Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 224
Скачиваний: 2
§ 8. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ
Условие равновесия рычага. Твердое тело, имеющее возможность поворачиваться во круг неподвижной оси под воздействием сил, линии действия которых расположены в плоскостях, перпендикулярных оси вра щения, называют рычагом. Пусть рычаг
(рис. 27) представляет собой невесомый жесткий стержень. На него
действуют только две силы |
Ft |
и F2, |
перпендикулярные |
к |
рычагу |
||||||||
в точках А и В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если |
точка |
опоры |
С,-т. е. точка пересечения оси вращения с плос |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
костью |
чертежа, |
лежит |
между |
||
д |
е |
д |
|
Q |
д |
|
iF'z |
линиями действия сил (рис. 27, а), |
|||||
( |
—9г—і |
~ |
д — і |
|
* в |
то рычаг называют |
рычагом |
первого |
|||||
ЯШ |
|
Т/г |
!ШЯ |
|
|
|
рода. Рычагом второго рода назы- |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
вают рычаг, в котором точка опоры |
|||||
|
' |
а) |
|
|
if |
6) |
|
находится по одну |
сторону |
от ли |
|||
|
|
|
|
|
|
ний |
действия сил (рис. 27, б). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Рис. 27 |
|
|
|
Для |
равновесия |
рычага необхо |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
димо |
и |
достаточно, чтобы |
равно- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
действующая активных |
|
—»• —• |
|||
была |
уравновешена |
|
|
|
сил Fj и F 2 |
||||||||
реакцией в точке опоры. Таким |
образом, |
равно- |
|||||||||||
|
|
|
|
—> |
~ > |
|
|
|
|
|
|
|
|
действующая сил F l и F2 должна проходить через точку С, т. е. должно существовать равенство
|
|
|
|
|
|
F , |
ВС |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 ~ |
АС ' |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
F j ^ C - F 2 - 5 C = 0. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Будем |
называть |
|
расстояние от точки |
опоры |
до |
линии действия |
||||||
силы |
плечом силы, |
а |
произведение модуля силы на плечо—моментом |
|||||||||
силы |
относительно точки опоры С. Момент мы считаем положитель |
|||||||||||
ным, |
если |
сила |
стремится повернуть |
рычаг против |
вращения |
стре |
||||||
лок |
часов, и отрицательным, если сила |
стремится |
повернуть |
плечо |
||||||||
в ту |
же сторону, |
в |
какую поворачиваются стрелки часов. Момент |
|||||||||
силы Ft относительно опоры |
на |
левом |
чертеже |
положительный, а |
||||||||
|
|
—> |
F2—отрицательный. |
|
|
|
|
|
|
|||
момент силы |
|
|
рычага |
выразим так: для |
||||||||
Таким |
образом, |
|
условие |
равновесия |
||||||||
равновесия рычага необходимо и достатнчно, чтобы сумма моментов
сил относительно точки опоры равнялась |
нулю: |
2 м с = 0. |
(13) |
1 Это равенство было впервые доказано Архимедом. Гюйгенс (1693) уточнил доказательство Архимеда, однако вполне строгое доказательство дал лишь Лагранж (1793).
|
Задача № 12. Груз О |
(рис. 28, а) поднимают тросом, перекинутым |
через |
блок |
|||||||||||||||||||||
и намотанным на барабан / лебедки. Барабан лебедки |
жестко скреплен с |
зубча |
|||||||||||||||||||||||
тым |
колесом |
/ / , которое находится |
в |
зацеплении |
с зубчатым колесом / / / , |
жестко |
|||||||||||||||||||
скрепленным |
с |
рукояткой |
03А. |
Определить |
силу |
F, |
прикладываемую |
к точке А |
|||||||||||||||||
рукоятки лебедки для равномерного поднятия груза |
G, |
в положении, |
изображен |
||||||||||||||||||||||
ном на чертеже. Даны диаметры: Dly |
|
D 2 , |
D3. |
Длина |
рукоятки |
03А |
|
= 1. |
|
|
|||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
Лебедку |
можно |
рассматривать |
как |
состоящую |
из |
двух рычагов. |
|||||||||||||||
Один |
рычаг |
(назовем |
его |
первым) |
представляет |
собой твердое |
тело, |
состоящее из |
|||||||||||||||||
