Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 226

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

На чертеже (рис. 38) изображены оси координат и составляю­ щие силы, приложенной к точке А (хуг) (сама сила на чертеже не показана). Чтобы определить моменты силы относительно оси Ох,

нужно сначала спроецировать силу F на плоскость yOz. Проекция равнодействующей равна сумме проекций составляющих, и вместо

того, чтобы спроецировать силу F, мы можем спроецировать ее составляющие. Проекция составляющей X равна нулю, проекции же

составляющих Y и Z равны этим составляющим. Теперь нам остается определить алгебраическую сумму моментов этих проекций относи­ тельно точки О, которая по теореме Вариньона равна моменту проекции равнодействующей на плоскость уОг, или, что то же,

моменту силы F относительно оси Ох. Так мы получаем первую из формул (23). Аналогично можно доказать две другие формулы (23), выражающие моменты силы относительно осей Оу и Ог:

Mx

= yZ~zY;

\

 

My

= zX—xZ;

\

(23)

Mt

= xY—уХ.

)

 

Для

вывода формул

(23) мы выбрали точку приложения

силы

в первом октанте (х, у

и

г положительны)

и направили силу от

начала

координат (X, Y

и Z

положительны).

Если координаты

или

проекции силы отрицательны, то в формулы (23) надо, конечно, подставить отрицательные значения.

Достаточно запомнить одну из формул (23), а следующую можно получить из предыдущей, применив круговую подстановку, т. е. заменив всюду икс на игрек, игрек на зет и зет на икс. Случаи, когда формулы можно получить одну из другой такой подстановкой,

мы будем

отмечать символом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

Выражение

(23) можно получить

непосредственно из свойств век­

торного

произведения,

если

представить

 

векторное произведение

определителем

третьего

порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

~ ->

—>

 

—>

 

 

Mn

=

rxF:

I

1

 

k

 

 

х

у

г

(17')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

Y

 

Z

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки,

найдем:

 

 

 

 

х

г

 

х у

 

 

М 0 = г

У

г

 

 

 

Y Z — 1 X Z

 

X Y

или

М0 = і {yZ — zY) + j (zX — xZ) + k {xY— yX).

Сравнив

это равенство с

(22'), получим формулы (23).

Обратим

внимание на то,

что правая часть третьей

из формул (23)

тождественна

выражению

(16) момента силы, лежащей в плоскости

хОу,

относительно

начала

координат. Объяснение

заключается в том,

что

при выводе

формулы

 

(23) для определения

Mz

силу сначала

спроецировали на плоскость хОу и затем определили момент проек­ ции относительно начала координат. Формула же (16) выражает момент относительно начала координат силы, лежащей в плоскости

хОу. Моменты этой

силы

относительно осей,

расположенных с ней

в одной плоскости,

равны

нулю (Мх = 0, Му

= 0), а момент относи­

тельно оси Ог численно равен величине момента относительно начала

координат (Mz — M0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§

10. ПАРА СИЛ

Парой сил называют систему

Пара сил

и ее момент.

Равнодействующая

двух численно равных парал-

д в у

х

н е

р

а в н ы х п 0

модулю параллельных

лельных сил, направленных

J

-

 

Г

 

 

J

в противоположные стороны

с и л

направленных в

противоположные

 

стороны, равна их разности. Если же

 

такие силы по модулю равны, то они не

имеют равнодействующей. Они и не уравновешивают друг друга,'за

исключением того частного

 

случая, когда

они

имеют одну общую

линию действия. Систему двух численно равных параллельных сил,

приложенных

к

одному

телу и направленных в противоположные

стороны,

называют

парой

сил1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

на

тело

(рис.

39, а) действует пара сил, причем одна из

сил

пары приложена

в

точке

Л, а

другая

в

точке

В.

(Тело

на

 

 

 

 

 

\

 

 

рисунке не показано.) Назовем

плечом

\

\

 

 

 

 

 

 

пары

кратчайшее

расстояние

(длину

 

\

^

 

\

 

\

 

перпендикуляра)

между

линиями

\

 

\

 

 

\

 

 

действия сил пары. Сила является

f \

\ g

 

 

 

 

\

скользящим вектором,

поэтому

силы

 

 

 

 

 

/ї\

 

\

пары (или одну из них) можно пере­

 

 

а)

 

 

 

чу

5)

нести в такое

положение (рис. 39,

б),

 

 

 

 

 

 

чтобы на чертеже

отрезок,

соединяю-

 

 

р и с

3 9

 

 

 

щий точки их приложения, был пер-

 

 

 

и '

 

 

 

 

пендикулярен

линиям

действия сил,

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е. изображал бы

плечо.

 

 

 

-

Плоскость,

в

которой

лежат линии действия сил

 

пары,

назы­

вают плоскостью

пары.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Механическое воздействие пары сил на твердое тело зависит

не

только от величины сил, но в равной степени

также

и

от

плеча.

