Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 222

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Сравнивая это равенство с (14), найдет, что момент М0 силы

F = АВ относительно точки О численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ. Напомним, что отрезок АВ выражен в единицах силы, а потому площадь треугольника ОАВ выражается не в едини­ цах площади, а в единицах момента силы (ед. силы х ед. длины):

М0 = 2 пл. Д О Л Я 1

Вектор момента направлен от точки О перпендикулярно к плос­ кости ОАВ в такую сторону, с которой вектор силы АВ представ­ ляется поворачивающим треугольник ОАВ вокруг точки О против хода часов. По модулю он равен (в некотором выбранном масштабе) удвоенной площади треугольника ОАВ.

Если

вектор силы

АВ переместить вдоль

линии

действия

силы

в пределах абсолютно

твердого тела, к которому сила

АВ

приложена,

оставив

точку О неизменной,

то

вектор

момента не

изменится,

так

как не

изменятся

плоскость

и

площадь

треугольника

ОАВ.

Сила

является

вектором

скользящим,

и действие

силы, а

следовательно,

и ее момент не изменяются при перенесении силы вдоль линии дей­ ствия. Напротив, если мы переменим точку О, то положение и пло­ щадь треугольника ОАВ, вообще говоря, изменятся, а следовательно, изменится и момент силы. Поэтому момент силы относительно какой-

либо

точки О

является вектором прикрепленным,

он приложен

к точке О и переносить

его в какое-либо другое место тела нельзя.

Выражение

момента

силы относительно точки в виде вектора

вполне соответствует физической сущности этого

понятия, и если

силы

расположены в различных плоскостях, то моменты сил относи­

тельно точки складывают по правилу параллелограмма. Только при

рассмотрении

системы сил,

расположенных

в одной плоскости, можно

игнорировать

направление

вектора

момента,

а

учитывать

его

вели­

чину и знак,

т. е. определять момент по формулам (14),

(15) или

(16).

В

такой

системе,

когда

все

силы и центр

моментов

 

расположе­

ны

в

одной

плоскости,

векторы

моментов различных

сил относи­

тельно какой-либо точки

 

О

направлены

от

точки

О

перпендику­

лярно

к

этой плоскости

в ту или другую сторону,

и

в

этом

слу­

чае их складывают

алгебраически.

 

 

 

 

 

 

 

 

Момент

 

равнодействующей

 

Теорема

Вариньона. Пусть даны простран-

 

 

 

 

 

 

- » • - » •

 

-»-

 

равен сумме моментов состав-

 

ственный пучок сил Flt

F2 ,

.. ., F„ (рис. 34)

 

 

 

ЛЯЮЩИХ

 

 

 

 

 

 

 

J?

 

 

 

 

и равнодействующая R этого пучка. Возь­ мем где-либо совершенно произвольно точку О, проведем радиус-век- тор г из точки О в точку приложения сил пучка, определим момент каждой силы относительно точки О и сложим эти моменты:

-*

-

-> -*

-

-

S M0tk=r

xFt

+ r X F a + . . . + г xFn

=

= 7

x(Fl

+

Ft+...+F„).

 

1 Такая интерпретация момента силы принадлежит Пуансо.

Заменяя согласно (1) геометрическую сумму всех

сил сходя­

щейся системы их равнодействующей, получим

 

k ^ M 0 , k ^ 7 x R .

(18)

k= і

 

Словами это равенство можно прочитать так: момент равнодей­ ствующей системы сходящихся сил относительно какой-либо точки равен сумме моментов всех сил относительно той же точки. Момент силы относительно точки есть вектор, поэтому'сумма является гео­ метрической. В частном случае, если все силы и центр моментов

y / f = £ F

 

 

 

С

В

О

 

 

 

F,

F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R'FI+F2

 

 

 

 

Рис. 34

Рис.

35

 

лежат

в одной

плоскости, то

все векторы моментов направлены по

одной

прямой,

перпендикулярной к этой плоскости, и геометриче­

ское сложение

моментов сил

заменяется алгебраическим.

 

Таким образом, момент равнодействующей плоской системы сходя­ щихся сил равен алгебраической сумме моментов составляющих 1 . Тео­ рема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива не только для

пучка

сил, но для всякой системы сил, имеющей равнодействующую.

Так,

например, момент

равнодействующей

R

двух

параллельных

сил

Ft

и F2 относительно

произвольной

точки О (рис. 35)

равен:

R-CO

 

= (F. + FJCO

=

Fx(OA

— AC) + F2

(CB + JBO) = F1AO +

FlBO,

что

и

требовалось

доказать. Методом от

п

к

n + l

нетрудно

пока­

зать

справедливость

теоремы

Вариньона для

любого

числа сил.

Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно спроецировать силу на плоскость, перпендику­ лярную к оси, и затем опре­ делить момент проекции силы относительно точки пересе­

чения оси и плоскости

§ 9. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ

Момент силы относительно оси. Ознаком­ ление с понятием момента силы относи­ тельно оси, имеющим большое значение, начнем с конкретного примера. Дверь (рис. 36) может поворачиваться вокруг

оси. Механическое воздействие силы F, поворачивающей дверь, зависит не только от величины, но и от положения вектора

—>

силы по отношению к оси. Разложим силу F на две составляющие, из которых одну (Q) направим параллельно оси, а другую (Р)

1 Доказана П. Вариньоном и опубликована в 1725 г.

расположим в плоскости, перпендикулярной к оси. Очевидно, что составляющая, параллельная оси, поворачивать дверь не будет, действие же составляющей, расположенной в плоскости, перпен­ дикулярной к оси, зависит не только от ее величины Р, но и от кратчайшего расстояния между линией действия этой состав­ ляющей и осью. Иначе говоря, действие силы F на закрепленную

на оси дверь характеризуется моментом составляющей Р (располо­ женной в плоскости, перпендикулярной к оси) относительно точки пересечения оси и плоскости.

Установим теперь общее правило определения момента силы относительно оси.

Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно эту силу спроецировать на перпендикулярную к оси плоскость и опре­

делить момент проекции силы относи­

тельно точки пересечения

оси и плоско­

сти. Момент силы относительно оси — ска­

лярная

величина, потому что у него нет

с о б с т в е н н о г о

направления, а «на­

правлен» он по оси в ту или иную сто­

рону, т. е. определяется величиной и

знаком и, конечно, направлением оси.

Где

именно

проведена

перпендику­

лярная к оси плоскость, не имеет зна­

чения, так как проекции силы на парал­

лельные

плоскости и плечи проекций

силы во всех случаях одни и те же.

Рис. 36

Если сила параллельна оси или пере­

 

секает ось, то момент силы относительно

 

оси равен нулю. Эти два случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Момент силы

относительно

Покажем, что момент

силы

относительно

оси равен

проекции

на данную ось век­

оси равен проекции на эту

ось момента

силы относи­

тора момента силы относительно какой-

тельно какой-либо точки,

либо точки той же оси.

 

взятой

на оси

Возьмем

на оси

гг'

произвольную

точку О (рис. 37) и определим момент силы F = АВ относительно

этой точки. Момент М0 силы F относительно точки О выражается вектором, по модулю равным удвоенной площади треугольника ОАВ и приложенным в точке О перпендикулярно к плоскости Д ОАВ.

Проведем через точку О плоскость, перпендикулярную к оси. Чтобы определить момент Mz силы относительно оси, спроецируем

силу на эту плоскость и определим момент проекции ab относительно

точки

пересечения оси

и плоскости, т. е. относительно точки О.

Этот момент численно

равен удвоенной площади

треугольника Oab

и направлен перпендикулярно к Oab, т. е. по оси

гг'.

Но

Д Oab является

проекцией Д ОАВ на плоскость, перпенди-

кулярную к оси. Площадь проекции равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между плоско­ стями, измеряемого линейным углом между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е.

пл. Д О о й = пл. Д ОАВ cos

Спроецировав на ось момент силы относительно точки

О и при­

нимая во внимание это равенство, найдем, что численно

 

M , = vW0cosft.

(19)

При решении задач особенно часто приходится определять мо­ менты сил относительно координатных осей. Согласно только что доказанному момент силы относительно какой-либо из осей коорди-

3

 

Рис. 37

 

 

 

Рис.

38

 

 

нат равен проекции на эту ось момента сил относительно

любой

точки этой оси,

в частности относительно точки О начала

координат:

Мх

= M0cosaM\

Му = M0cos$M;

M2

= M0cosyM,

 

(20)

где coso^j,

cos$M

И COSYA I —направляющие

косинусы

вектора мо­

мента силы относительно начала координат.

 

 

 

 

Если момент относительно оси умножим

на единичный

вектор

этой оси, то получим не проекцию, а составляющую

момента отно­

сительно точки,

не

скалярную, а векторную

величину:

 

 

 

 

МХ=ІМХ;

Му=1му;

Mz^kMz.

'

 

(21)

Из равенств

(20)

и (21) непосредственно

получаем

 

 

 

 

 

 

M0

= + VM\

+ Ml+M\,

 

 

 

(22)

 

 

 

Л Ї 0 = Л л і , + 7 л * у + ? Л Ї , .

 

 

 

(22')

А н а л и т и ч е с к и е в ы р а ж е н и я м о м е н т о в с и л ы о т н о ­

с и т е л ь н о

о с е й

к о о р д и н а т .

Выразим

моменты

силы

относи­

тельно осей координат через координаты точки приложения силы и проекции силы на координатные оси.

Смотрите также файлы