барабана |
/ |
и шестерни |
/ / |
и имеющее |
неподвижную ось |
О х . Другой |
рычаг—твер |
||||||||||||||||||
дое |
тело, |
состоящее |
из |
шестерни |
/ / / |
и рукоятки |
03А |
и имеющее |
|
неподвижную |
|||||||||||||||
ось |
0 3 . Для |
|
решения |
задачи |
из |
условия |
равновесия |
первого |
рычага |
определим |
|||||||||||||||
давление |
Р 3 2 |
|
между |
зубцами |
шестерен, |
а зная |
его, |
найдем F |
из |
условия |
равно |
||||||||||||||
весия |
второго |
|
рычага. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 28, б): |
|
|
|
|
|
||||||
|
На первый рычаг действуют следующие силы |
|
!) |
сила |
|
натя |
|||||||||||||||||||
жения |
троса, |
равная |
весу |
груза, |
направленная |
вверх |
и стремящаяся |
повернуть |
|||||||||||||||||
рычаг |
по |
ходу |
часовой |
стрелки; |
2) |
давление |
P 3 |
j 2 |
зубцов колеса |
|
/ / / |
на |
зубцы |
||||||||||||
колеса |
/ / , |
направленное |
вверх |
и |
поворачивающее |
первый |
рычаг |
против |
хода |
||||||||||||||||
часов, и 3) реакция в оси |
Ov |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Момент силы Т относительно точки |
опоры |
Ог |
равен —- G -—•. Момент силы |
Р з л |
||||||||||||||||||||
|
|
Рис. 28 |
|
|
|
|
|
|
|
D. |
|
|
|
|
|
|
|
равен Р3 ,2-^- Момент реакции в оси относительно точки |
6\ |
равен |
нулю. |
Из |
||||
условия равновесия рычага находим |
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ко второму |
рычагу (рис. 28, в) приложены: 1) сила давления |
зубцов колеса |
/ / , |
||||
равная (по принципу равенства действия и противодействия) |
Р з , 2 , |
но |
направлен |
|||||
ная |
вниз и стремящаяся повернуть второй рычаг против |
хода |
часов; |
2) давление F |
||||
руки |
человека, |
направленное вниз и поворачивающее |
рычаг |
по |
ходу часов, |
и |
||
3) реакция в оси 03, |
момент которой |
относительно 03 |
равен |
нулю. |
|
||
Момент силы |
Р 2 _ 3 |
относительно |
точки |
опоры 03 |
равен |
G ~ • ~ . |
Момент |
искомой силы F |
равен |
— F - 1 . По условию |
равновесия |
рычага |
|
||
|
|
^ О , = 0 ; |
о ^ . ^ ~ Л = 0. |
|
|
||
О т в е т . |
|
|
|
|
|
|
|
Мы выяснили, что момент силы относительно точки опоры рычага |
||||||
зависит не только от величины |
силы, но и от ее положения по отно |
|||||
шению |
к точке |
опоры |
рычага. |
Чем дальше от точки опоры лежит |
||
линия |
действия |
силы, |
тем больше |
момент. Если сила не перпенди |
||
|
|
|
|
кулярна рычагу (рис. 29), то способ |
||
|
|
|
|
ность ее поворачивать рычаг |
вокруг |
|
|
|
|
|
точки опоры мы и в этом случае будем |
||
|
|
|
|
измерять моментом силы, а под плечом |
||
|
|
|
|
будем понимать кратчайшее |
расстоя |
|
Ftinct |
|
|
ние от точки опоры до линии дейст |
|||
|
|
вия |
силы. Пусть сила F приложена |
|||
|
Рис. |
29 |
|
к рычагу в точке А и составляет с ним |
||
|
|
|
|
некоторый угол а. Разложим силу на |
||
две составляющие, из которых |
одна |
(Fsina) перпендикулярна к ры |
||||
чагу, |
а другая |
(Fcosa) направлена |
вдоль рычага. Эта вторая соста |
|||
вляющая не может повернуть рычаг, а поворачивать его будет только
первая |
составляющая (Fsina), или, как говорят, только эта состав |
|
ляющая |
создает вращающий |
момент. |
Следовательно, момент силы F относительно опоры С |
||
|
MC{F) |
= F sin a-AC. |
Но, как видно из чертежа, ACs'ma—h. Называя плечом силы отно сительно точки длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы, мы находим, что и в этом случае момент равен произ ведению модуля силы на плечо:
Mc = Fh. |
(14) |
Момент силы относительно точки. Понятие момента применимо не только к силам, действующим на рычаг, но и к силам, приложенным ко всякому твердому телу. Момент силы может быть определен не только относительно опоры, но и относи
тельно всякой точки. Точку, относительно которой определен момент силы, называют центром момента.