Поэтому за меру механического воздействия пары

сил

на твердое

тело принимают

момент

пары — величину, численно

равную

произ­

ведению

модуля

силы

на

плечо

пары:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M = A F .

 

 

 

 

 

 

 

 

(24)

1

Открытие пары

сил принадлежит Луи Пуансо (1804 г.); им же создана

теория

пар и введены

термины пара, плечо, момент.

Момент пары, подобно моменту силы относительно точки,— век­

торная

величина. Вектор момента пары перпендикулярен

плоскости

пары.

Но у всякой плоскости имеется две

стороны.

Условились

вектор

момента

восставлять

с той стороны,

с которой

пара пред­

ставляется поворачивающей свое плечо против

хода

часов

(рис. 40).

Таким, образом,

вектор

момента

пары

сил характеризует

 

не только

величину воздействия пары на тело,

но также

и плоскость

пары и

направление, в

котором

силы

пары

стремятся

повернуть

 

тело.

В частном случае плоской системы сил момент пары рассматри­

вают

как алгебраическую величину

и считают положительным, если

силы

 

пары стремятся повернуть плечо против вращения

стрелок

часов,

если же

силы пары стремятся

повернуть плечо по

ходу ча­

сов,

то момент

считают

отрицательным

(рис. 41).

 

 

 

 

Сумма

 

моментов

двух сил

Свойства пары. Чтобы лучше пояснить

 

понятие

пары

сил — одно

из

важнейших

пары

относительно

любой

понятий

механики,

покажем,

что момент

точки

 

пространства

равна

пары сил равен сумме моментов двух сил

 

моменту пары

 

 

 

 

 

 

пары

относительно

произвольно

взятой

точки.

Для упрощения

доказательства

мы предположим

сначала,

что эта точка находится в плоскости пары, а затем распространим теорему на любую точку.

В плоскости пары возьмем совершенно произвольно какую-либо точку О, примем ее за начало плоской системы координат (рис. 42, а), проведем через нее в произвольном направлении ось Ох и перпенди-

\М<0

М>0

Рис. 40

Рис. 41

кулярно к ней ось Оу. По формуле (16) определим моменты сил пары относительно этой точки О, выбранной нами произвольно и принятой за начало координат:

1

Л * о і = * і у ' і — M 0 2 = x 2 Y 2 — y 2 X 2 .

Но, как видно из чертежа (рис. 42, б),

х2 = x1-\-hs'ma;

у2 = t/1 + ftcosa;

Х1 = F cos a;

Кх = — Fsina;

X , — — fcosa ;

K„ = Fsina .

65

З № 784

Подставляя эти величины и складывая, определим сумму моментов двух сил пары относительно точки О:

22

М0 = — х1 F sin а — y^F cos а + xtF sin а +

і

+ hF sin2 а + yx F cos а + hF cos2 а = hF.

 

Таким образом, сумма моментов двух сил пары относительно любой точки О, взятой на ее плоскости, не зависит от их относи­ тельного положения (расстояния и ориентации) и равна моменту

пары. Отсюда мы можем сделать вывод, что момент пары сил не изменится, если эту точку заме­ нить какой-либо другой или если пару перенести в любое другое место ее плоскости, или повернуть на любой угол в ее плоскости.

Рассмотрим теперь самый об­ щий случай, т. е. не будем накла­ дывать никаких ограничений на положение пары сил и центра мо­ ментов. Примем произвольно взя­ тую точку О (рис. 42, в) за начало прямоугольной системы координат, проведем глоскость хОу парал­ лельно плоскости пары, направим оси Ох и Оу произвольно в этой плоскости, а ось Oz — перпенди­ кулярно к ней. Тогда координаты точек приложения сил пары и проек­ ции сил на оси выразятся равен­ ствами, подобными только что на­ писанным, лишь с добавлением третьей координаты, и мы будем иметь:

Уі = Уі + h cos ос; z2=z1; X1=Fcosa;

Yt= — Fsina;

Z1 = 0; X2 = — Fcosa; Y2 —F since;

Z 2 = 0 .

Учитывая написанные значения Р и с 42 координат и проекций сил, опреде-' лим по (23) суммы моментов двух сил

пары относительно координатных осей. Относительно оси Ох получим

- г 2 Г 2 ) ; •z^ sin a — zxF sin a — 0.

Аналогично

относительно

оси Оу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(zlX1—

xxZ^) + (г2 А'2

— x2Z2)

= zxF cos а — г, Fcosa = О

и относительно

оси Oz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x i Y i

—УіХі) + (хгУ2

— Угх*)

= —x

i F sina — ylFcoscc

 

+

 

+

xtF sin a + hF sin2 a - f yxF cos a-\-hF

cos2 a = /Ті.

