s a p = — j , |
cos pp=—^— • |
|
||||||
Найдем проекции равнодействующей по формулам (4 ) и модуль |
равнодействую |
|||||||||
щей по ( 5 ' ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rx |
= |
"S X — Q cos ag-j-P |
cos « р = 1,5; |
|
|
|
|||
|
/?y = 2 ] K = QcosPQ + PcosPp = |
3 ^ - ; |
|
|
||||||
Ее направление определим по направляющим косинусам (6'):
|
1,5 |
1 |
|
|
0 |
з у Т |
у"з |
|
|
|
|
cosa^ = - ^ - = — ; |
* |
c o s p > = - |
2 - 3 |
2 |
' |
|
|||
|
3 |
2 |
|
™ |
|
|
||||
О т в е т . |
R = 3H и направлена |
под углом |
60 ° к силам. |
|
|
|||||
|
|
Условия |
равновесия |
пучка сил в аналити- |
||||||
Для равновесия системы схо- |
ческой форме. Как было |
показано в |
§ 3, |
|||||||
дящихся сил |
необходимо и |
при |
равновесии |
системы |
сходящихся |
сил |
||||
достаточно, чтобы равнялись |
||||||||||
нулю суммы |
проекций всех |
ее равнодействующая |
равна нулю. |
|
||||||
сил на оси координат |
Если |
|
пучок |
сил является плоским, то |
||||||
|
|
из (5') следует |
|
|
|
|
||||
я = / (2*)'+(2*Т=°-
Сумма квадратов двух величин может равняться нулю только в случае, если равна нулю каждая из этих величин, а потому
2^ = о. f |
(8> |
Эти равенства называют, условиями |
равновесия плоской системы |
сходящихся сил в аналитической форме. Они являются необходимыми и достаточными условиями.
Если же пучок сил не лежит в одной плоскости, но является уравновешенной системой, то путем аналогичных рассуждений мы выведем условия равновесия пространственной системы сходящихся сил в аналитической форме:
2 * = М
2^ = 0, |
(9) |
2*=о. J |
|
Если условия равновесия (8) и (9) содержат неизвестные вели чины, то их называют уравнениями равновесия сходящихся сил.
Задача № 5. Нить |
с грузами Р и Q |
на концах |
перекинута |
через |
блоки А |
и В, находящиеся на |
одной горизонтали |
(рис, 18, а). |
В точке |
О нити, |
находя- |
щейся между |
блоками, привязан груз б = |
2 7 , 3 я . При |
равновесии системы |
ветвь |
||
OA образует |
с горизонталью угол 60°, а |
ветвь О В — угол 45°. |
Пренебрегая тре |
|||
нием в блоках, определить величину грузов Р и Q. |
|
|
|
|
||
Решение. |
Равновесие какого объекта |
надо рассмотреть для решения задачи? |
||||
Ответим на этот вопрос. Требуется определить веса грузов Р |
и Q. |
Веса |
грузов |
|||
приложены к |
этим грузам и направлены |
вертикально |
вниз. Каждый |
груз |
натя |
|
гивает нить силой, равной своему весу. Блок меняет направление нити, а следо вательно, и направление силы натяжения нити, не меняя ее величины. Силы, по
модулю равные Р и Q и направленные |
по OA и ОБ, |
пересекаются в точке О, где |
|||||||||||
приложена |
и заданная |
сила |
|
G (рис. |
18, б). |
Поэтому |
для |
решения |
задачи надо |
||||
рассмотреть |
равновесие |
точки |
О. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Какие же силы действуют |
на |
точку |
О? |
На нее |
действуют сила |
G; натяже |
|||||||
ние Р |
ветви |
OA; |
натяжение |
Q ветви ОВ. |
Веса грузов |
Р и Q, приложенные к этим |
|||||||
грузам, |
учитывать |
не надо, |
потому |
что они |
не приложены |
к точке О. |
|||||||
Рис. 18
Д л я изучения равновесия сил, приложенных к точке О, можно построить силовой многоугольник или составить уравнения равновесия. Выберем второй путь. Построим систему координат с началом в точке О (рис. 18, в), спроецируем
силы |
на |
оси и |
составим уравнения равновесия. |
|
|
|
|||
Д л я |
проекций на ось |
Ох |
имеем |
|
|
|
|||
|
|
|
2^ |
= |
0; |
Q cos 45° — P c o s 6 0 ° = 0. |
|
|
|
Знак проекции Q положительный, потому что она направлена в положитель |
|||||||||
ном |
направлении оси Ох |
(вправо). Знак у проекции |
Р отрицательный, |
так |
как |
||||
она |
направлена |
в отрицательном |
направлении оси Ох. |
Проекция силы G на |
ось |
Ох |
|||
равна нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично |
получаем |
|
|
|
|
|
|||
2 ] ^ = 0; Q sin 4 5 ° + Р sin 60° — G = 0.
Проекции Р и Q на ось Оу положительны, так как направлены в положи тельном направлении оси. Проекция G отрицательна, так как направлена вниз. Подставляя числовые значения и решая уравнения, получаем ответ.
О т в е т . Р = 20 н, Q= 14,1 я.
Задача |
№ 6. |
(№ |
2.54, 63 |
М). |
Земляная |
насыпь |
|
подпирается |
вертикальной |
|||||
каменной |
стеной |
АВ. |
Найти |
необходимую |
толщину |
стены а, |
предполагая, что |
|||||||
давление земли на |
стену направлено горизонтально, |
приложено |
на |
1 /3 ее |
высоты |
|||||||||
и равно 6 тонн на |
метр длины стены; удельный вес кладки 2 Г/см3. |
Стена должна |
||||||||||||
быть рассчитана на опрокидывание вокруг ребра А (рис. 19, а). |
|
|
||||||||||||
Решение. |
Первый |
вопрос: равновесие |
какого тела |
надо рассмотреть? |
|
|||||||||
Нужно рассмотреть равновесие каменной стены |
АВ. |
|
|
|
||||||||||
Второй вопрос: какие силы действуют на рассматриваемое тело? |
|
|||||||||||||
На |
стену |
действуют следующие |
силы |
(рис. 19, б): |
|
|
|
|
||||||
а) |
вес |
G стены, приложенный в |
ее центре |
тяжести, |
направленный по |
верти |
||||||||
кали вниз |
и |
равный |
произведению |
объема |
стены на |
удельный |
вес |
кладки. |
Обо- |
|||||
