Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

рой

следует,

что

Р • ВС = F • АС,

получим

М = F-AC

+

F-CB?=F-AB,

т. е. моменты

эквивалентных

пар

равны между собой и данную пару

мы

заменили

другой парой с тем же моментом, но с меньшим

плечом.

Чтобы убедиться, что всякую пару сил

(•F1/r2)

можно

заменить

другой парой

сил с тем же моментом, но с большим плечом и соот­

ветственно,

с

меньшими силами, сложим (см. рис. 45, б)

силы FT

с Р 2 , Р 2 с

Р г

Мы получим новую пару (QjQ2 ) (рис. 45, е) с моментом

М = Q • ВС

= (F — Р) ВС = F • ВС—Р

• ВС — F (ВС

— AC)

^F-AB,

что

и требовалось

доказать.

Следовательно,

механическое

воздействие

пары

на твердое тело

не

изменится,

если эту пару заменить любой другой парой с таким

же

моментом.

Момент пары является

свободным вектором,

поэтому

Сложение

пар. Покажем,

что

несколько

Момент

пары

сил,

получен­

пар,

приложенных к твердому телу, экви­

ной

от

сложения нескольких

валентны

одной паре, момент которой ра­

пар,

равен сумме

моментов

вен сумме

их моментов. Пусть

к некото­

слагаемых

пар

рому телу приложены две пары сил, одна

из

которых

лежит

в плоскости

/

и

имеет

момент

Мг,

а другая —

в плоскости

/ /

и

имеет

момент

М2.

Для

общности

доказательства

зовавшись

только

что

доказанными

свойствами

пар,

представим

каждую

данную

пару

парой,

ей

эквивалент­

ной, лежащей в той же плоскости и

имеющей плечо АВ

(рис. 46),

распо­

ложенное по линии пересечения обеих

плоскостей.

Модули

сил F1

первой

пары и Р„ —второй определим из усло­

вия эквивалентности

р

_ M i

р

_

Г і

АВ>

2

—

Сложим

силы

обеих

пар,

прило­

Рис. 46

женные

к телу

в

точке

А,

а

затем

сложим силы, приложенные в точке В.

Получим два параллелограмма

между

собой, так

как попарно равны и параллельны их стороны.

Следовательно, равны и параллельны диагонали

параллелограммов.

В

результате

сложения

двух пар

мы получили одну пару сил

с тем

же плечом

и с силами, равными

геометрической сумме соот­

ветствующих сил

слагаемых

пар. Найдем момент

М этой пары.

На векторах моментов Мг

и

М2 построим как на сторонах

па­

раллелограмм, называемый параллелограммом

моментов.

Диагональ

этого параллелограмма по величине и по направлению

изображает

момент

пары (RR'),

полученной

в результате

сложения

пар

(Fx,

F[)

И

( ^ 2 >

Р'г)- В самом

деле,

стороны

параллелограмма

моментов

пер­

пендикулярны и пропорциональны

сторонам

параллелограмма сил, а

потому

и

диагональ

параллелограмма

моментов

перпендикулярна

плоскости

пары

и равна

R-AB.

Мы пришли

к заключению,

что для сложения двух пар, лежащих

в

пересекающихся

плоскостях,

достаточно сложить их моменты. Но

методом доказательства от п к

я-f-l нетрудно показать, что

теорема

остается справедливой для любого количества

пар сил,

т. е.

М

= УИ1 +

Л І 2 + М З + . . . +

ЛІ„

=

2 ^ А '

Й

=

1 « 2,

3,

п.

(25)

Если сумма моментов всех пар равна нулю, то система пар на­

ходится в

равновесии, так как наличие

такой системы эквивалентно

ее отсутствию. Справедливо и обратное заключение: если

система

пар находится

в

равновесии,

то сумма

моментов

всех

пар

системы

равна

нулю. Таким

образом,

необходимым

и достаточным условием

равновесия системы пар, не лежащих

в одной плоскости,

является

равенство

нулю

геометрической

суммы

моментов

всех пар

системы:

2 М А = 0 .

(26)

Момент пары является векторной величиной, а потому суммиро­

вание

надо производить,

разумеется, геометрически,

т. е. по правилу

параллелограмма.