Таким образом, опуская из точки О перпендикуляр на линию
действия силы F и умножая модуль силы на длину этого перпенди куляра, получим момент силы F относительно точки О. Знак момента будем определять, руководствуясь следующим правилом: если мыс ленно, закрепив центр момента и действуя на плечо в направлении силы, будем поворачивать плечо против хода часовой стрелки, то момент силы относительно данного центра положителен, если же по
ходу часовой стрелки, то момент отрицателен.
—• - * —>•
Так (рис. 30), моменты сил Fit F3 и F6 относительно точки О
положительны, а моменты сил F1 и Ft относительно той же точки отрицательны.
Одна и та же сила может иметь положительный момент относитель но одной точки и отрицательный — относительно другой. Так, момент
|
|
' F |
|
Рис. 30 |
Рис. 31 |
силы |
F (рис. 31) относительно точки О положителен, а относительно |
|
точки |
С отрицателен. |
|
Момент |
силы |
относительно |
|||
начала |
координат |
связан |
|||
с |
проекциями |
Л" и |
К силы |
||
на оси |
и с |
координатами х |
|||
и |
у точки |
ее |
приложения |
||
|
|
соотношением |
|
||
Mu = xY — уХ
Аналитическое выражение момента силы.
Пусть дана сила F (рис. 32), направление которой составляет с осями координат углы aF и jif. Направляющие косинусы этой силы
X Y
C O S Обр = • cos pV = -р- = sin aF.
Проведем вектор г из начала координат |
в точку |
приложения |
силы. |
|
Этот вектор называют радиусом-вектором. |
Если |
координаты |
точки |
|
приложения силы обозначить через хну, |
то, как видно из чертежа, |
|||
х |
. |
и |
|
|
cosar = —: |
smar |
= —. |
|
|
Г |
|
Т |
|
|
Плечо силы h относительно точки О определим из Д О AN:
h — г sin 6.
И для определения величины момента силы получаем следующую формулу:
|
M0 = rF s'm 8. |
(15) |
Угол б как внутренний |
угол Д OAK равен внешнему aF |
без Дру |
гого внутреннего, с ним не смежного — аг, поэтому |
|
|
sin б = sin (aF—ar) |
= sina f cos ar — cos aF sin ar. |
|
Подставляя сюда, а затем в (15) найденные выше значения три гонометрических величин, получим
Мо
и окончательно
M0=xY—уХ\ |
(16) |
Определяя момент силы по формуле (16), нет надобности опре делять его знак, сообразуясь с ходом часовой стрелки, т. к. знак полу-
1 Это равенство впервые дал Пуансо (1803).
чается непосредственно из формулы в зависимости от знаков х, у, |
X, |
Y. |
||||||||||||
В нашем |
курсе формуле (16) |
уделена |
значительная |
роль. |
|
|
||||||||
Момент силы |
относительно |
Момент силы относительно точки как век |
||||||||||||
тор. |
Напомним, |
что |
векторным |
произведе |
||||||||||
точки выражается векторным |
нием |
а |
на b называют вектор с, направ- |
|||||||||||
произведением |
радиуса-век |
|||||||||||||
тора точки приложения силы |
ленный перпендикулярно |
к |
а и Ъ соглас |
|||||||||||
на вектор |
силы: |
но «правилу буравчика», |
а по модулю рав |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
М |
о- |
rXF |
|
ный |
произведению модулей а и Ъ на |
синус |
||||||||
|
|
|
|
угла |
между направлениями этих векторов. |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, как видно |
из |
(15), величина момента силы равна |
||||||||||||
модулю векторного произведения радиуса-вектора г на вектор силы |
F. |
|||||||||||||
Момент силы относительно точки О как вектор можно |
представить: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
М0= |
rxF1. |
|
|
|
|
|
(17) |
||
Вектор |
М0 |
не |
изображен на |
рис. 32, |
потому что |
он |
направлен |
|||||||
перпендикулярно |
к плоскости, |
в которой лежат векторы г |
и F, |
т. е. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
в |
данном |
случае |
перпендикулярно |
|||||
|
|
|
|
|
|
плоскости чертежа. Если же изобра- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
зить силу F не |
в плоскости |
чертежа, |
||||||
|
|
|
|
|
|
а |
в трехмерном |
пространстве, |
то мо- |
|||||
Рис. 32 Рис. 33
мент М0 силы F относительно точки О надо отложить от точки О перпендикулярно к плоскости, составляемой радиусом-вектором и вектором силы. Удобна следующая геометрическая интерпретация2 (рис. 33). Обозначив буквами А и В начало и конец вектора силы, получим треугольник ОАВ, площадь которого равна половине произве дения основания АВ на высоту h = О Л sin 6.
1
2
Крест для обозначения векторного произведения предложил Гиббс. Такая интерпретация момента силы предложена Пуансо.