 

Теперь

по формуле (22) находим,

.что модуль

вектора

суммы мо­

ментов двух сил пары относительно

произвольно

взятого

 

центра О

равен произведению модуля силы пары на плечо

пары.

Направлен

этот вектор

по оси Oz, т. е. перпендикулярно

к

плоскости

 

пары сил.

Мы убедились, что сумма моментов двух

сил пары

относительно

точки О равна моменту пары

вне

зависимости

 

не только

6т поло­

жения

пары

в ее плоскости,

но

также и от расстояния

 

плоскости

пары от центра моментов.

 

Иными

словами,

момент

пары

не изме­

нится,

если

пару

перенести в параллельную

плоскость.

 

 

 

 

 

 

 

 

Как уже было

сказано,

момент

 

пары яв­

Момент

пары

выражается

ляется

мерой

механического

воздействия

свободным вектором, перпен­

пары сил на тело,

а потому

механическое

дикулярным к плоскости па­

воздействие

пары

сил на твердое тело не

ры, численно равным произ­

ведению силы на плечо

изменяется,

если эту

пару

 

поворачивают

 

 

 

 

 

 

в ее плоскости, переносят в другое место

плоскости

или в параллельную

плоскость.

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти

на первый

взгляд

 

парадоксальные

свойства

пары

поясним

примерами. Гаечный ключ

 

(рис. 43) одинаково

 

действует

 

на гайку,

к каким бы граням этой гайки его ни приложить — момент пары не изме-

Рис. 43

Рис.

44

нится от поворота

пары сил в ее плоскости.

Трансмиссионный

вал (рис. 44) сообщает шкиву вращающий момент независимо от места закрепления шкива на валу — момент пары не изменится от переноса пары в параллельную плоскость.

Но только при изучении динамики, после знакомства с инерцией вращающегося тела и с понятием главных центральных осей, когда читатель узнает, что вращение тела зависит от массы каждой частицы тела и от их распределения, ему станет совершенно ясно, почему действие пары сил на тело'не зависит от положения пары сил в ее плоскости,.

Момент пары сил не имеет фиксированной, определенной точки приложения. Он является свободным вектором., т. е. он имеет свою величину и свое направление, но приложить его можно в любой

67

3*

точке твердого тела, на которое действует пара сил. В этом заклю­ чается принципиальное отличие момента пары от момента силы от­ носительно точки, являющегося прикрепленным вектором, при­

ложенным

в центре

момента, или от скользящего вектора,

примером

которого является сила.

 

 

 

 

 

Эквивалентность

пар. Обратим особое вни-

Две пары сил с равными

м а н и е н а

х о

ч т 0

момент пары не является

моментами эквивалентны

 

„

 

„

.

 

 

только

произведением,

а есть мера, пол­

ностью характеризующая

воздействие

пары сил на твердое тело. Две

пары с одинаковыми моментами оказывают на тело одинаковое дей­ ствие, если даже силы одной пары (а также и плечо) не равны си­

лам (и плечу) другой пары.

 

Докажем

сначала, что.данную пару (F^^),

модули сил которой F,

а плечо АВ

(рис. 45, а), можно, не изменяя

ее механического воз-

f

В

А-

'В

С A _ J

В

Pi

 

 

f

 

 

 

W-Рг

 

 

 

 

 

 

 

а)

6}

 

 

 

S)

г)

 

 

 

 

 

Рис.

45

 

 

 

 

 

действия на твердое тело (тело на

рис. 45 не показано), заменить

другой парой с таким же моментом,

но с, большими силами

и соот­

ветственно меньшим

плечом.

В,

 

 

 

на рис. 45, б,

 

Приложим к телу

в точке

как

показано

две

взаимно уравновешенные силы Рх

и Р2,

по модулю равные

Р. Скла­

дывая

параллельные

силы Fx

и Рг,

направленные в одну

сторону,

найдем их равнодействующую Rlt

по

модулю

равную F-\~P,

на­

правленную в ту же сторону и приложенную в

точке С на

расстоя-,

ниях

АС

и ВС, обратно пропорциональных модулям слагаемых

сил

(рис.

45,

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

А£__Р_ ВС~Т-

Складывая силы F2 и Яа , приложенные к телу в точке В, полу­ чим их равнодействующую R2, по модулю равную F + P и направ­ ленную в сторону слагаемых сил.

Новую

пару

сил

( J R ^ ) МЫ получили

из данной

пары

( F ] F 2 ) ,

присоединив

к

ней

взаимно уравновешенные силы Рх

и Ра.

Следо­

вательно,

обе

пары

эквивалентны. Момент

новой пары

равен

 

M = R:BC^(P

+ F)

BC^P-BC+F-BC,

Смотрите также файлы