В частном,

но очень важном случае (имеющем

большое применение в технике), когда

пары

расположены

в

одной

плоскости,

сложение

моментов

производят

алгебраически.

В

самом

деле. Будем поворачивать плоскости /

и / /

на рис. 46 до их

сов­

падения. Тогда угол S станет равным

нулю,

параллелограммы

вы­

родятся в отрезки прямой и геометрические

суммы сил и сумма

мо­

ментов

превратятся

в сложение

векторов, направленных

'по

прямой,

т. е. в алгебраическое сложение.

Поэтому, чтобы сложить пары сил, расположенные в одной пло­

скости, достаточно алгебраически сложить их моменты:

Л« = ЛЇ1 +

Л1, +

Л1, + . . . + Л 1 в

= 2 Л І Л ,

где

k=l,

2.

З , ...,п.

(25')

Задача № 13

2 М , = 0.

(26')

(4.16,

128

М). Шлюпка (рис. 47, а) висит

на двух

шлюпбалках,

причем вес ее, равный

960 кГ, распределяется

между ними

поровну.

Шлюпбалка

АБС

нижним полушаровым

концом

опирается

на

подпятник

А и на высоте

1,8

м

над.

ним свободно

проходит

через

подшипник

В;

вылет

шлюпбалки

равен

2,4

м.

Пренебрегая весом

шлюпбалки, определить давление ее

на опоры А

я В.

горизонтальна. Очевидно, она направлена влево,

так как шлюпбалка

давит

на

подшипник

вправо.

Направление реакции

в шарнире

обычно бывает

неизвестным,

поэтому

реак­

цию в подшипнике разложим на две составляющие

ХА

и Y А ,

направленные,

как

показано на

чертеже.

Мы видим, что система сил, приложенных

к шлюпбалке,

представляет

собой

две

пары сил. Дл я

равновесия

такой

системы

необходимо

и достаточно

выполне­

ние

условия

(26)

2 М = 0;

/? я . 1,8 — 480.2,4 = 0.

Заметим, что момент

пары

(Яд, Хд)

положителен, так как эта пара стремится

повернуть

шлюпбалку

против

часовой

стрелки, а

момент

(0,50, Уд) отрицателен,

потому

что под действием

этой

пары

шлюпбалка стремится повернуться по ходу

часовой

стрелки. Из написанного

уравнения

Ж

находим

Я д = 640

кГ.

Векторы

сил пары

равны

и

противоположны,

следовательно,

\10кГ

реакция

Хд = 640 кГ

и направлена

вправо,

реакция

К_4 = 480

кГ

и направлена

вверх,

О,

а давления

направлены в обратные

стороны.

М,

О т в е т .

Х,\ = — 6,4

кн, YA = — 4,8

кн,

Х д = +

6,4

кн.

Задача № 14 (8.4, 245 М). К

окруж­

ности

трех

дисков:

А — радиуса

15

см

(рис. 48, а),

В — радиуса

10 см

и С — ради­

уса

5 см

приложены

пары

сил;

величины

сил,

составляющих

пары,

соответственно

равны

10 кГ,

20

кГ

и Я.

Оси

OA,

ОВ

и ОС лежат

в одной

плоскости.

Угол

Л O S - -прямой.

Определить

величину

силы

Р и угол

ВОС = а

так,

чтобы

система

трех

дисков,

будучи

совершенно

свободной,

оставалась

в равновесии.

Решение.

Рассмотрим

равновесие

твердого тела, представляющего собой три

пересекающиеся

оси OA,

ОВ и ОС, на которые жестко насажены

диски. К окруж­

ностям дисков приложены три пары,

две из которых

известны, у третьей

известно

толъко

плечо.

Представим

моменты

этих

пар в виде

векторов

(рис. 48,

б),

на­

правленных перпендикулярно плоскостям дисков и численно равных: М1

=

150 «-еж,

М 2 = 200 н• см

и М3 = 5Р.

По условию

равновесия

(26)

геометрическая

сумма

моментов пар должна равняться нулю,

следовательно, треугольник

моментов дол­

жен быть замкнут. Отсюда следует,

что оси OA, ОВ и ОС лежат в одной пло­

скости. Решая треугольник,

легко

получаем ответ.